Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

CHUYÊN ĐỀ 1: BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 1: SO SÁNH HAI SỐ
Bài vận dụng:
10750 và 7375
291 và 535
544 và 2112
19920 và 200315
339 và 1121
98 và 89
333444 và 444333
5143 và 7119 (*)
21995 và 5863 (*)
3976 . 42015 và 71997 (*)
DẠNG 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
Bài tập minh họa:
Bài 1:
Cho biểu thức: A = 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100 và B = 3101 – 1. Chứng minh
rằng: A < B.
Cho A = 1 + 4 + 42 +  + 499, B = 4100. Chứng minh rằng: A < B/3
Cho H = 12 +22 +32+...+ 992 + 1002 và B = 10100. Chứng minh rằng H > B
Cho E = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 999.1000 và B = 111111000. Chứng minh
rằng E > B.
Bài 2: Cho 
222 100
1
...
3
1
2
1
 E .
Chứng minh rằng:
4
3
 E
Bài 3: Cho
200
199
.....
6
5
.
4
3
.
2
1
 C . Chứng minh:
201
12 C
Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Bài 4: Cho A = 1 + 
1
2
+
1
3
+ ⋯ +
1
2100−1
. Chứng minh rằng:
a) A < 100
b) A > 50
Bài 5: Chứng minh rằng:
!9
1
!1000
9
...
!12
9
!11
9
!10
9
 A
Bài 6: Cho 
9932 4
5
...
4
5
4
5
4
5
 C . Chứng minh:
3
5
 C
Bài 7: Cho 
10032 3
302
...
3
11
3
8
3
5
 G . Chứng minh:
2
1
3
9
5
2 G
Bài 8: So sánh 
20
1
1....
4
1
1
3
1
1
2
1
1L với
21
1
Bài 9: Cho
200
1
...
103
1
102
1
101
1
 C . Chứng minh rằng:
 C > 
7
12
 C > 
5
8
a) Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho
70
1
...
13
1
12
1
11
1
 C . Chứng minh rằng: 
4
3
< 𝐶 < 2,5
Bài 2: Chứng minh rằng: 1
!100
1
...
!4
1
!3
1
!2
1
 A
Bài 3: Chứng minh rằng: 
1
2
−
1
3
+
1
4
−
1
5
+ ⋯ +
1
98
−
1
99
Chứng minh rằng: 0,2 < A < 0,4.
Bài 4: Chứng minh rằng:
2
1
100
1
...
6
1
4
1
2
1
2222
 A
Bài 5: Cho 
2222 2007
2
...
7
2
5
2
3
2
 A . Chứng minh:
2008
1003
 A
Bài 6: Cho 
222 409
1
...
9
1
5
1
 S . Chứng minh:
12
1
 S
Bài 7: Cho
1764
1766
...
25
27
16
18
9
11
 A . Chứng minh:
21
20
40
43
20
40 A
Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Bài 8: Cho
100.99
101.98
...
5.4
6.3
4.3
5.2
3.2
4.1
 N . Chứng minh 97 < N < 98.
Bài 9: Cho
308.305.302
5
...
14.11.8
5
11.8.5
5
 C . Chứng minh
48
1
 C
Bài 10: Cho 
98
98
3
13
...
27
28
9
10
3
4 
 B . Chứng minh B < 100.
DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
a) Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 
14−𝑥
4−𝑥
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 
7−𝑥
𝑥−5
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 
𝑥−13
𝑥 +3
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 
2𝑥 + 4
𝑥 + 1
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Tìm các số tự nhiên a và b nhỏ nhất sao cho a7 = b8
Bài 6: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho ta có cách thêm n chữ số vào sau
số đó để được số chia hết cho 39.
Bài 7: Viết số 72 thành tổng của hai số mà BCNN của chúng có giá trị lớn nhất.
Bài 8: Cho dãy số tự nhiên 1, 2, 3, 4, , 50.
 Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho ƯCLN của chúng đạt giá trị lớn nhất.
 Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho BCNN của chúng đạt giá trị lớn nhất.
a) Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 
1
4+𝑥
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 
5𝑥−19
𝑥−4
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 
10𝑥 + 25
2𝑥 +4
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 
3𝑥 + 7
𝑥−1
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Bài 5: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 15, ta được: A = 12341415
Hãy xóa đi 15 chữ số của số A để các chữ số còn lại (vẫn giữ nguyên thứ tự
như trước) tạo thành:
a. Số lớn nhất
b. Số nhỏ nhất
Bài 6: Tìm các phân số có tử và mẫu đều dương sao cho tổng của phân số đó với
nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất.
