Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

pdf 299 trang Thanh Lan 25/06/2024 1021
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

Tóm tắt nội dung tài liệu: Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A-B >0, CHÚ Ý BĐT 2 0A 
Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì 2 2 2x y z xy yz zx 
HD:
Xét hiệu ta có:
 2 2 22 2 22 0 0x y z xy yz zx x y y z z x 
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì 2 2 2 2 2 2x y z xy yz zx 
HD:
Xét hiệu ta có:
22 2 2 2 2 2 0 0x y z xy yz zx x y z 
Dấu bằng xảy ra khi x+z=y
Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì 2 2 2 3 2x y z x y z 
HD:
Xét hiệu ta có:
2 2 2
1 1 1 0x y z 
Dấu bằng khi x=y=z=1
Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có :
22 2
2 2
a b a b 
HD :
Xét hiệu ta có :
2 2 2 22
0
2 4
a b a ab b 
 2 2 2 22 2 2 0a b a ab b 
22 22 0 0a ab b a b 
Dấu bằng khi a=b
Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có :
22 2 2
3 3
a b c a b c 
HD:
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 9
a b c a b c ab bc ac 
 2 2 2 2 2 23 3 3 2 2 2 0a b c a b c ab bc ac 
2 2 22 2 2 2 2 2 0a b c ab bc ac 
2 2 2
0a b b c c a , Dấu bằng khi a=b=c
Bài 6: CMR :
2
2 2 2
3
a b c
a b c
HD:
Ta có:
2 2 2 2 2 23 3 3 2 2 2a b c a b c ab bc ca 
2 2 22 2 2 2 2 2 0a b c ab bc ac 
2 2 2
0a b b c c a , Dấu bằng khi a=b=c
Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - DeThiToan.net
Bài 7: CMR :
2
2 2 2
2
a b
a b ab
HD:
Ta chứng minh:
2
2 2
2
a b
a b
2 2 2 22 2 2a b a ab b 
22 2 2 0 0a b ab a b 
Dấu bằng khi a=b
Ta chứng minh
2
2
2
a b
ab
22 22 4 0a ab b ab a b 
Dấu bằng khi a=b
Bài 8: Cho a,b,c là các số thực, CMR:
2
2
4
b
a ab 
HD:
Ta có:
22 24 4 2 0a b ab a b 
Dấu bằng khi b=2a
Bài 9: Cho a,b,c là các số thực, CMR : 2 2 1a b ab a b 
HD:
Ta có:
2 2 1 0a b ab a b 
2 22 2 2 2 2 2 0a b ab a b 
 2 2 2 22 2 1 2 1 0a ab b a a b b 
2 2 2
1 1 0a b a b 
Dấu bằng khi a=b=1
Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực : CMR : 2 2 2 2 2a b c d e a b c d e 
HD:
Ta có:
2 2 2 2 2 0a b c d e ab ac ad ae 
2 2 2 2 24 4 4 4 4 4 4 4 4 0a b c d e ab ac ad ae 
 2 2 2 2 2 2 2 24 4 4 4 4 4 4 4 0a ab b a ac c a ad d a ae e 
2 2 2 2
2 2 2 2 0a b a c a d a e 
Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e
Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0 CMR:
1 1
1 1 9
a b
HD:
ta có: VT 1 1 2 2 4 2 1
a b a b b a a b
a b a b b a
5 2 5 2.2 9
a b
b a
Dấu bằng khi 
2 2 1
2
a b
a b a b
b a
Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - DeThiToan.net
Bài 12: Cho
