Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Hải Phòng (Có đáp án)

 Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiToan.net
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐỀ SỐ 1
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
 HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2025 - 2026
 Môn thi: Toán (Chuyên)
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Gọi S là tập hợp gồm các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau, tạo thành từ các chữ số 
0,1,2,3,4,5 và 6 . Mỗi bạn An và Bình viết ngẫu nhiên một số thuộc tập S lên bảng. Tính xác 
suất để tổng của hai số được viết lên bảng là số chẵn.
b) Lúc 6 giờ sáng, bạn Hải đi xe đạp từ vị trí A đến vị trí B , quãng đường AB dài 25 km . 
 2
Khi đi được quãng đường AB, Hải dừng lại tại vị trí C để ăn sáng 35 phút. Sau đó, Hải tiếp 
 5
tục đi từ C đến B với tốc độ chậm hơn 2 km/ giờ so với tốc độ đi trên đoạn đường AC . Khi 
đến B , Hải nghỉ lại 45 phút và quay ngược trở lại A (theo tuyến đường ban đầu) với tốc độ 
 3
bằng tốc độ đi đoạn đường từ A đến C . Hải về đến A lúc 10 giờ 20 phút sáng cùng ngày. 
 4
Hỏi bạn Hải đến B lúc mấy giờ (giả sử tốc độ trên từng đoạn đường là không đổi)?
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình x2 +2x + 2x x + 1 = 5 ― x + 1.
 x(x + 1) = (y ― 1)(y ― 2)
b) Giải hệ phương trình .
 4x2 ― 3y + 6 = 4x 4 ― y + 2 x ― y
Câu 3. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có đường tròn nội tiếp ( I ) tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB 
lần lượt tại các điểm D,E,F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF, tia DM cắt đường tròn ( 
I ) tại điểm H(H khác D).
a) Chứng minh MA.MI = MH.MD.
b) Tia AH cắt đường tròn (I) tại điểm P(P khác H). Chứng minh hai đường thẳng DP và EF 
song song.
c) Gọi X là trung điểm của đoạn thẳng BC, đoạn thẳng AX cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác 
AEF tại điểm N(N khác A), tia DI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm G(G khác 
I). Chứng minh tiếp tuyến tại G, tiếp tuyến tại N của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và 
đường thẳng EF đồng quy.
Câu 4. (1,0 điểm)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh
 x2 y2 z2
 + + ≥ 1
 x3 + 8 y3 + 8 z3 + 8
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiToan.net
Câu 5. (2,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên dương a,b sao cho các số 8a3 +18ab + 1 và 8b3 +18ab + 1 đều là 
lập phương của số nguyên.
b) Cho tập hợp S = {x ∈ ℤ∣1 ≤ x ≤ 15}. Xét T là một tập con của S và có tính chất: với a,b,c 
bất kì thuộc T(a,b,c đôi một khác nhau) thì tích abc không là số chính phương. Hỏi T có 
nhiều nhất bao nhiêu phần tử? (Tập hợp A được gọi là tập con của tập hợp B nếu mọi phần tử 
của A đều là phần tử của B).
 ---------HẾT---------
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐÁP ÁN
 Câu Nội dung Điể̀m
 a) (1,0 điểm)
 Trong tập S có:
 Số số có hai chữ số khác nhau là: 6.6 = 36
 0,25
 Số số lẻ có hai chữ số khác nhau là: 3.5 = 15
 Số số chẵn có hai chữ số khác nhau là: 36 - 15 = 21
 n(Ω) = 362 0,25
 Biến cố A: "Tổng hai số là số chẵn" ⇒n(A) = 152 + 212 0,25
 2 2 37
 Xác suất của biến cố A là: 15 21 . 0,25
 P(A) = 362 = 72
 b) (1,0 điể̀m)
 Gọi x (km/ giờ) là tốc độ của Hải khi đi quãng đường AC, x > 2.
