Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Nam Định (Có đáp án)

 Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Nam Định (Có đáp án)
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Nam Định (Có đáp án)
 ĐỀ SỐ 1
 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2024 - 2025
 NAM ĐỊNH Môn thi: Toán (Chuyên)
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,0 điểm)
 1 1 5
a) Cho thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức 3 3 .
 , > 1 1 + 1 = 4 = + +9 
b) Xét đa thức 푃( ) = 2 + + với , là các hệ số nguyên. 
Chứng minh rằng nếu 푃(1 + 2) = 2024 thì 푃(1 ― 2) = 2024.
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình 2 = (2 ―9) 2 + 2 ― 8 ― 2 .
 2( ― ) + ( ― 1)2 = 0
b) Giải hệ phương trình 4 3 ― 9 2 + 7 + 3 2 ― 10 + 5 = 0.
Câu 3: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Ba đường cao của tam 
giác ABC là AD, BE, CF đồng quy tại điểm H. Gọi AQ là đường kính của đường tròn (O), đường thẳng 
HQ cắt cạnh BC tại điểm M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn (O) tại điểm N và cắt 
đường thẳng AM tại điểm K (N, K khác A), đường thẳng AN cắt đường thẳng BC tại điểm P. Chứng 
minh rằng:
a) HQ vuông góc với AN và 퐹 = ,퐹 퐾 = .
b) Ba điểm P, E, F thẳng hàng.
c) PE.PF < PM2.
Câu 4: (1,5 điểm)
a) Chứng minh với mọi số nguyên dương n, số n5 – 6n + 33 không là số chính phương.
b) Cho các số nguyên dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b + 1 là ước nguyên tố của 4( 2 + + 2) ―3. 
Chứng minh rằng a + b - 1 là ước của 4( 2 + + 2) ―3.
Câu 5: (1,5 điểm)
a) Xét x, y, z là các số thực dương thỏa mãn + + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 푄 =
 2 + 2 + 2 ―18( + + ).
b) Cho bảng hình chữ nhật gồm 2 dòng và 푛 cột, được chia đều thành 2푛 ô vuông đơn vị. Ban đầu, trong 
mỗi ô vuông đơn vị người ta đặt đúng một viên bi có kích thước rất nhỏ. Ta gọi mỗi biến đổi (T) là việc 
thực hiện các thao tác sau: Chọn ra hai ô vuông đơn vị tùy ý có chứa bi, chuyê̂n từ mỗi ô vuông đó đi một 
viên bi sang ô vuông đơn vị liền kề (hai ô vuông đơn vị gọi là liền kề nếu chúng có chung cạnh). Tìm tất 
cả các số nguyên dương 푛 để sau hữu hạn lần chỉ thực hiện biến đổi (T), ta có thể đưa hết tất cả các viên 
bi có trên bảng lúc đầu về nằm trong cùng một ô vuông đơn vị của bảng.
 ---------HẾT---------
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Nam Định (Có đáp án)
 ĐÁP ÁN
Câu 1: (2,0 điểm)
 1 1 5
a) Cho thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức 3 3 .
 , > 1 1 + 1 = 4 = + +9 
b) Xét đa thức 푃( ) = 2 + + với , là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu 푃(1 + 2
) = 2024 thì 푃(1 ― 2) = 2024.
 Ý Nội dung Điểm
 1 1 5
 + Ta có + = ⇒( +4)( + +2) = 5( +1)( +1)
 1 1 4 0,25
 ⇔ ( + ) + 3 = 3 + + ⇔( + ―3)( ―1) = 0 (1)
 1a) + Với , > 1 thì ―1 > 0, do đó (1) ⇔ + = 3. 0,25
 + Vậy = 3 + 3 +9 = ( + )3 ―3 ( + ) + 9 0,25
 = 33 ―3 .3 + 9 = 27. 0,25
 + Ta có 푃(1 + 2) = 2024⇔(1 + 2)2 + (1 + 2) + = 2024 0,25
 ⇔( +2) 2 = 2021 ― ― . 0,25
 1b) + Do +2,2021 ― ― là các số nguyên trong khi 2 là số vô tỉ nên phải xảy ra 
 0,25
 1,0d + 2 = 0 = ―2
 2021 ― ― = 0 hay = 2023.
