Bộ 11 Đề thi Toán chuyên Nguyễn Du, Đắk Lắk (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẮK LẮK
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. (2,0 điểm)
1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 3 2 0− − − =x x m có nghiệm.
2. Gọi 1 2 3 4, , ,x x x x là các nghiệm của phương trình ( )( )( )( )1 3 5 7 1x x x x+ + + + = . Tính giá trị
biểu thức 1 2 3 4P x x x x= .
Câu 2. (2,0 điểm)
1. Cho đa thức ( )f x thỏa mãn ( ) ( ) 22 3 2 5 8 3f x f x x x+ − = − + ( )1 với mọi số thực x .
a) Trong đẳng thức ( )1 , thay x bởi 2 x− và ghi ra kết quả.
b) Giải phương trình ( ) 1f x = −
2. Giải hệ phương trình
( )
( )
3 2
2 2
6 13 10 2 1 0
3 18 2 6 6 24 8 0
x x x x y x y
x x xy y y x y x y
 − + − − − + − + = 
+ − + − − + − − = 
Câu 3. (2,0 điểm)
1. Cho 9 hình vuông có độ dài các cạnh là 9 số nguyên dương liên tiếp. Gọi S là tổng diện tích
của 9 hình vuông đã cho. Tồn tại hay không một hình vuông có cạnh là một số nguyên dương
và có diện tích bằng S ?
2. Vẽ bất kì 17 đường tròn, mỗi đường tròn có độ dài đường kính là một số nguyên dương.
Chứng minh rằng trong 17 đường tròn đó, ta luôn chọn được 5 đường tròn có tổng độ dài các
đường kính là một số chia hết cho 5.
Câu 4. (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có 090 ,ABC ADC BC CD= = = . Gọi M là trung điểm của AB ,
đường tròn tâm C bán kính BC (ký hiệu là đường tròn ( )C ) cắt MD tại ( )E E D , H là giao
điểm của AC và BD .
a) Chứng minh rằng MEB MBD và tứ giác BHEM là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi F là giao điểm của AE và đường tròn ( )C ( )F E . Chứng minh rằng BC DF⊥ .
c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng BC và đường tròn ( )C ( )I B , J là giao điểm của AI
và DF . Tính tỉ số
DJ
DF
.
Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số thực , , ,x y z t thỏa mãn 2 2 2 2 1x y z t+ + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức 3A xy xz xt yz yt zt= + + + + + .
-------HẾT-------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ...................................................... Số báo danh: ...........................................................
Chữ ký của cán bộ coi thi 1: ....................................... Chữ ký của cán bộ coi thi 2: ..................................
ĐỀ SỐ 1
Bộ 11 Đề thi Toán chuyên Nguyễn Du, Đắk Lắk (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
LỜI GIẢI
Câu 1. (2,0 điểm)
1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 3 2 0− − − =x x m có nghiệm.
2) Gọi 1 2 3 4, , ,x x x x là các nghiệm của phương trình ( )( )( )( )1 3 5 7 1x x x x+ + + + = . Tính giá trị
biểu thức 1 2 3 4P x x x x= .
Lời giải
1. Phương trình đã cho có nghiệm khi 0 1 3 2 0 1m m + + − .
2. Phương trình đã cho tương đương với ( )( )2 28 7 8 15 1 0x x x x+ + + + − =
Đặt 2 8 7t x x= + + . Ta được 
2
4 17
8 1 0
4 17
t
t t
t
 = − +
+ − = 
= − − 
.
Khi đó, PT đã cho tương đương
2
2
8 11 17 0
8 11 17 0
x x
x x
 + + − =
+ + + = 
.
Vậy ( )( )1 2 3 4 11 17 11 17 104P x x x x= = − + =
Câu 2. (2,0 điểm)
1) Cho đa thức ( )f x thỏa mãn ( ) ( ) 22 3 2 5 8 3f x f x x x+ − = − + ( )
1
 với mọi số thực x .
a) Trong đẳng thức ( )1 , thay x bởi 2 x− và ghi ra kết quả.
b) Giải phương trình ( ) 1f x = −
2) Giải hệ phương trình
( )
( )
3 2
2 2
6 13 10 2 1 0
3 18 2 6 6 24 8 0
x x x x y x y
x x xy y y x y x y
 − + − − − + − + = 
+ − + − − + − − = 
Lời giải
1. ( ) ( ) 22 3 2 5 8 3f x f x x x+ − = − + ( )1
a) Trong ( )1 thay x bởi 2 x− ta được: ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 3 5 2 8 2 3f x f x x x− + = − − − +
( ) ( ) 23 2 2 5 12 7f x f x x x + − = − + ( )2
b) Lấy ( ) ( )2 1 3 2 − ta được: ( ) ( ) ( )2 25 2 5 8 3 3 5 12 7f x x x x x− = − + − − +
( ) ( )2 25 5 20 15 4 3f x x x f x x x − = − + − = − + .