 Khi đó: tốc độ đi quãng đường theo hướng từ C đến B là: x – 2 (km/giờ). 0,25
 1 3x
 Tốc độ khi đi quãng đường từ B về A là: (km/giờ).
 (2,0 4
 10
điểm) Thời gian đi quãng đường AC là: (giờ).
 x
 15
 Thời gian đi quãng đường CB là: (giờ).
 x 2 0,25
 25 100
 Thời gian đi quãng đường từ B đến A là: 3x = (giờ).
 4 3x
 10 7 15 3 100 13 10 15
 Theo đề ra ta có phương trình: 
 x + 10 + x 2 + 4 + 3x = 3 ⇒ x + x 2 +
 100
 = 3⇒9x2 ―193x + 260 = 0.
 3x 0,25
 13
 Suy ra (chọn) ; (loại).
 x1 = 20 x2 = 9
 Vậy tốc độ của người đó đi trên đoạn đường AC là 20( km/giờ).
 10 7 15 23
 Thời gian từ lúc xuất phát đến khi đến B bằng: + + = (giờ).
 20 10 20 2 12 0,25
 Vậy người đó đến B lúc 7 giờ 55 phút.
 a) (1,0 điể̀m)
 ĐKХĐ: x ≥ ―1
 x2 + 2x + 2x x + 1 = 5 ― x + 1
 2 0,5
 ⇔(x + x + 1)2 + (x + x + 1) ― 6 = 0
 (2,0 
điểm) ⇔(x + x + 1 ― 2)(x + x + 1 + 3) = 0
 Suy ra x + x + 1 ―2 = 0 vì x + x + 1 +3 > 0 với mọi x ≥ ―1. 0,25
 x ≤ 2 5 13
 Từ đó ta có: x + 1 = 2 ― x⇔ 2⇔x = . 0,25
 x + 1 = 4 ― 4x + x 2
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiToan.net
 Vậy phương trình có nghiệm: 5 13.
 x = 2
 b) (1,0 điểm)
 x(x + 1) = (y ― 1)(y ― 2) (1)
 4x2 ― 3y + 6 = 4x 4 ― y + 2 x ― y (2)
 y ≤ 4 0,25
 Điều kiện xác định: x ― y ≥ 0 
 (1)⇔x(x + 1) = (y ― 1)(y ― 2)⇔(x ― y + 2)(x + y ― 1) = 0
 x ― y = ―2 < 0 (KTM) 0,25
 ⇔ y = 1 ― x
 Thay vào (2): 
 4x2 ― 3(1 ― x) + 6 = 4x 4 ― 1 + x + 2 x ― 1 + x
 ⇔4x2 + 3x + 3 ― 4x x + 3 ― 2 2x ― 1 = 0 0,25
 ⇔4x2 ― 4x x + 3 + (x + 3) + (2x ― 1) ― 2 2x ― 1 + 1 = 0
 ⇔(2x ― x + 3)2 + ( 2x ― 1 ― 1)2 = 0
 2x = x + 3
 ⇔ ⇔x = 1. Với x = 1⇒y = 0. 
 2x ― 1 = 1 0,25
 Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (1;0).
 a) (1,0 điểm)
 3
 (3,0 
điểm)
 Ta có A,M,I thẳng hàng và EF ⊥ AI.
 0,5
 Tam giác vuông AEI có MA.MI = ME2.
 Ta có: HEDF nội tiếp suy ra MH ⋅ MD = MF ⋅ ME = ME2.
 0,5
 Từ đó MA.MI = MH.MD.
 b) (1,0 điể̀m)
 Theo a) suy ra tứ giác AHID nọi tiếp nên ADI = IHP. 0,25
 Mặt khác △ IHP cân tại I nên IPH = IHP.