 + Vậy 푃(1 ― 2) = (1 ― 2)2 ―2(1 ― 2) + 2023
 0,25
 = 3 ― 2 2 ―2 + 2 2 +2023 = 2024, có điều phải chứng minh.
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình 2 = (2 ―9) 2 + 2 ― 8 ― 2 .
 2( ― ) + ( ― 1)2 = 0
b) Giải hệ phương trình 4 3 ― 9 2 + 7 + 3 2 ― 10 + 5 = 0.
 Ý Nội dung Điểm
 + Điều kiện xác định 2 +2 ―8 ≥ 0.
 Phương trình được viết lại là 
 2 +2 ―8 ― (2 ―9) 2 + 2 ― 8 +(2 ―10) = 0. 
 Đặt 푡 = 2 + 2 ― 8 thì được 0,25
 2 푡 = 1
 푡 ―(2 ―9)푡 +2 ―10 = 0⇔ 푡 = 2 ― 10.
 + Với 푡 = 1 thì 2 + 2 ― 8 = 1
 2a) 0,25
 2
 1,0đ ⇔ +2 ―9 = 0⇔ = ―1 ± 10.
 2 2 ― 10 ≥ 0
 + Với 푡 = 2 ―10 thì + 2 ― 8 = 2 ―10⇔ 2 + 2 ― 8 = (2 ― 10)2⇔
 0,25
 ≥ 5
 2 ― 14 + 36 = 0⇔ = 7 + 13.
 + Vậy phương trình cho có tập nghiệm là 푆 = {7 + 13; ― 1 ± 10}. 0,25
 Cách khác: Chuyển vế, bình phương để khử căn ta được PT hệ quả 
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Nam Định (Có đáp án)
 (2 ― 9)2( 2 + 2 ― 8) = ( 2 + 4 ― 18)2
 ⇔ 4 ― 12 3 ― 2 + 198 ― 324 = 0
 ⇔( 2 + 2 ― 9)( 2 ― 14 + 36) = 0
 ⇔ ∈ { ― 1 ± 10;7 ± 13}
 Thử lại và kết luận.
 2( ― ) + ( ― 1)2 = 0
 Xét hệ phương trình 2
 4 3 ― 9 2 + 7 + 3 2 ― 10 + 5 = 0 (2) + Ta có (1)⇔ 
 0,25
 2 3 = + 1
 ― ( + 2) + +1 = 0⇔ = 2 ― + 1. 
 2
 2b) + Nếu = ― +1, thay vào (2) thu được 
 3 2 2 2 2
 1,0d 4 ―9 +7 +3( ― + 1) ―10( ― + 1) +5 = 0 0,25
 ⇔( +2)( ―1)(3 2 ― 5 + 1) = 0⇔ ∈ ―2;1; 5± 13 
 6
 Tìm được các nghiệm 
 0,25
 ( ; ) = ( ― 2;7),(1;1), 5 13 ; 11 13 , 5 13 ; 11 13 . 
 6 9 6 9
 + Nếu = +1, thay vào (2) thu được 
 4 3 ― 9 2 + 7 + 3( + 1)2 ― 10( + 1) + 7 + 5 = 0
 ⇔4 3 ― 6 2 + 3 ― 2 = 0⇔8 3 ― 12 2 + 6 ― 1 = 3
 1 + 3 3
 ⇔(2 ― 1)3 = 3⇔ = .
 2
 0,25
 1 + 3 3 3 + 3 3
 Tìm được nghiệm ( , ) = ; .
 2 2
 Vậy hệ cho có đúng 5 bộ nghiệm ( , ) là ( ― 2;7),(1;1), 5 13 ; 11 13 ,
 6 9
 3 3
 5 13 ; 11 13 , 1 3 ; 3 3 .
