Bộ 11 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nam (Có đáp án)

ĐỀ SỐ 1
UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2024-2025
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Câu I. (1,5 điểm) Cho biểu thức A=xx+3+x+2x-3-2x+12x-9 (với x≥0,x≠9 ).
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tính giá trị của biểu thức A khi x=13-43.
Câu II. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình (x-1)(x+2)=10.
2. Giải hệ phương trình xx-2+2y=5x-1x-2-y=1
Câu III. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y=x2 và đường thẳng (d) có phương trình y=(m-2)x+2m (với m là tham số).
1. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại điểm có hoành độ bằng 3 .
2. Tìm điều kiện của tham số m để đưởng thằng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1;x2 thỏa mãn x12-x2-2024≤22-x2.
Câu IV. (1,0 điểm) Một phòng họp có 255 ghế được xếp thành từng hàng, các hàng có số ghế bằng nhau. Tại phòng họp đó có 320 người đến dự họp, do đó người ta kê thêm 1 hàng ghế có số ghế như các hàng ban đầu; sau đó mỗi hàng ghế xếp thêm 3 ghế thi vừa đủ chỗ ngồi cho người dự họp. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế? (biết các ghế là như nhau và mỗi ghế chỉ một người ngồi).
Câu V. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Kẻ tia Ax là tiếp tuyến tại A của (O). Trên tia Ax lấy điểm C sao cho CA>R. Kẻ tiếp tuyến CD của (O)(D là tiếp điểm, D khác A ). Đường thẳng CB cắt (O) tại điểm M(M khác B).
1. Chứng minh tứ giác ACDO nội tiếp đường tròn.
2. Chứng minh hai đường thẳng BD và OC song song với nhau.
3. Khi AC=3R2, tính độ dài đoạn thẳng MD theo R.
4. Gọi I là trung điểm của BM;E,K,F lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AD và OI,ME và AC,CD và BE. Chứng minh ba đường thẳng AD,BC,KF đồng quy tại một điểm.
Câu VI. (0,5 điểm) Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x+y≤5. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4xy+9x+2y+1.
----------HẾT----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (1,5 điểm).
Cách giải:
Cho biểu thức A=xx+3+x+2x-3-2x+12x-9 (với x≥0,x≠9 ).
1. Rút gọn biểu thức A.
ĐКХĐ: x≥0,x≠9
A=xx+3+x+2x-3-2x+12x-9
A=x(x-3)(x+3)(x-3)+(x+2)(x+3)(x+3)(x-3)-2x+12(x+3)(x-3)
A=x-3x+x+5x+6-2x-12(x+3)(x-3)
A=2x-6(x+3)(x-3)
A=2x+3
Vậy A=2x+3.
2. Tính giá trị của biểu thức A khi x=13-43
Ta có: x=13-43=12-2.23+1=(23-1)2 (tmđk). Khi đó
A=2(23-1)2+3
A=2|23-1|+3
A=223-1+3
A=223+2
A=13+1
Vậy A=13+1 khi x=13-43.
Câu 2 (2 điểm).
Cách giải:
1. Giải phương trình (x-1)(x+2)=10.
(x-1)(x+2)=10
⇔x2+2x-x-2=10
⇔x2+x-12=0
Ta có: Δ=12-4.(-12)=49>0⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=-1+492.1=3x2=-1-492.1=-4
2. Giải hệ phương trình xx-2+2y=5x-1x-2-y=1
Điều kiện x≠2
xx-2+2y=5x-1x-2-y=1⇔xx-2+2y=5 (1)y=x-1x-2-1 (2)
Thay (2) vào (1) ta có:
(1) ⇔xx-2+2.x-1x-2-1=5
⇔xx-2+2x-2x-2-2=5
⇔xx-2+2x-2x-2-2=5
⇔3x-2x-2-7=0
⇔3x-2x-2-7(x-2)x-2=0
⇔3x-2-7x+14x-2=0
⇔12-4xx-2=0
⇔12-4x=0
⇔x=3(tm)
Với x=3 thì y=3-13-2-1=1
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(3;1)
Câu 3 (1,5 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y=x2 và đường thẳng (d) có phương trình y=(m-2)x+2m (với m là tham số).
Cách giải:
1. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại điểm có hoành độ bằng 3.
Thay x=3 vào phương trình parabol (P) ta được: y=32=9
Thay x=3;y=9 vào phương trình đường thẳng (d) ta được:
9=(m-2).3+2m⇔3m-6+2m=9⇔5m=15⇔m=3
Vậy với m=3 thì (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 3 .
2. Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 thỏa mãn x12-x2-2024≤22-x2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( d) và (P) ta được:
x2=m-2x+2m⇔x2-m-2x-2m=0 (1)
Ta có: Δ=(m-2)2+4.2m=m2-4m+4+8m=m2+4m+4=(m+2)2≥0,∀m
Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hay m+2≠0⇔m≠-2
Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+x2=m-2x1.x2=-2m
Ta có: x12-x2-2024≤22-x2
⇔2x1-x1x2-2024≤4-2x2
⇔2x1+x2-x1x2-2028≤0
⇔2(m-2)+2m-2028≤0
⇔2m-4+2m-2028≤0
⇔4m-2032≤0
⇔m≤508
Vậy m≤508;m≠-2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4 (1 điểm).
Đề bài: Một phòng họp có 255 ghế được xếp thành từng hàng, các hàng có số ghế bằng nhau. Tại phòng họp đó có 320 người đến dự họp, do đó người ta kê thêm 1 hàng ghế có số ghế như các hàng ban đầu; sau đó mỗi hàng ghế xếp thêm 3 ghế thi vừa đủ chỗ ngồi cho người dự họp. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế? (biết các ghế là như nhau và mỗi ghế chỉ một người ngồi).
Cách giải:
Gọi số ghế mỗi hàng ban đầu là x (ghế) x∈N*,x∈U(255)
Số hàng ghế trong phòng họp ban đầu là: 255x (hàng).
Vì sau đó mỗi hàng ghế xếp thêm 3 ghế nên số ghế mỗi hàng là x+3 (ghế)
Vì phòng họp có 320 người nên số ghế cũng là 320 ghế, vì mỗi hàng ghế xếp thêm 3 ghế thì vừa dư chỗ ngồi cho người dự họp do đó số hàng ghế trong phòng họp là: 320x+3 (hàng)
Vì người ta kê thêm 1 hàng ghế nên ta có phương trình:
320x+3-255x=1
Giải phương trình, ta được:
320x+3-255x=1
⇔320xx(x+3)-255(x+3)x(x+3)=x(x+3)x(x+3)
⇒320x-255x-255.3=x2+3x
⇔x2-62x+765=0
⇔(x-45)(x-17)=0
⇔x=45x=17
Vì x∈U'(255) nên x=17 thỏa mãn.
Khi đó số hàng ghế ban đầu là: 25517=15.
Vậy số hàng ghế ban đầu là 15 hàng và mỗi hàng có 17 chiĉ́c ghế.
Câu 5 (3,5 điểm).
Cách giải:
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Kẻ tia Ax là tiếp tuyến tại A của (O). Trên tia Ax lấy điểm C sao cho CA>R. Kẻ tiếp tuyến CD của (O)(D là tiếp điểm, D khác A ). Đường thẳng CB cắt (O) tại điểm M(M khác B).
1. Chứng minh tứ giác ACDO nội tiếp đường tròn.
CAO=90∘(CA là tiếp tuyến của đường tròn (O))
CDO=90∘(CD là tiếp tuyến của đường tròn (O))
⇒CAO+ CDO=90∘+90∘=180∘
Vậy tứ giác ACDO nội tiếp
2. Chứng minh hai đường thẳng BD và OC song song với nhau.
CD=CA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
OA=OD=R
⇒OC là đường trung trực của AD⇒OC⊥AD
ADB=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒BD⊥AD(2) 
Từ (1) và (2) suy ra OC song song với BD
3. Khi AC=3R2, tính độ dài đoạn thẳng MD theo R.
Gọi P=AD∩OC
CDM=DBC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng chắn cung MD của (O) )
⇒△CMD đồng dạng △CDB( g.g)⇒MDBD=CDCB⇒MD=CD.BDBC
Ta có: CD=CA=3R2(cmt)
Có △CAB vuông tại A⇒BC=AB2+AC2=5R2
△v AOC có: 1AP2=1AC2+1AO2⇒AP=3R1313
Do P là trung điểm của AD⇒AD=6R1313
⇒BD=AB2-AD2=4R1313⇒MD=12R1365
4. Gọi I là trung điểm của BM;E,K,F lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AD và OI;ME và AC;CD và BE. Chứng minh rằng ba đường thẳng AD,BC,KF đồng quy tại một điểm.