 0,25
 Do đó ADI = IPH
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiToan.net
 Lại có △ IDP cân tại I nên IDP = IPD
 0,25
 Do đó ADP = ADI + IDP = IPH + IPD = APD suy ra △ ADP cân tại A
 Do đó AD = AP. Mà ID = IP nên AI là trung trực DP.
 0,25
 Vì vậy EF‖DP (do cùng vuông góc AI )
 c) (1,0 điểm)
 Ta thấy ngay A,E,I,F,G,N cùng thuộc đường tròn đường kính AI. Gọi giao 
 điểm DI và EF là K. Qua K kẻ đường vuông góc với KD cắt AB,AC tại Q,J. 
 0,25
 Ta có: IKQ = IFQ = 90∘ và IKJ = IEJ = 90∘. Do đó tứ giác QKIF và KEJI 
 nội tiếp.
 Suy ra IQK = IFK = IFE = IEF = IEK = IJK. 
 Vi vậy △ IQJ cân tại I nên K là trung điểm QJ.
 0,25
 Xét △ ABC có QJ‖BC và K,X lần lượt là trung điểm QJ,BC.
 Suy ra A,K,X thẳng hàng (theo bổ đề hình thang).
 Ta có: AENF nội tiếp suy ra ANE = AFE = AEF = ANF.
 NE KE
 Xét có là phân giác suy ra (1)
 △ NEF NK NF = KF
 Ta có FGI = FAI = EAI = EGI nên GK là phân giác △ GFE 0,25
 GE KE
 suy ra (2)
 GF = KF
 NE GE
 Từ (1), (2) suy ra (3)
 NF = GF
 Gọi giao điểm tiếp tuyến tại N, tiếp tuyến tại G của đường tròn đường 
 kính AI và đường thẳng FE lần lượt là S,S′.
 SN
 Khi đó (góc tiếp tuyến) nên 
 SNE = SFN △ SNE ∽△ SFN(g.g) Suy ra SF
 SE NE SE SE SN 2
 = = nên = ⋅ = NE
 SN FN SF SN SF NF 0,25
 S′G S′E GE S′E S′E S′G
 Tương tự ΔS′GE ∽△ S′FG(g.g). Suy ra = = nên = ⋅ =
 S′F S′G FG S′F S′G S′F
 2
 SE S′E
 GE Từ (3), (4), (5) suy ra =
 GF SF S′F
 Vì vậy S trùng S′ và tiếp tuyến tại G,N và đường thẳng EF đồng quy.
 (1,0 điể̀m)
 4
(1,0) Theo bất đẳng thức AM ― GM cho hai số thực dương ta có: x3 + 8 =
 (x 2) (x2 2x 4) x2 x 6 x2 2x2 0,25
điểm) (x + 2)(x2 ― 2x + 4)
 ≤ 2 = 2 ⇒ x3 8 ≥ x2 x 6
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiToan.net
 y2 2y2 z2 2 x2 y2
 Tương tự 2z . 
 3 ≥ y2 y 6; 3 ≥ 2 Từ đó suy ra: 3 + 3
 y 8 z 8 z z 6 x 8 y 8 0,25
 z2 2x2 2y2 2z2
 . 
 + z3 8 ≥ x2 x 6 + y2 y 6 + z2 z 6
 2x2 2y2
 Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz : 2 + y2 y 6 +
 x x 6 0,25
 2z2 2(x y z)2
 z2 z 6 ≥ x2 y2 z2 (x y z) 18
 2(x y z)2
 Ta chứng minh: x2 y2 z2 (x y z) 18 ≥ 1
 Ta có: (1) tương đương với 2(x + y + z)2 ≥ x2 + y2 + z2
 ―(x + y + z) + 18 ⇔(x + y + z)2
 +2(xy + yz + zx) + (x + y + z) ≥ 18 0,25
 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số x + y + z ≥ 33 xyz = 3 và 
 xy + yz + zx ≥ 33 xy.yz.zx = 3. Khi đó (1) được chứng minh. 