Bài 7: Tổng của bốn số nguyên dương bằng 402. ƯCLN của chúng có giá trị lớn
nhất là bao nhiêu?
Bài 8: Dùng mười chữ số khác nhau, hãy viết số chia hết cho 8 có mười chữ số sao
cho số đó có giá trị:
a. Lớn nhất
b. Nhỏ nhất
DẠNG 4: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỀ TÌM KHOẢNG GIÁ TRỊ CỦA SỐ PHẢI TÌM
 Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm hai số nguyên dương sao cho tích của hai số ấy gấp đôi tổng của chúng.
Bài 2: Viết phân số 
1
4
thành tổng của hai phân số có tử bằng 1, mẫu dương và khác
nhau.
Bài 3: Tìm hai số tự nhiên sao cho tổng của hai số ấy bằng tích của chúng.
Bài 4: Tìm ba số nguyên tố a, b, c khác nhau sao cho: abc < ab + bc + ca
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng số đó có thể phân tích thành tích
của hai thừa số có tổng bằng 100 và một trong hai thừa số ấy có dạng aa .
Bài 2: Tìm hai số tự nhiên sao cho tích của hai số ấy gấp bốn lần tổng của chúng.
Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Bài 3: Viết phân số 
1
6
thành tổng của hai phân số có tử bằng 1, mẫu dương và khác
nhau.
Bài 4: Tìm hai phân số có tử bằng 1, các mẫu dương, biết rằng tổng của hai phân
số ấy cộng với tích của chúng bằng 
1
2
Bài 5: Tìm bốn số tự nhiên sao cho tổng nghịch đảo các bình phương của chúng
bằng 1.
HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ
 DẠNG 1: SO SÁNH HAI SỐ
Bài vận dụng:
 10750 và 7375
10750 < 10850 = (4.27)50 = 2100. 3150 (1)
7375 > 7275 =(8.9)75 = 2225.3150 (2)
Mà 2100 .3150 < 2225. 3150 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: 10750 < 7375
 291 và 535
291 = (213)7 = 81927
535 = (55)7= 31257
=> 291> 535
 544 và 2112
Có 544 = (2.27)4 = (2.33)4 = 24.312
2112 = (3.7)12 = 312.712
712 > 24 => 544 < 2112
 19920 và 200315
19920 < 20020 = (8.25)20 = (23 . 52)20 = 260.540
200315 > 200015 = (16.125)15 = (24 .53)15 = 260.545
Vì 260.545 > 260.540 nên 200315 > 19920
 339 và 1121
339 < 340 = (34)10 = 8110
1121 > 1120 = (112)10 = 12110
Mà 12110 > 8110 => 1121 > 339
Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - DeThiToan.net
DeThiToan.net
 98 và 89
98 < 108 = 1004 = 100.1003
89 = 5123 > 5003 = 53.1003 = 125.1003
=> 89 > 98
 333444 và 444333
333444 = (3.111)4.111 = (34.1114)111 = 8991111.111333
444333 = (4.111)3.111 = (43.1113)111 = 64
111.111333
Mà 8991111.111333 > 64111.111333 nên 333444 > 444333
DẠNG 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
Bài tập minh họa:
Bài 1:
Cho biểu thức: A = 3 + 32 + 33 + 34 +.....+ 3100 và B = 3101 – 1. Chứng minh
rằng: A < B.
Ta có: A + 1 = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 +.....+ 3100 =
3101−1
3−1
= 
3101−1
2
A =
3101−1
2
– 1 =
3101−3
2
< B = 3101 – 1 (đpcm).
Cho A = 1 + 4 + 42 +  + 499, B = 4100. Chứng minh rằng: A < B/3
A = 1 + 4 + 42 +  + 499 = 
4100−1
4−1
= 
4100−1
3
< 
4100
3
= 
𝐵
3
Cho H = 12 +22 +32+...+ 992 + 1002 và B = 10100. Chứng minh rằng H > B
H = 12 +22 +32+...+ 992 + 1002 =
100.(100+1).(2.100+1)
6
=
100.101.201
6
=
338350 > 10100.