Do I là trung điểm của MD⇒OI⊥MD (tính chất đường kính và dây cung) ⇒OIM=90∘
⇒△v OIC đồng dạng △v OPE (g.g)
⇒OIOP=OCOE⇒OI.OE=OP.OC
Lại có △COD vuông tại D⇒OP.OC=OD2=OM2=R2
⇒OI.OE=OM2
⇒OIOM=OMOE⇒△OIM đồng dạng △OME (c.g.c)
⇒OME=OIM=90∘⇒ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Cmtt ta có BE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
KA=KM (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒△KAM cân tại K⇒△KAM=△KMA⇒△KMC=△KCM (cùng phụ với hai góc bằng nhau)
⇒△KCM cân ⇒KM=KC mà KA=KM⇒KA=KC
Chứng minh tương tự ta có FB=FE.
Gọi N=AE∩BC. Ta chứng minh N,K,F thẳng hàng
AC//BE (cùng vuông góc với AB )
△ANC đồng dạng với △ENB(g.g)⇒ANNE=ACBE=AKEF
⇒△ANK đồng dạng với △ENF (c.g.c) ⇒ANK= ENF
180∘=ANK + KNE = ENF + KNE = KNF
Vậy ba đường thẳng AD,BC,KF đồng quy tại N.
Câu 6 (0,5 điểm).
Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x+y≤5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4xy+9x+2y+1
Cách giải:
Ta có: x+y≤5⇒x+2y+1≤y+6⇒9x+2y+1≥9y+6
P=4xy+9x+2y+1≥4xy+xy9+9y+6+y+69-x(y+1)+69
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
4xy+xy9≥24xy.xy9=43
9y+6+y+69≥29y+6.y+69=2
x(y+1)≤(x+y+1)24=(5+1)24=9
⇒P≥43+2-9+69=53
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=2;y=3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 53 khi x=2;y=3.
----------HẾT----------
ĐỀ SỐ 2
UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2024-2025
Môn: Toán (ĐỀ CHUYÊN)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức A=xx+5x+6x-2x-3-x-7x-8x+2x+1-2x+10x+12x-x-6 vói x≥0,x≠9.
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức 4A nhận giá trị nguyên.
Câu II. ( 1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ( P ) có phương trình y=ax2 và đường thẳng (d) có phương trình y=bx-1 (với a,b là các tham số). Tìm các số hữu tỉ a,b để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt sao cho hoành độ một điểm là x=5-35+3.
Câu III. (1,5 điểm)
1. Giải phương trình x3+1+x2-3x-1=0.
2. Giải hệ phương trình x+1+y2+4+y=42xy2+4x+y2+4-y+4y=8.
Câu IV. (1,0 điểm ) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2n-1 và 3n+1 là các số chính phương và 6n-13 là số nguyên tố.
Câu V. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
1. Chứng minh DA là tia phân giác của góc EDF.
2. Chứng minh HDAD+HEBE+HFCF=1.
3. Gọi M là giao điểm của tia EF với đường tròn (O). Gọi P,Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMF và tam giác CME. Chứng minh AM⊥PQ.
4. Tìm mối liên hệ giữa các cạnh của tam giác ABC để biểu thức (AB+BC+CA)2AD2+BE2+CF2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu VI. ( 1,0 điểm) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện abc≥1. 
Tìm giá trị lớn nhất cúa biểu thức P=1a2+1+bc+1b2+1+ac+1abc3+1+1.
----------HẾT----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
LỜI GIẢI ĐỀ TOÁN CHUYÊN LỚP 10/2024 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ NAM
Bài 1 (1.5 điểm). Cho biểu thức A=xx+5x+6x-2x-3-x-7x-8x+2x+1-2x+10x+12x-x-6 với x≥0 và x≠9.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức 4A nhận giá trị nguyên.
Lời giải. a) Với x≥0 và x≠9, ta có
A=(x+1)(x-x+6)(x-3)(x+1)-(x+1)(x-8)(x+1)2-(x+2)(2x+6)(x-3)(x+2)
=x-x+6x-3-x-8x+1-2x+6x-3=x-3xx-3-x-8x+1=x-x-8x+1
=x+8x+1
Vậy A=x+8x+1, với x≥0 và x≠9.
b) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số thực không âm x và 4 , ta có x+4≥4x. Mà x+1>0 nên A=x+8x+1≥4x+4x+1=4, suy ra 0<4A≤1
Vì 4A là số nguyên ta phải có 4A=1. Do đó, dấu đẳng thức trong bất đẳng thức trên phải xảy ra, hay ta phải có x=4 (thỏa mãn điều kiện xác định).