2
, 0, :
2
x y
x y CMR xy
HD:
Ta có:
22 2 2 22 4 2 0 0x y xy xy x xy y x y , Dấu bằng khi x=y
Bài 13: Cho a > 0, b > 0, CMR: 
3 3 2 2a b a b ab 
HD:
Ta có:
 3 2 3 2 2 20 0a a b b ab a a b b a b 
 22 2 0 0a b a b a b a b 
Dấu bằng khi a=b
Bài 14: Cho 1,a b CMR: 
2 2
1 1 2
1 1 1a b ab
HD:
Xét hiệu:
2 2
1 1 1 1
0
1 1 1 1a ab b ab
 2 2
0
1 1 1 1
a b a b a b
a ab b ab
2
2 2
1
0
1 1
b a ab
ab a b a
Dấu bằng khi a=b hoặc a=b=1
Bài 15: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có : 2 2 2 2x y z t x y z t 
HD:
Ta có:
2 2 2 2 0x y z t xy xz xt 
 2 2 2 24 4 4 4 4 4 4 0x y z t xy xz xt 
 2 2 2 2 2 2 24 4 4 4 4 4 0x xy y x xz z x xt t x 
Dấu bằng khi x= 2y=2z=2t=0
Bài 17: CMR :
2
2 2 2
4
a
b c ab ac bc 
HD:
Ta có:
2 2 24 4 4 4 8 0a b c ab ac bc 
 2 2 24 4 2 0a a b c b c bc 
22 4 4 0a a b c b c 
2
2 2 0a a c 
Bài 19: CMR : 
2 2 2 2 2 2x y z xy zx yz 
HD:
Ta có:
2 2 2 2 2 2 0x y z xy yz zx 
 2 2 22 2 0x x y z y yz z 
2 22 2 0 0x x y z y z x y z 
Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - DeThiToan.net
Bài 20: CMR : 4 4 4 21 2 1x y z x xy x z 
HD:
Ta có:
4 4 4 2 2 21 2 2 2 2 0x y z x y x xz x 
 4 4 2 2 2 2 22 2 2 1 0x y x y x xz z x x 
2 2 22 2 1 0x y x z x 
Dấu bằng khi x=z=1, y= 1 
Bài 21: CMR : 
2 2 2a b c ab bc ca 
HD:
Ta có :
2 2 2 0a b c ab bc ca 
2 2 22 2 2 2 2 2 0a b c ab bc ca 
2 2 2
0a b b c c a 
Bài 22: CMR : 
2 2a b ab 
HD:
ta có:
2 2 0a b ab 
22 2 2
2 3 32 . 0 0
2 4 4 2 4
b b b b b
a a a
Bài 23: CMR : 
2 2 0x xy y 
HD:
Ta có:
22 2 2
2 3 32 . 0 0
2 4 4 2 4
y y y y y
x x x
Bài 24: CMR : 2 2 0a a b a c a b c b c 
HD:
 2 2 0a a b c a b a c b c 
 2 2 2 2 0a ab ac a ab ac bc b c 
Đặt
2a ab ac x
bc y
Khi đó ta có: 2 2 20 0x x y y x xy y 
Bài 25: CMR : 
2
2 2 4 4 3 3a b a b a b 
HD:
Ta có:
6 2 4 4 2 6 6 3 3 62a a b a b b a a b b 
 4 2 3 3 2 4 3 3 0a b a b a b a b 
 3 2 2 3 0a b a b a b b a 
 23 2 2 3 2 20 0a b a b a b a b a b 
Bài 26: CMR : 3 3 4 42a b a b a b 
HD:
Ta có:
4 3 3 4 4 42 2a ab a b b a b 4 3 4 3 0a ab b a b 
 3 3 0a a b b b a 23 3 2 20 0a b a b a b a ab b 
Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - DeThiToan.net
Bài 27: Cho a,b > 0, CMR : 3 3 2 22 a b a b a b 
HD:
Ta có:
3 3 3 2 2 32 2a b a ab a b b 
 3 2 3 2 0a a b b ab 
 2 2 0a a b b b a 
2
0a b a b 
Bài 28: Cho a, b > 0, CMR: 33 34 a b a b 
HD:
Ta có:
3 3 3 2 2 34 4 3 3a b a a b ab b 
 3 2 3 23 3 3 3 0a a b b ab 
 2 2 2 23 3 0 3 0a a b b b a a b a b 
2
3 0a b a b 
Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR: 3 3a b abc ab a b c 
HD:
Ta có:
3 3 2 2a b abc a b ab abc 
