Bộ 15 Đề thi chuyên Toán vào Lớp 10 Quảng Nam (Có đáp án)

ĐỀ SỐ 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
THPT CHUYÊN VÀ PTDTNT TỈNH
NĂM HỌC 2024-2025
Môn thi: Toán (chuyên)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức 𝐴 =
√𝑥−2
√𝑥−3
−
√𝑥−3
√𝑥−2
+
1
𝑥−5√𝑥+6
, với 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 4 và 𝑥 ≠ 9. Rút gọn biểu thức A và tìm tất cả
các giá trị của 𝑥 sao cho A > −1.
b) Cho parabol (P): 𝑦 = −𝑥2 và điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng -2 . Đường thẳng (d) đi qua điểm
B(0; −3), song song với OA(O là gốc tọa độ) và cắt (P) tại hai điểm M, N. Tìm tọa độ của M và N, biết M có
hoành độ âm.
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình 𝑥2 + √𝑥2 + 𝑥 + 3 = 𝑥 + 2 + √2𝑥 + 5.
b) Giải hệ phương trình {
3𝑥𝑦 + 𝑦2 + 2𝑥 − 10𝑦 − 1 = 0
(3𝑥𝑦 + 𝑦2)(2𝑥 − 1) − 21𝑦2 = 0
.
Câu 3. (2,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có góc BAD là góc tù, AB < AD và tia phân giác của góc BAD cắt cạnh BC tại K
sao cho CK < AB. Trên cạnh AB lấy điểm L sao cho AL = CK. Hai đoạn thẳng AK và CL cắt nhau tại M.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ALM cắt đường thẳng AD tại N (N khác A).
a) Chứng minh AB. NL = AK. NM.
b) Chứng minh CNL̂ = 90∘.
c) Gọi I là giao điểm của BD và KL, chứng minh 
BA
BL
+
BC
BK
=
BD
BI
.
Câu 4. (2,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có AE là đường phân giác (E thuộc cạnh BC). Trên đường thẳng đi qua
A và vuông góc với AE lấy điểm D sao cho góc BCD bằng 90∘. Trên cạnh AB lấy điểm F sao cho góc DEF
bằng 90∘.
a) Chứng minh tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn và BE2 = BA. BF.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF, đường thẳng đi qua E và song song với AC cắt cạnh AB
tại P. Chứng minh OP vuông góc với AE và điểm O thuộc đường thẳng BD.
Câu 5. (2,0 điểm)
a) Cho ba số tự nhiên 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa mãn 𝑎 > 1, 𝑏 > 𝑐 > 1 và 𝑎𝑏𝑐 + 1 chia hết cho 𝑎𝑏 − 𝑏 + 1. Chứng minh 𝑏
chia hết cho 𝑎.
b) Cho ba số thực dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 thỏa mãn 
𝑥−1
𝑥+3
+
𝑦−1
𝑦+4
≥
6
𝑧+5
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (2𝑥 +
2)(2𝑦 + 3)(2𝑧 + 4).
Bộ 15 Đề thi chuyên Toán vào Lớp 10 Quảng Nam (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Nội dung Điểm
Câu
1
a) Cho biểu thức A =
√𝑥−2
√𝑥−3
−
√𝑥−3
√𝑥−2
+
1
𝑥−5√𝑥+6
, với 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 4 và 𝑥 ≠ 9.
Rút gọn biểu thức A và tìm tất cả các giá trị của 𝑥 sao cho A > −1.
𝟏, 𝟎
𝐴 =
√𝑥 − 2
√𝑥 − 3
−
√𝑥 − 3
√𝑥 − 2
+
1
(√𝑥 − 3)(√𝑥 − 2)
=
(√𝑥 − 2)2 − (√𝑥 − 3)2 + 1
(√𝑥 − 3)(√𝑥 − 2)
0,25
=
𝑥 − 4√𝑥 + 4 − (𝑥 − 6√𝑥 + 9) + 1
(√𝑥 − 3)(√𝑥 − 2)
=
2√𝑥 − 4
(√𝑥 − 3)(√𝑥 − 2)
=
2
√𝑥 − 3
0,25
𝐴 > −1 ⇔
2
√𝑥 − 3
> −1 ⇔
2
√𝑥 − 3
+ 1 > 0 ⇔
√𝑥 − 1
√𝑥 − 3
> 0
Trường hợp 1: {√
𝑥 − 1 > 0
√𝑥 − 3 > 0
⇔ {
𝑥 > 1
𝑥 > 9
⇔ 𝑥 > 9 (nhận).