 6 9 2 2
Câu 3: (3,0 điểm) 
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Ba đường cao của tam giác ABC là AD, 
BE, CF đồng quy tại điểm H. Gọi AQ là đường kính của đường tròn (O), đường thẳng HQ cắt cạnh BC 
tại điểm M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn (O) tại điểm N và cắt đường thẳng AM 
tại điểm K (N và K khác A), đường thẳng AN cắt đường thẳng BC tại điểm P. Chứng minh rằng:
a) HQ vuông góc với AN và 퐹 = ,퐹 퐾 = .
b) Ba điểm P, E, F thẳng hàng.
c) 푃 .푃퐹 < 푃 2.
Hình vẽ
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Nam Định (Có đáp án)
 Ý Nội dung Điểm
 + Đường tròn ngoại tiếp tam giác 퐹 là đường tròn đường kính , suy ra ⊥ 
 0,25
 .
 + Mặt khác thuộc đường tròn đường kính 푄 nên 푄 ⊥ , suy ra , ,푄 thẳng 
 0,25
 hàng và có 푄 ⊥ .
 + Có = 퐹 = 90∘ nên tứ giác 퐹 nội tiếp, do đó 퐹 = .
 Tương tự có = . 0,25
 Suy ra 퐹 = 90∘ ― 퐹 = 90∘ ― = 90∘ ― = (1).
3a)
 + Có = = 90∘ nên tứ giác nội tiếp, suy ra 
 = 퐾.
 Có = 퐾 = 90∘ nên tứ giác 퐾 nội tiếp, suy ra 
 0,25
 퐾 = 퐾.
 Vậy = 퐾 (2).
 Từ (1) và (2) suy ra 퐹 퐾 = 퐹 + 퐾 = + = .
 + Tứ giác 퐹 nội tiếp nên suy ra 퐹 = 퐹 .
 Có 퐹 = = 90∘ nên tứ giác 퐹 nội tiếp, suy ra 퐹 = 퐹 푃. Vậy có 퐹 = 0,5
3b)
 퐹 푃, suy ra tứ giác 푃 퐹 nội tiếp.
1,0d
 + Theo đó 푃퐹 = 푃 = = 퐹 . Vậy 푃퐹 = 퐹 , mà ,퐹, thẳng hàng nên 푃,
 0,5
 퐹, cũng thẳng hàng.
 + Chứng minh được 푄 là hình bình hành nên là trung điềm của . 0,25
 + Tam giác cân tại nên = .
 Từ đó có 
 0,25
 푃 = 180∘ ― ― 퐹 = 180∘ ― ― = = 퐹 푃.
 Suy ra hai tam giác 푃퐹 ,푃 đồng dạng (g-g).
3c) 
 푃퐹 푃 
 + Suy ra hay . 0,25
1,0d 푃 = 푃 푃 .푃퐹 = 푃 .푃 
 + Do < nên < ⇒ < = ⇒푃 < 푃 .
 2 0,25
 Vậy 푃 ⋅ 푃퐹 = 푃 ⋅ 푃 < 푃 2.
 Cách khác: + Chứng minh là trung điểm của .
 + Chứng minh 푃 ⋅ 푃퐹 = 푃 ⋅ 푃 .
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Nam Định (Có đáp án)
 2
 + Chỉ ra 푃 .푃 = 푃 ― 푃 + = 푃 2 ― .
 2 2 4
 2
 + Từ suy ra 2.
 4 > 0 푃 .푃 < 푃 
Câu 4: (1,5 điểm)
a) Chứng minh với mọi số nguyên dương 푛, số 푛5 ―6푛 +33 không là số chính phương.
b) Cho các số nguyên dương , thỏa mãn điều kiện + +1 là ước nguyên tố của 4( 2 + + 2) ―3
. Chứng minh rằng + ―1 là ước của 4( 2 + + 2) ―3.
 Ý Nội dung Điểm
 Có 푛5 ―6푛 +33 = (푛5 ― 푛) ―5푛 +33 0,25
 + Theo định lí Fermat có 푛5 ≡ 푛(mod5) nên (푛5 ― 푛) ≡ 0(mod5) 0,25
 4a) 
 Do 5푛 ≡ 0,33 ≡ 3(mod5) nên suy ra 푛5 ―6푛 +33 ≡ 3(mod5)( ∗). 0,25
 1,0d
 + Một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thể cho số dư thuộc {0;1;4}. Vậy từ (*) 
 0,25
 suy ra 푛5 ―6푛 +33 không thể là số chính phương.