 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
 a) (1,0 điểm)
 Do a,b vai trò như nhau, không mất tính tổng quát giả sử a ≥ b.
 Khi đó (2a)3 < 8a3 +18ab + 1 < 8a3 +24a2 +24a + 8 = (2a + 2)3. 0,25
 (vì 18ab + 1 ≤ 18a2 +1 < 24a2 )
 Do đó 8a3 +18ab + 1 = (2a + 1)3 = 8a3 +12a2 +6a + 1.
 0,25
 Từ đó suy ra 3b = 2a + 1 hay 2a = 3b ― 1.
 Do đó 8b3 +18ab + 1 = 8b3 +27b2 ―9b + 1 là lập phương của số 
 nguyên.
 Ta có: 8b3 < 8b3 +27b2 ―9b + 1 < 8b3 +36b2 +54b + 27. 0,25
 3 3 2 3
 5 Do đó (2b) < 8b +27b ―9b + 1 < (2b + 3) .
 (2,0 Vì vậy 8b3 +27b2 ―9b + 1 ∈ (2b + 1)3;(2b + 2)3 .
điểm) Mà 8b3 +27b2 ―9b + 1 = 8b3 +18ab + 1 là số lẻ nên 8b3 +27b2
 ―9b + 1 = (2b + 1)3
 3b 1 0,25
 Suy ra 2 . Mà nên . Suy ra . 
 15b ―15b = 0 b > 0 b = 1 a = 2 = 1
 Vậy a = b = 1.
 b) (1,0 điể̀m)
 Ký hiệu |T| là số phần tử của tập hợp T.
 Xét 4 tập hợp A = {1;4;9},B = {2;6;12},C = {3;5;15},D = {7;8;14} đều 
 có tích 3 phần tử là số chính phương. 0,25
 Nếu |T| ≥ 12 thì tồn tại 1 tập trong 4 tập A,B,C,D là tập con của T
 Khi đó T tồn tại 3 phần tử có tích là số chính phương.
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiToan.net
 Nếu |T| = 11. Khi đó T = S ∖ {a;b;c;d} mà a ∈ A,b ∈ B,c ∈ C,d ∈ D (nếu 
 không thì cũng tồn tại 1 tập trong A,B,C,D là tập con của T). 0,25
 Do đó 10 ∈ T.
 Xét 4 tập hợp A = {1;4;9};D = {7;8;14};E = {2;5;10} và F = {6;10;15} 
 đều có tích ba phần tử là số chính phương.
 Khi đó T = S ∖ {a;d;e;f} với a ∈ A,d ∈ D,e ∈ {2;5},f ∈ {6;15}.
 Do đó 3,12 ∈ T 
 Suy ra 1,4,9 ∉ T (vì 1.3.12 = 62,4.3.12 = 122,9.3.12 = 182) 0,5
 Khi đó {2;6;12} hoặc {3;5;15} là tập con của T.
 Suy ra T tồn tại 3 phần tử có tích là số chính phương. Vì vậy |T| ≤ 10
 Dấu bằng xảy ra chẳng hạn tại T = {1;4;5;6;7;10;11;12;13;14}.
 Vậy T có nhiều nhất 10 phần tử.
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐỀ SỐ 2
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
 HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2024 - 2025
 Môn thi: Toán (Chuyên)
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2,0 điểm)
 2 2
a) Cho biểu thức = + : 1 ― . Chứng minh nếu > 81 thì ≥ 36. 
 5 25 5 
Đẳng thức xảy ra khi nào?
b) Cho phương trình 2 ―( +1) + ―2 = 0 ( là ẩn, là tham số). Tìm tất cả các giá 
trị nguyên dương của để phương trình đã cho có hai nghiệm đều là số nguyên.
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình 12 + 2 + 51 + 15 = 3 2 +2 +17.
 ― 1 + 2 ― 1 + + 1 = 3 + 2 + + 
b) Giải hệ phương trình . 