 3 2 3 2 0a a b b ab 
 2 2 0a a b b b a 
2
0a b a b 
Bài 30: CMR: 
2 22 2a b ab a b 
HD:
Ta có:
 4 2 2 4 2 2 3 2 2 32 2 2a a b b ab a ab b a b a b ab 
 4 3 4 3 0a a b b ab 
 3 3 0a a b b b a 
 23 3 2 20 0a b a b a b a ab b 
Bài 31: CMR: 2 2 2a b c a b c 
HD:
ta có:
2 2 2 0a b c ab ac 
 2 2 24 4 4 4 4 0a b c ab ac 
 2 2 2 2 24 4 4 4 2 0a ab b a ac c a 
2 2 22 2 2 0a b a c a 
Bài 32: CMR: 2 2 2 2a b c d a b c d 
HD:
2 2 2 2 0a b c d ab ac ad 
 2 2 2 24 4 4 4 4 4 4 0a b c d ab ac ad 
 2 2 2 2 2 2 24 4 4 4 4 4 0a ab b a ac c a ad d a 
2 2 2 22 2 2 0a b a c a d a 
Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - DeThiToan.net
Bài 33: CMR: 2 2 2
3
4
a b c a b c 
HD:
Ta có:
 2 2 2
3
0
4
a a b b c c 
 2 2 2
1 1 1
0
4 4 4
a a b b c c
2 2 2
1 1 1
0
2 2 2
a b c
Bài 34: CMR: 
4 4 2 4a b ab 
HD:
ta có:
4 4 4 2 0a b ab 
 4 4 2 2 2 22 2 4 2 0a b a b a b ab 
2
2 2 2 22 2 1 0a b a b ab 
2 22 2 2 1 0a b ab 
Bài 35: CMR: 
4 4 5 0x x 
HD:
ta có:
 4 2 24 4 4 4 1 0x x x x 
2 22 2 2 1 0x x 
Không xảy ra dấu bằng
Bài 36: CMR: 
4 1 0
2
x x 
HD:
Ta có:
4 2 21 1 0
4 4
x x x x
2 2
2 1 1 0
2 2
x x
Bài 37: CMR: 
3 24 1 3 ( 0)x x x x 
HD:
ta có: 
3 23 4 1 0x x x 
 2 24 1 0x x x x 
2 22 1 0x x x , Vì x > 0
Bài 39: CMR: 1 2 3 4 1x x x x 
HD:
 1 4 2 3 1 0x x x x 
 2 25 4 5 6 1 0x x x x 
Đặt 2 5 5x x t 
Khi đó ta có: 1 1 1 0t t 
 2 0t , Dấu bằng khi t=0
Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - DeThiToan.net
Bài 40: CMR: 4 3 2 1 0x x x x 
HD:
Ta có : 3 21 1 0x x x x 
 3 21 1 0x x x x
 2 2 21 1 0x x x x ( ĐPCM)
Bài 41: CMR : 
2 2 24 4 4 8 4a b c ab bc ac 
HD:
Ta có:
2 2 24 4 4 8 4 0a b c ab bc ac 
2 22 2 2 2. .2 2.2 .2 2. .2 0a b c a b b c a c 
2
0a b c 
Bài 42: CMR : 3 3 33 3 38 a b c a b b c c a với a, b, c >0
HD:
Ta có:
3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 28 8 8 2 2 2 3 3 3 3 3 3a b c a b c a b ab b c bc a c ac 
 3 3 3 2 2 2 2 2 26 6 6 3 3 3 3 3 3 0a b c a b ab b c bc a c ac 
 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0a a b a a c b b a b b c c bc c ac 
 2 2 2 2 2 23 3 3 3 3 3 0a a b a a c b b a b b c c c b c c a 
 2 2 2 2 2 23 3 3 0a b a b a c a c b c b c 
2 2
3 3 3 0a b a b a c a c b c b c 
Bài 43: CMR: 
3 3 3 3 24a b c a b c abc với a,b,c>0
HD:
Ta có:
 3 3 3 3 3 33 24a b c a b b c c a a b c abc 
 3 24a b b c c a abc 
Vì
2
2
2
a b ab
b c bc
c a ca
, Nhân theo vế ta được ĐPCM
Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có:
2 2
2 2
4 3
x y x y
y x y x
HD:
Ta có:
 4 4 2 2 2 24 3x y x y xy x y 
2
2 2 2 2 2 2 2 22 2 0x y xy x y x y xy x y 