 + Theo giả thiết có 0 ≡ 4 2 +4 +4 2 ―3 ≡ 4 2 +4 ( ― ―1) + 4( ― ―1)2
 ―3(mod + +1) hay (2 +1)2 ≡ 0(mod + +1). 0,25
 Từ + +1 là số nguyên tố suy ra (2 +1):( + +1).
 4b) 
 + Ta có 0 < 2 +1 < 2( + + 1) nên xảy ra + +1 = 2 +1
 0,5d
 + ― 1 = 2 ― 1
 ⇔ = . Khi đó có 4( 2 + + 2) ― 3 = 12 2 ― 3 = 3(2 + 1)(2 ― 1), 0,25
 suy ra 4( 2 + + 2) ― 3 ⋮( + ―1).
Câu 5: (1,5 điểm)
a) Xét , , là các số thực dương thỏa mãn + + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 푄 =
 2 + 2 + 2 ―18( + + ).
b) Cho bảng hình chữ nhật gồm 2 dòng và 푛 cột, được chia đều thành 2푛 ô vuông đơn vị. Ban đầu, trong 
mỗi ô vuông đơn vị người ta đặt đúng một viên bi có kích thước rất nhỏ. Ta gọi mỗi biến đổi (T) là việc 
thực hiện các thao tác sau: Chọn ra hai ô vuông đơn vị tùy ý có chứa bi, chuyển từ mỗi ô vuông đó đi một 
viên bi sang ô vuông đơn vị liền kề (hai ô vuông đơn vị gọi là liền kề nếu chúng có chung cạnh). Tìm tất 
cả các số nguyên dương 푛 để sau hữu hạn lần chỉ thực hiện biến đổi (T), ta có thể đưa hết tất cả các viên 
bi có trên bảng lúc đầu về nằm trong cùng một ô vuông đơn vị của bảng.
 Ý Nội dung Điểm
 1 1 1
 + Từ giả thiết có . 
 1 ≥ + + 
 Dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có 2 + 2 + 2 ≥ 1 + 1 + 1 0,25
 5a) 2 + 2 + 2 ≥ ( + + )2.
 0,75d + Suy ra
 0,25
 푄 ≥ ( + + )2 ―18( + + ) = ( + + ―9)2 ―81 ≥ ―81.
 Khi = = = 3 thì các giả thiết được thỏa mãn và 푄 = ―81. 
 0,25
 Vậy giá trị nhỏ nhất của 푄 bằng -81.
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Nam Định (Có đáp án)
 Cách khác: 
 81 81 81
 2 2 2 
 푄 +81 ≥ ―18 + + ―18 + + ―18 + 
 2 2 2
 = ― 9 + ― 9 + ― 9 ≥ 0.
 + Xét 푛 là số lẻ:
 Ta tô màu các ô vuông đơn vị theo kiểu xen kẽ như bàn cờ vua bởi hai màu đen, 
 trắng. Gọi ,푊 lần lượt là số bi nằm ở ô đơn vị màu đen, số bi nằm ở ô đơn vị 
 màu trắng. 0,25
 - Lúc đầu: = 푛 và 푊 = 푛. Như vậy ,푊 là các số lẻ.
 - Chỉ ra được bất biến: Sau mỗi lần thực biến đổi (T) thì tính chẵn lẻ của ,푊 là 
 không thay đổi.
 - Suy ra lúc nào cũng có bi nằm ở ô đen và lúc nào cũng có bi nằm ở ô trắng (vì ,
 0,25
 푊 luôn là số lẻ), vậy không thể dồn hết tất cả các viên bi về một ô vuông đơn vị.
 + Xét 푛 là số chẵn: Ta chỉ ra cách dồn được bi theo yêu cầu.