Khi đó: ( ) 21 4 4 0 2f x x x x= − − + = =
2.
( ) ( )
( ) ( )
3 2
2 2
6 13 10 2 1 0 1
3 18 2 6 6 24 8 0 2
x x x x y x y
x x xy y y x y x y
 − + − − − + − + = 
+ − + − − + − − = 
. ĐK:
1 0
6 0
x y
x y
− + 
− + 
.
Từ ( ) ( ) ( )
33
1 2 2 1 1x x x y x y − + − = − + + − +
Đặt
2
1
a x
b x y
= − 
= − + 
ta được: ( )( )2 2 1 0 2 1a b a ab b a b x x y− + + + = = − = − + .
Từ ( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 6 3 6 8 3 0x y x y x y x y x y + − + + − + − + = 
Bộ 11 Đề thi Toán chuyên Nguyễn Du, Đắk Lắk (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
( ) ( )3 6 6 8 0x y x y x y + − + − + − = 
3
6 2
y x
x y
= − 
− + = 
.
TH1:
( )
33
2 4 1 *2 1
y xy x
x xx x y
= −= − 
− = +− = − + 
( )
2
2
* 4 13 12 3 13
8 3 0
x
x y
x x
 = + = − − 
− + = 
.
TH2:
1 36 2
2 12 1
x yx y
x x yx x y
 − + = −− + = 
− = − +− = − + 
(Không thỏa mãn ĐK).
So với điều kiện, suy ra hệ đã cho có nghiệm ( ) ( ); 4 13; 12 3 13x y = + − −
Câu 3. (2,0 điểm)
1) Cho 9 hình vuông có độ dài các cạnh là 9 số nguyên dương liên tiếp. Gọi S là tổng diện tích
của 9 hình vuông đã cho. Tồn tại hay không một hình vuông có cạnh là một số nguyên dương và
có diện tích bằng S ?
2) Vẽ bất kì 17 đường tròn, mỗi đường tròn có độ dài đường kính là một số nguyên dương. Chứng
minh rằng trong 17 đường tròn đó, ta luôn chọn được 5 đường tròn có tổng độ dài các đường kính
là một số chia hết cho 5.
Lời giải
1. Giả sử cạnh của 9 hình vuông lần lượt là ; 1; 2;...; 8x x x x+ + + (với *x ).
Ta có: ( ) ( )
2 22 21 ... 8 9 72 204S x x x x x= + + + + + = + + .
Giả sử tồn tại hình vuông có cạnh bằng y , với *y .
Theo giả thiết ta có: ( )2 2 2 29 72 204 3 3 24 68y x x y x x= + + = + + ( )*
Do ( )*VP 3 nên 
2 3y , mà 3 là số nguyên tố nên 3y .
Khi đó 2 9y hay ( )*VT 9 .
Lại có
29 9
72 9
204
x
x ( )*VP
9
9 . Không tồn tại y .
Vậy không tồn tại hay không một hình vuông có cạnh là một số nguyên dương và có diện tích
bằng S .
2.
Cách 1
- Gọi độ dài đường kính 17 đường tròn đó lần lượt là ( )1 2 3 17 1 2 3 17, , ,... , , ,...a a a a a a a a 
Yêu cầu bài toán trở thành: Chứng minh luôn chọn được 5 số từ 17 số trên có tổng chia hết cho 5
Chia 17 số trên cho 5, ta được 17 số dư, mà một số chia 5 có thể dư 0, 1, 2, 3, 4 nên theo nguyên
lí Dirichlet, có ít nhất 4 số có cùng số dư, rõ ràng nếu nhiều hơn 4 thì tổng của 5 số sẽ chia hết cho
5, ta xét trường hợp có 4 số có cùng số dư, không mất tính tổng quát, ta giả sử là 1 2 3 4, , ,a a a a và
gọi số dư đó là 1b với 1 0,1,2,3,5b .
- Xét 13 số còn lại, nếu có ít nhất một số chia 5 dư 1b thì tổng của số đó với 4 số chia 5 dư 1b ở
trên sẽ chia hết cho 5, ta xét trường hợp 13 số trên chia 5 có 4 số dư (là 5 số từ 0 tới 4 trừ đi 1b ),
theo Dirichlet thì sẽ có ít nhất 4 số có cùng số dư, ta giả sử là 5 6 7 8, , ,a a a a và số dư đó là 2b
Bộ 11 Đề thi Toán chuyên Nguyễn Du, Đắk Lắk (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
- Xét 9 số từ 9a tới 17a , nếu có một số nào đó chia 5 dư 2b thì ta có tổng 5 số gồm số đó với 4 số
5 6 7 8, , ,a a a a chia hết cho 5. Ta xét trường hợp 9 số này chia 5 có thể dư 3 số dư (từ 0 tới 4 trừ 1b
, trừ 2b ). Theo Dirichlet thì có 3 số sẽ có cùng số dư, ta giả sử là 9 10 11, ,a a a và số dư đó là 3b .