 + 4 + 4 = 2 ― 1 + + 8
Bài 3. (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm , đường kính . Vẽ đường thẳng là tiếp tuyê̂n tại điểm của 
đường tròn ( ). Lấy điểm cố định thuộc đoạn thẳng (C khác và khác O). Gọi là 
dây cung thay đổi của đường tròn ( ) nhưng luôn đi qua điểm (DE khác AB). Các tia 
và cắt đường thẳng theo thứ tự tại các điểm và .
a) Chứng minh tứ giác DENM là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Gọi 퐹 là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường thẳng . 
Chứng minh 퐹 là điểm cố định và tích . không đổi khi đây cung của đường tròn (
 ) thay đổi.
c) Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác . Xác định vị trí của dây cung để 
tổng + đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4. (1,0 điểm)
Cho , , là các số thực dương thỏa mãn = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 1 1 1
 푃 = + + .
 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 
Bài 5. (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên dương và sao cho 2 + 3 là số chính phương.
b) Trong một hội nghị, các đại biểu đến từ 푛 quốc gia, ngồi quanh một bàn tròn. Biết rằng 
với hai đại biểu cùng quốc gia bất kỳ thì người ngồi cạnh bên phải của họ luôn không cùng 
quốc gia. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu đại biểu?
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ---------HẾT---------
 ĐÁP ÁN
Bài 1. (2,0 điểm)
a) Với > 81, có thể thấy biểu thức luôn được xác định và ta dễ dàng thu gọn được biểu 
thức thành
 81 81
 = 9 = +9 + 9 = ( ―9) + 9 +18.
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có ngay ≥ 2 81 +18 = 36. Dấu đẳng thức xảy ra khi 
 81
và chỉ khi , tức .
 ―9 = 9 > 0 = 324
b) Với ∈ {1,2,3,4}, thử trực tiếp ta thấy chỉ có = 2 thỏa mãn. Xét trường hợp ≥ 5. Để 
phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì điều kiện cần là biểu thức Δ của nó phải là số 
chính phương. Tuy nhiên, ta lại có Δ = ( +1)2 ―4( ―2) = 2 ―2 +9 > 2 ―2 
+1 = ( ―1)2 và Δ = 2 ―2 +9 < 2 nên Δ không thể là số chính phương, mâu thuẫn. 
Vậy, = 2 là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Điều kiện xác định: ≥ ―2. Với ≥ ―2, phương trình đã cho tương đương với
 4(3 + 2 ― ―4) + ( 51 + 15 ― ―7) = 3 2 ―3 ―6 
hay
 4( ― 2 + + 2) ― 2 + + 2
 + = 3( 2 ― ― 2).
 3 + 2 + + 4 51 + 15 + + 7
 4 1
Nếu 2 , thì ta có , mâu thuẫn vì VT 
 ― + +2 ≠ 0 3 2 4 + 51 15 7 = ―3
> 0 > VP. Do đó ― 2 + +2 = 0, hay ∈ { ― 1,2}. Thử lại, ta đều thấy thỏa mãn. Vậy, 
phương trình đã cho có hai nghiệm là = ―1 và = 2.
b) Điều kiện xác định: ≥ 1, ≥ ―4. Phương trình đầu của hệ có thể được viết lại thành
 ― 1 + 2 ― 1 = ( + 1) ― 1 + 2
Nếu ―1 + 2 = 0, thì do ―1 ≥ 0 và 2 = 0 nên ta phải có = 1, = 0. Tuy nhiên, khi 
thử lại, ta thấy không thỏa mãn. Do đó ―1 + 2 ≠ 0. Do đó, từ phương trình (1), ta suy ra 
 ― 1 = +1. Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được
( + 1)2 + 1 + 4 + 4 = 3 + 10
Phương trình này tương đương với 2 ―( +8 ― 4 + 4) = 0
 1
Hay 2 1 ― = 0
 8 4 4
 DeThiToan.net