 - Đầu tiên ta chọn hai ô vuông phân biệt mà mỗi ô vuông tương ứng đều nằm ở 
 cuối cùng của mỗi dòng và phải có bi, thực hiện biến đổi (T) để dồn hết bi từ hai ô 
 này về hai ô đứng liền trước chúng. Lại thực hiện tiếp biến đổi (T) với hai ô đơn vị 
 có bi mà mỗi ô nằm ở đầu ngoài cùng của mỗi dòng để dồn hết bi của hai ô này về 
 hai ô đứng liền sau chúng. Tiếp tục với hai cách chọn ô như vậy (chọn cặp ô có bi 
 ở cuối dòng rồi lại chọn cặp ô có bi ở đầu dòng) ta đi đến trạng thái bi chỉ còn nằm 
 ở bảng con 2 × 2 ở chính giữa của bảng ban đầu như hình 1 (các chữ cái ghi trong 
 5b) 
 ngoặc là để chỉ tên của ô, các số chỉ số lượng bi đang có ở ô tương ứng đó).
0,75d 푛 푛
 2 2
 (A) (B)
 푛 푛
 2 2 0,25
 (C) (D)
 Hình 1
 푛
 - Tiếp theo chọn cặp ô B, C và thực hiện 2 lần biến đổi (T) (bi từ ô B đưa sang ô A 
 , bi từ ô C đưa sang ô D) thì thu được trạng thái như hình 2.
 n 0
 (A) (B)
 0 n
 (C) (D)
 - Tiếp tục, ta liên tục chọn cặp ô A,D cho đến khi hết bi và
 Hinh 2 chuyển bi ở hai ô này sang ô C thì sau cùng đưa được 2푛 viên bi về hết ô 
 C.
 Vậy tập hợp tất cả các số 푛 cần tìm là tập các số nguyên dương chẵn.
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Nam Định (Có đáp án)
 ĐỀ SỐ 2
 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 - 2024
 NAM ĐỊNH Môn thi: Toán (Chuyên)
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,0 điểm)
 1 2 3
a) Cho là ba số thực khác 0 thỏa mãn và . 
 , , + 2 + 3 = 1 + + = 0
 2 2
Chứng minh rằng 2 .
 + 4 + 9 = 1
 2
b) Cho (푛) = với 푛 là số nguyên dương. 
 2푛 1 2푛 1
Tính giá trị của biểu thức 푆 = (1) + (2) + (3) + ⋯ + (40).
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình 2( ― 1 +1) = + + 2.
 2 + 2 = + ― + 2
b) Giải hệ phương trình 3 + 3 = ( + + 4) + .
Câu 3: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, 
CF đồng quy tại H. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là trung điểm của đoạn AH, đường thẳng EF cắt 
đường tròn (O) tại P, Q và cắt đường thẳng BC tại S sao cho P nằm giữa S và F. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AOMN là hình bình hành.
b) AP2 = AQ2 = AE. AC
 퐹푃 푄 
c) Tự giác DMEF nội tiếp và .
 푃푆 = 푆
Câu 4: (1,5 điểm)
a) Cho hai số nguyên dương a, b thỏa mãn 3⋮ , 3⋮ . Chứng minh ( 4 + 4): .
b) Tìm tất cả các cấp số nguyên ( ; ) thỏa mãn 2 ― +( ―3)( 2 + 1) = 0.
Câu 5: (1,5 điểm)
a) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 0 ≤ , , ≤ 4. Chứng minh rằng:
 2 + 2 + 2 + 16 ≥ 2 + 2 + 2
b) Ban đầu trên bảng viết 2023 số thực. Mỗi lần biến đổi số trên bảng là việc thực hiện như sau: Chọn ra 
hai số và nào đó ở trên bảng, xóa hai số đó đi và viết thêm lên bảng số . Giả sử ban đầu trên bảng 
 4
ghi 2023 số 1 và ta thực hiện liên tiếp các biến đổi cho đến khi trên bảng chỉ còn lại một số, chứng minh 
 1
rằng số đó lớn hơn .
 211
 ---------HẾT---------
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Nam Định (Có đáp án)
 ĐÁP ÁN
Câu 1: (2,0 điểm)
 1 2 3 2
a) Cho là ba số thực khác 0 thỏa mãn và . Chứng minh rằng 2 
 , , + 2 + 3 = 1 + + = 0 + 4 +
 2
 .