 2 2 2 2 2 22 0x y x y xy xy xy x y 
 2 2 2 2 2 0x y xy x y xy 
 2 2 2 0x y x xy y 
Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - DeThiToan.net
Bài 45: CMR : Nếu 1a b , thì 3 3
1
4
a b 
HD:
Ta có:
3 2 31 1 3 3b a b a a a 
2
3 3 2 1 1 13 3 1 3
2 4 4
a b a a a
Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR : 
2 2 2ab bc ca a b c 
HD:
Ta có:
2 2 2 0a b c ab bc ca 
2 2 2
0a b b c c a 
Bài 47: CMR :
2
2
1
0
1
a a
a a
HD:
Ta có:
2 2 1 31 0,
4 4
a a a a a
  
2 2 1 31 0,
4 4
a a a a a
  
Nên VT > 0
Bài 48: CMR : 24 1 1 0a a b a a b b 
HD:
Ta có:
 24 1 1 0a a b a a b b 
 2 2 24 0a ab a a ab a b b . đặt 
2a ab a x
b y
 24 0x x y y 
 2 24 4 0x xy y 
2
2 0x y , Dấu bằng khi 
 2 2 12 2 2 2
2 1
a a
x y a ab a b b
a
Bài 49: CMR :
2
2 2 2
2
x y
x y xy
HD:
Ta có:
2
22 2 2 2 2 2
2
22 2
2 2 2 0
2
2 2 4 0
2
x y
x y x y x y xy x y
x y
xy x y xy xy x y
Bài 50: CMR :
1 1 4
a b a b
, Với a,b > 0
HD:
Ta có:
 4a b
ab a b
2 2
4 0a b ab a b 
Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - DeThiToan.net
Bài 51: CMR : 4 4 2 2a b ab a b 
HD:
Ta có: 4 4 3 3 0a b a b ab 
 3 3 0a a b b a b 
 2 2 2 0a b a ab b 
Bài 52: CMR :
44 4
2 2
a b a b 
HD:
Ta có:
4 4 4 4 2 2 2 2 3 38 8 4 2 4 4a b a b a b a b a b ab 
 4 4 2 2 2 2 3 37 7 4 2 4 4 0a b a b a b a b ab 
 4 4 2 2 4 4 2 2 2 22 6 6 4 8 0a b a b a b ab a b a b 
2
2 2 2 2 2 2 4 4 2 24 4 6 12 0a b ab a b a b a b a b 
2
2 2 4 4 2 22 6 2 0a b ab a b a b 
24 2 26 0a b a b 
Bài 53: Cho a+b+c=0, CMR : 0ab bc ca 
HD:
Ta có: 2 2 2 2 0a b c ab bc ca 
 2 2 22 0ab bc ca a b c 
Dấu bằng khi a=b=c=0
Bài 54: Cho x,y,z R , CMR : 2 2 2 2 2 23x y y z z x x y z 
HD:
Ta có:
2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 3 3 3x y z xy yz zx x y z 
 2 2 2 2 2 2 0x y z xy yz zx 
2
0x y z 
Bài 55: CMR : Với mọi x,y khác 0, ta luôn có :
6 6
4 4
2 2
x y
x y
y x
HD:
Ta có: 2 2 4 4 8 8x y x y x y 
 8 8 6 2 2 6 0x y x y x y 
 6 2 2 6 2 2 0x x y y x y 
 6 6 2 2 0x y x y 
 2 2 4 2 2 4 2 2 0x y x x y y x y 
2
2 2 4 2 2 4 0x y x x y y 
Bài 56: CMR : 2 2 22 2a b c a b c 
HD:
Ta có: 
2 2 22 2 2 0a b c ab ac 
 2 2 2 22 2 0a ab b a ac c 
2 2
0a b a c 
Bộ 14 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - DeThiToan.net
Bài 57: CMR : 4 3 3 4 0a a b ab b 
HD:
ta có:
 3 3 0a a b b a b 
 3 3 0a b a b 
 2 2 2 0a b a ab b 
Bài 58: CMR : 
4 3 2 2 3 42 2 2 0a a b a b ab b 
HD:
Ta có:
 4 2 2 2 4 2 2 22 . 2 . 0a a ab a b b ab b a b 
2 2
2 2 0a ab b ab 
Bài 59: CMR : 4 4 

File đính kèm:

  • pdfbo_14_chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_8.pdf