TH1: 12a chia 5 cũng dư 3b . Khi đó xét 5 số từ 13a tới 17a nếu có 1 số nào đó chia 5 dư 3b thì rõ
ràng ta có 5 số 9 10 11 12, , ,a a a a và số đó có tổng chia hết cho 5.
Xét trường hợp 5 số 13a tới 17a chia 5 có thể dư 2 số dư (từ 0 tới 4 trừ 1b , trừ 2b , trừ 3b ), theo
Dirichlet sẽ có 3 số có cùng số dư, giả sử 2 số này là 13 14 15, ,a a a và số dư đó là 4b . Nếu trong 2 số
16a và 17a có một số dư khác 4b , giả sử là 16a thì rõ ràng ta có 5 số là 1 5 13 16, , ,a a a a có 5 số dư
đôi một khác nhau nên tổng của nó sẽ chia hết cho 5. Còn trong trường hợp 2 số có cùng số dư là
4b thì rõ ràng 5 số 13 14 15 16 17, , , ,a a a a a có tổng chia hết cho 5
TH2: 12a chia 5 có số dư khác 3b , ta gọi số dư đó là 4b khi đó 5 số từ 13a tới 17a nếu có một số
nào chia 5 khác 4b , giả sử là 13a khi đó ta có 5 số là 1 5 9 12 13, , , ,a a a a a có 5 số dư đôi một khác
nhau nên tổng của chúng sẽ chia hết cho 5. Còn trong trường hợp 5 số đó chia 5 có cùng số dư thì
hiển nhiên tổng của chúng chia hết cho 5. Vậy bài toán được chứng minh hoàn toàn
Cách 2
Gọi độ dài đường kính 17 đường tròn đó lần lượt là ( )1 2 3 17 1 2 3 17, , ,... , , ,...a a a a a a a a 
Chia 17 số trên thành các tập iA trong đó iA là tập các số chia 5 dư ( )0,4 i i = . Nếu có 1 tập nào
đó chứa nhiều hơn 5 số thì tổng 5 số đó chia hết cho 5. Còn nếu mọi tập đều chứa ít hơn 5 phần
tử, xét 4 tập bất kì, khi đó tổng số phần tử 4 tập này không quá 16 phần tử, do đó có ít nhất 1 phần
tử thuộc vào tập còn lại,
Vậy ta có 5 phần tử thuộc 5 tập khác nhau nên tổng 5 số này chia hết cho 5
Câu 4. (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có 090 ,ABC ADC BC CD= = = . Gọi M là trung điểm của AB ,
đường tròn tâm C bán kính BC (ký hiệu là đường tròn ( )C ) cắt MD tại ( )E E D , H là giao
điểm của AC và BD .
a) Chứng minh rằng MEB MBD và tứ giác BHEM là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi F là giao điểm của AE và đường tròn ( )C ( )F E . Chứng minh rằng BC DF⊥ .
c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng BC và đường tròn ( )C ( )I B , J là giao điểm của AI
và DF . Tính tỉ số
DJ
DF
.
Lời giải
a) Vì CB CD= nên ( )D C và 090ABC CDA= = suy ra
,AD AB là tiếp tuyến của ( )C .
Ta có: 
090MBE EBD DBC+ + = , 090MDB ADE BDC+ + = ,
EBD ADE= (cùng chắn ED ),
DBC BDC= ( CBD cân tại C ). Suy ra: MBE MDB= .
Xét MEB và MBD ta có: M chung, MBE MDB= (cmt) .
Suy ra: MEB MBD (g.g)
Bộ 11 Đề thi Toán chuyên Nguyễn Du, Đắk Lắk (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Suy ra: MEB MBD= (1) (2 góc tương ứng).
Dễ thấy: AHB vuông tại H có đường trung tuyến
2
AB
MH MB MA= = = .
Suy ra: MHB cân tại M MBH MHB = . (2)
Từ ( ) ( )1 , 2 MHB MEB = . Vậy tứ giác BHEM là tứ giác nội tiếp.
b) Ta có: MEB MBD (cmt)
ME MB ME MA
MB MD MA MD
 = = (vì MA MB= ).
Xét MEA và MAD có: M chung,
ME MA
MA MD
= (cmt). Suy ra: MEA MAD (g.g)
Suy ra: MAE MDA= . Lại có: MDA EFD= (cùng chắn cung ED ).
Suy ra: MAE EFD= . Mà chúng là hai góc so le trong / /AB DE .
Mặt khác AB BC⊥ suy ra: BC DF⊥ (đpcm).
c) Gọi G là giao điểm của BI và DF . Xét DGB vuông tại G và BHA vuông tạ