Vậy H > B (đpcm)
Cho E = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 999.1000 và B = 111111000. Chứng minh
rằng E > B.
E = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 999.1000 =
(1000−1).1000.(1000+1)
3
=
999.1000.1001
3
= 333333000 > 111111000 = B
Vậy E > B
Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Bài 2: Cho 
222 100
1
...
3
1
2
1
 E .
Chứng minh rằng:
4
3
 E
Giải:
Giữ nguyên phân số
1
22
, còn các phân số sau thay bằng các phân số lớn hơn, ta có:
E <
1
22
+ 
1
2.3
+
1
3.4
+.+
1
99.100
= 
1
4
+ F
F =
1
2
- 
1
3
+ 
1
3
- 
1
4
++ 
1
99
- 
1
100
Do đó: E < 
1
4
+ 
1
2
- 
1
100
< 
3
4
(ĐPCM)
Bài 3: Cho
200
199
.....
6
5
.
4
3
.
2
1
 C . Chứng minh:
201
12 C
Giải:
Biểu thức C là tích của 100 phân số nhỏ hơn 1, trong đó các tử đều lẻ, các mẫu đều
chẵn. Ta đưa ra biểu thức trung gian là một tích các phân số mà các tử đều chẵn,
các mẫu đều lẻ. Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số của A, giá trị mỗi phân số
tăng thêm, do đó:
C <
2
3
.
4
5
.
6
7
..
200
201
(2)
Nhân (1) với (2) theo từng vế ta được:
C2 < (
1
2
.
3
4
.
5
6
..
199
200
).(
2
3
.
4
5
.
6
7
..
200
201
)
Vế phải của bất đẳng thức trên bằng
1
201
Vậy C2 <
1
201
(đpcm)
Bài 4: Cho A = 1 +
1
2
+
1
3
+ ⋯ +
1
2100−1
. Chứng minh rằng:
Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - DeThiToan.net
DeThiToan.net
 A < 100
Để chứng tỏ A < 100, ta chia A thành 100 nhóm:
A=1 + (
1
2
+
1
3
) + (
1
22
+ ⋯ +
1
7
) + (
1
23
+ ⋯ +
1
15
) + ⋯ + (
1
299
+ ⋯ +
1
2100−1
)
Thay mỗi phân số trong dấu ngoặc bằng phân số lớn hơn tronh dấu ngoặc đó, ta
được:
A < 1 +
1
2
.2 +
1
4
.4 +
1
8
.8 + +
1
299
.299 = 100
 A > 50
Để chứng tỏ rằng A > 50, ta thêm và bớt
1
2100
rồi viết A dưới dạng sau:
A = 1 + 
1
2
+ (
1
3
+
1
22
)+ (
1
5
+
1
23
)+ (
1
9
+
1
24
)++(
1
299+1
+
1
2100
)- 
1
2100
Thay các phân số trong mỗi dấu ngoặc bằng phân số nhỏ nhất trong dấu
ngoặc đó, ta được:
A > 1 +
1
2
+ 
1
22
.2 +
1
23
.22 ++
1
2100
.299 -
1
2100
= 1 + 
1
2
.100 -
1
2100
> 50
Bài 5: Chứng minh rằng:
!9
1
!1000
9
...
!12
9
!11
9
!10
9
 A
Giải:
A <
10−1
10!
+ 
11−1
11!
+ 
12−1
12!
+  + 
1000−1
1000!
= 
1
9!
- 
1
10!
+ 
1
10!
- 
1
11!
+ 
1
11!
- 
1
12!
++ 
1
999!
- 
1
1000!
= 
1
9!
- 
1
1000!
< 
1
9!
(đpcm).
Bài 6: Cho 
9932 4
5
...
4
5
4
5
4
5
 C . Chứng minh:
3
5
 C
Giải:
Ta có:
9932 4
5
...
4
5
4
5
4
5
 C
Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - DeThiToan.net
DeThiToan.net
9821 4
5
...
4
5
4
5
1
5
4 C
984
5
1
5
3 C
984.3
5
3
5
 C
3
5
 C
Bài 7: Cho 
10032 3
302
...
3
11
3
8
3
5
 G . Chứng minh:
2
1
3
9
5
2 G
Bài 8: So sánh 
20
1
1....
4
1
1
3
1
1
2
1
1L với