0,25
Trường hợp 2: {√
𝑥 − 1 < 0
√𝑥 − 3 < 0
⇔ {
0 ≤ 𝑥 < 1
0 ≤ 𝑥 < 9
⇔ 0 ≤ 𝑥 < 1 (nhận).
Vậy 𝑥 > 9 hoặc 0 ≤ 𝑥 < 1.
0,25
b) Cho parabol (P): 𝑦 = −𝑥2 và điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng -2. Đường
thẳng (d) đi qua điểm B(0; −3), song song với OA(O là gốc tọa độ) và cắt (P) tại hai
điểm M, N. Tìm tọa độ của M và N, biết M có hoành độ âm.
𝟏, 𝟎
Tung độ điểm A là 𝑦 = −(−2)2 = −4, suy ra A(−2; −4). 0,25
Đường thẳng OA: 𝑦 = 2𝑥. Gọi đường thẳng (d): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
Vì (d) song song OA nên hệ số góc 𝑎 = 2, 𝑏 ≠ 0. Vì (d) đi qua B(0; −3) nên 𝑏 = −3.
Suy ra (d): 𝑦 = 2𝑥 − 3.
0,25
Các hoành độ của M và N là các nghiệm của phương trình: −𝑥2 = 2𝑥 − 3
⇔ 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0
Phương trình này có 2 nghiệm: 𝑥 = 1, 𝑥 = −3.
0,25
Vì 𝑀 có hoành độ âm nên 𝑀(−3; −9) và 𝑁(1; −1). 0,25
Bộ 15 Đề thi chuyên Toán vào Lớp 10 Quảng Nam (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Câu Nội dung Điểm
Câu
2
a) Giải phương trình 𝑥2 + √𝑥2 + 𝑥 + 3 = 𝑥 + 2 + √2𝑥 + 5 1,0
𝑥2 + 𝑥 + 3 = (𝑥 +
1
2
)
2
+
11
4
> 0 với mọi 𝑥 ∈ ℝ.
Điều kiện: 2𝑥 + 5 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≥ −
5
2
.
0,25
(1) ⇔ 𝑥2 − 𝑥 − 2 + √𝑥2 + 𝑥 + 3 − √2𝑥 + 5 = 0 ⇔ 𝑥2 − 𝑥 − 2 +
(𝑥2+𝑥+3)−(2𝑥+5)
√𝑥2+𝑥+3+√2𝑥+5
= 0 0,25
⇔ 𝑥2 − 𝑥 − 2 +
𝑥2 − 𝑥 − 2
√𝑥2 + 𝑥 + 3 + √2𝑥 + 5
= 0
⇔ (𝑥2 − 𝑥 − 2) (1 +
1
√𝑥2 + 𝑥 + 3 + √2𝑥 + 5
) = 0
⇔ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 ( vì 1 +
1
√𝑥2 + 𝑥 + 3 + √2𝑥 + 5
> 0 với mọi 𝑥 ≥ −
5
2
)
0,25
Phương trình này có 2 nghiệm: 𝑥 = −1, 𝑥 = 2 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: 𝑥 = −1, 𝑥 = 2. 0,25
b) Giải hệ phương trình {
3𝑥𝑦 + 𝑦2 + 2𝑥 − 10𝑦 − 1 = 0
(3𝑥𝑦 + 𝑦2)(2𝑥 − 1) − 21𝑦2 = 0 1,0
- Xét 𝑦 = 0 : Hệ (1) có nghiệm {
𝑥 =
1
2
𝑦 = 0
0,25
- Xét 𝑦 ≠ 0: Hệ (1) ⇔ {
(3𝑥𝑦 + 𝑦2) + (2𝑥 − 1) = 10𝑦
(3𝑥𝑦 + 𝑦2)(2𝑥 − 1) = 21𝑦2
⇔ {
3𝑥𝑦+𝑦2
𝑦
+
2𝑥−1
𝑦
= 10
(
3𝑥𝑦+𝑦2
𝑦
) (
2𝑥−1
𝑦
) = 21
Đặt 𝑎 =
3𝑥𝑦+𝑦2
𝑦
, 𝑏 =
2𝑥−1
𝑦
, hệ (2) trở thành: {
𝑎 + 𝑏 = 10
𝑎𝑏 = 21
0,25
⇔ {
𝑎 = 7
𝑏 = 3
hoặc {
𝑎 = 3
𝑏 = 7
Với {
𝑎 = 7
𝑏 = 3
, ta có {
3𝑥𝑦+𝑦2
𝑦
= 7
2𝑥−1
𝑦
= 3
⇔ {
3𝑥𝑦 + 𝑦2 = 7𝑦
2𝑥 − 1 = 3𝑦
⇔ {
3𝑥 + 𝑦 = 7
2𝑥 − 3𝑦 = 1
⇔ {
𝑥 = 2
𝑦 = 1
0,25
Với {
𝑎 = 3
𝑏 = 7
, ta có {
3𝑥𝑦+𝑦2
𝑦
= 3
2𝑥−1
𝑦
= 7
⇔ {
3𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3𝑦
2𝑥 − 1 = 7𝑦
⇔ {
3𝑥 + 𝑦 = 3
2𝑥 − 7𝑦 = 1
⇔ {
𝑥 =
22
23
𝑦 =
3
23
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm: {
𝑥 =
1
2
𝑦 = 0
, {
𝑥 = 2
𝑦 = 1
, {
𝑥 =
22
23
𝑦 =
3
23
.