9 = 1
 1 2 3
Bằng cách quy đồng mẫu số ta được: 
 + + ⇒ +2 +3 = 0
 2 2 2
 + + = 2 + + + 2 + + 
Lại có: 2 3 4 9 2 6 3 
 2 2 3 2 
 2 
= + 4 + 9 + 3 = 1
 2 2
Kết hợp (1) và (2) ta được: 2 . 
 + 4 + 9 = 1
 2
b) Cho (푛) = với 푛 là số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức
 2푛 1 2푛 1
푆 = (1) + (2) + (3) + ⋯ + (40).
Biến đổi:
 2
f(n) = 
 2푛 1 2푛 1
 2( 2푛 1 2푛 1)
= (2푛 1) (2푛 1) (do 2푛 + 1 ― 2푛 ― 1 ≠ 0)
= 2푛 + 1 ― 2푛 ― 1.
Như vậy:
S = (1) + (2) + (3) + ⋯ + (40)
= ( 3 ― 1) + ( 5 ― 3) + ( 7 ― 5) + ⋯ + ( 81 ― 79)
= 81 ― 1 = 9 ― 1 = 8
Vậy giá trị 푆 = 8.
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình 2( ― 1 +1) = + + 2.
Điều kiện tồn tại phương trình: ≥ 1.
Biến đổi:
2( ― 1 + 1) = + + 2
⇔ (2 + 1 ― + 2) ― ( ―2) = 0
 3 6
⇔ ―( ―2) = 0
 2 1 2
⇔ ( ―2) 3 ― 1 = 0
 2 1 2
 = 2
⇔ 
 2 ― 1 + + 2 = 3
Từ (*) suy ra (2 ― 1 + + 2)2 = 9⇔5 ―2 + 4 2 + ― 2 = 9.
⇔4 2 + ― 2 = 11 ― 5 ⇒16( 2 + ― 2) = (11 ― 5 )2
 DeThiToan.net Bộ 14 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Nam Định (Có đáp án)
Giải (**) cho hai nghiệm = 7 ― 4 2 và = 7 + 4 2. Thay các nghiệm này vào (*) thì = 7 + 4 2 
không thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm = 2; = 7 ― 4 2.
 2 + 2 = + ― + 2
b) Giải hệ phương trình 3 + 3 = ( + + 4) + .
 2 ― + 2 = ― + 2
Hệ phương trình ⇔
 ( + ) 2 ― + 2 = + 2 + 4 + .
Thế (1) vào (2) được: ( + )( ― +2) = + 2 +4 + 
 2 2 = 2 
⇔ ― ― 2 + ― 2 = 0⇔( ― 2 )( + + 1) = 0⇔ = ― ― 1
Với = 2 , thay vào (1) ta có:
 = 1
4 2 ― 2 2 + 2 = + 2⇔3 2 ― ― 2 = 0⇔ 2
 = ―
 3
Khi đó ( ; ) = (2;1) và ( ; ) = ― 4 ; ― 2 .
 3 3
Với = ― ―1, thế vào (1) được:
 = 0
( + 1)2 + ( + 1) + 2 = ― ― 1 ― + 2⇔3 2 + 5 = 0⇔ 5
 = ―
 3
Khi đó ( ; ) = ( ― 1;0) và ( ; ) = 2 ; 5 .
 3 3
Câu 3: (3,0 điểm) 
Hình vẽ:
a) Tứ giác là hình bình hành.
Kẻ đường kính 퐾 (K nằm trên đường tròn ( )). Khi đó ⊥ 퐾; 퐾 ⊥ .
Dễ dàng suy ra 퐾// và 퐾// (cùng vuông góc với một đường thẳng).
Từ đó suy ra 퐾 là hình bình hành. Vì là trung điểm nên ∈ 퐾 và = 퐾.
Tam giác 퐾 có và lần lượt là trung điểm của 퐾 và nên là đường trung bình của △ 퐾
 1
. Suy ra và .
 // = 2 퐾 = 
Vậy là hình bình hành.
b) 푃2 = 푄2 = . .
 DeThiToan.net