0,25
Bộ 15 Đề thi chuyên Toán vào Lớp 10 Quảng Nam (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Cách khác giải câu 2b)
Đặt 𝑢 = 3𝑥𝑦 + 𝑦2, 𝑣 = 2𝑥 − 1, hệ (1) viết lại: {
𝑢 + 𝑣 = 10𝑦
𝑢𝑣 = 21𝑦2
, khi đó 𝑢, v thỏa mãn
phương trình: 𝑋2 − 10𝑦 ⋅ 𝑋 + 21𝑦2 = 0 ⇔ (𝑋 − 7𝑦)(𝑋 − 3𝑦) = 0 ⇔ [
𝑋 = 7𝑦
𝑋 = 3𝑦
.
Kết luận hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm: {
𝑥 =
1
2
𝑦 = 0
, {
𝑥 = 2
𝑦 = 1
, {
𝑥 =
22
23
𝑦 =
3
23
.
Câu
3
Cho hình bình hành ABCD có góc BAD là góc tù, AB < AD và tia phân giác của góc BAD
cắt cạnh BC tại K sao cho CK < AB. Trên cạnh AB lấy điểm L sao cho AL = CK. Hai đoạn
thẳng AK và CL cắt nhau tại M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ALM cắt đường thẳng AD
tại N (N khác A).
2,0
a) Chứng minh AB. NL = AK. NM 0,75
Hình vẽ phục vụ câu a) 0,25 điểm
0,25
Tứ giác ALMN nội tiếp đường tròn nên BAK̂ = MNL̂
Ta có: ABK̂ = 180∘ − LAN̂ = NML̂ (2) 0,25
Từ (1) và (2) suy ra △ 𝐴𝐵𝐾 và △ 𝑁𝑀𝐿 đồng dạng.
Do đó 
AB
NM
=
AK
NL
hay AB. NL = AK. NM. 0,25
b) Chứng minh CNL̂ = 90∘. 
0,75
Vì NAM̂ = LAM̂ nên NM = LM (3) 
0,25
Kẻ LX//AK, X thuộc BC. Vì AKX̂ = KAD̂ = KAL̂ nên tứ giác ALXK là hình thang cân, suy
ra XK = AL = CK. 0,25
Tam giác CLX có XK = CK và MK//XL nên LM = CM
Từ (3) và (4) suy ra NM = LM = CM. Do đó ΔCNL vuông tại N hay CNL̂ = 90∘. 0,25
c) Gọi I là giao điểm của BD và KL, chứng minh 
BA
BL
+
BC
BK
=
BD
BI
.
0,5
Bộ 15 Đề thi chuyên Toán vào Lớp 10 Quảng Nam (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Kẻ AE//KL và CF//KL ( E, F thuộc BD ), gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có: 
BA
BL
+
BC
BK
=
BE
BI
+
BF
BI
=
BO+OE
BI
+
BO−OF
BI
=
2BO+OE−OF
BI
0,25
Hai tam giác AOE và COF bằng nhau (𝑔 − 𝑐 − 𝑔), suy ra OE = OF. Do đó 
BA
BL
+
BC
BK
=
2BO
BI
=
BD
BI
.
Với hình vẽ sau, cách chứng minh (1), (2), (3):
Câu a)
Tứ giác AMLN nội tiếp đường tròn nên BAK̂ = MNL̂ (1)
ABK̂ = NAL̂, NAL̂ = NML̂ ⇒ ABK̂ = NML̂ (2)
Câu b)
MLN̂ = MAD̂ (do tứ giác AMLN nội tiếp đường tròn)
= MAL̂ = MNL̂
Suy ra ΔNML cân tại M hay NM = LM (3)
0,25
Câu
4
Cho tam giác nhọn ABC(AB < AC) có AE là đường phân giác (E thuộc cạnh BC). Trên
đường thẳng đi qua A và vuông góc với AE lấy điểm D sao cho góc BCD bằng 90∘. Trên
cạnh AB lấy điểm F sao cho góc DEF bằng 90∘.
2,0
a) Chứng minh tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn và BE2 = BA. BF. 
1,0
Bộ 15 Đề thi chuyên Toán vào Lớp 10 Quảng Nam (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Hình vẽ phục vụ câu a) 0,25 điểm
0,25
Theo giả thiết: DAÊ = 90∘ và DCÊ = 90∘. Vì DAÊ + DCÊ = 180∘ nên tứ giác ADCE nội
tiếp đường tròn (đường kính DE ). 0,25
BAÊ = CAÊ, CAÊ = CDÊ (cùng chắn cung CE của đường tròn đường kính DE),
CDÊ = 180∘ − 90∘ − CED̂ = BEF̂ ⇒ BAÊ = BEF̂. 0,25
Do đó △ BAE và △ BEF đồng dạng. Do đó 
BA
BE
=
BE
BF
hay BE2 = BA. BF. 
0,25
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF, đường thẳng đi qua E và song song
với 𝐴𝐶 cắt cạnh 𝐴𝐵 tại 𝑃. Chứng minh 𝑂𝑃 vuông góc với 𝐴𝐸 và điểm 𝑂 thuộc đường
thẳng BD.
1,0
Vì AEP̂ = EAĈ = EAP̂ nên △ AEP cân tại P hay PA = PE. Vì PA = PE và OA = OE nên
OP là đường trung trực của đoạn thẳng AE. Suy ra OP ⊥ AE. 0,25
Vì BEF̂ = BAÊ (theo câu a) ) nên BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp △ AEF, suy
ra OE ⊥ BC ⇒ OE//CD. Vì OP//DA, OE//DC, EP//CA nên △ OEP đồng dạng với △
DCA, suy ra 
OE
DC
=
EP
CA
. (1)
0,25
EP//CA ⇒
EP
CA
=
BE
BC
(2). Giả sử BO cắt CD tại D1; OE//D1C ⇒
BE
BC
=
OE
D1C
 (3) 
0,25
Từ (1), (2) và (3) suy ra
OE
DC
=
OE
D1C
⇔ DC = D1C, mà D và D1 nằm cùng phía đối với
đường thẳng BC nên D trùng D1. Vậy điểm O thuộc đường thẳng BD. 
0,25
Cách khác: Từ (1) và (2) suy ra 
OE
DC
=
BE
BC
, mà BEÔ = BCD̂ = 90∘ nên △ BEO và △ BCD
đồng dạng. Suy ra EBÔ = CBD̂, mà O và D nằm cùng phía đối với đường thẳng BC nên
hai tia BO và BD trùng nhau. Vậy điểm O thuộc đường thẳng BD.
Câu
5
a) Cho ba số tự nhiên 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa mãn 𝑎 > 1, 𝑏 > 𝑐 > 1 và 𝑎𝑏𝑐 + 1 chia hết cho 𝑎𝑏 −
𝑏 + 1. Chứng minh 𝑏 chia hết cho 𝑎. 1,0
Bộ 15 Đề thi chuyên Toán vào Lớp 10 Quảng Nam (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Ta có: (𝑎𝑏𝑐 + 1) − (𝑎𝑏 − 𝑏 + 1) = 𝑏(𝑎𝑐 − 𝑎 + 1)
Vì (𝑎𝑏𝑐 + 1) : (𝑎𝑏 − 𝑏 + 1) nên 𝑏(𝑎𝑐 − 𝑎 + 1) ⋮ (𝑎𝑏 − 𝑏 + 1) (1) 0,25
Vì 𝑎𝑏 − 𝑏 + 1 = (𝑎 − 1)𝑏 + 1 nên 𝑎𝑏 − 𝑏 + 1 và 𝑏 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Do đó (1) ⇒ (𝑎𝑐 − 𝑎 + 1) ⋮ (𝑎𝑏 − 𝑏 + 1) hay (𝑎𝑐 − 𝑎 + 1) = 𝑘. (𝑎𝑏 − 𝑏 + 1), 𝑘 ∈ ℕ∗.
(2)
0,25
Ta có: 𝑎𝑐 − 𝑎 + 1 = 𝑎(𝑐 − 1) + 1 > 0.
2(𝑎𝑏 − 𝑏 + 1) − (𝑎𝑐 − 𝑎 + 1) = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏 − 2𝑏 + 𝑎 + 1
= 𝑎(𝑏 − 𝑐) + (𝑎 − 2)𝑏 + 𝑎 + 1 > 0.
Do đó