Bộ 16 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán Thái Bình (Có đáp án)

1 
DeThiToan.net
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2024 – 2025
MÔN THI: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm).
1. Cho x là số thực dương thỏa mãn
3 1 18x x
x
 . Tính
2 1xA
x
 .
2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 4a b c abc . Rút gọn biểu thức
 4 4 4 4 4 4A a b c b c a c a b abc 
Câu 2 (2,5 điểm).
1. Giải phương trình 2 23 1 2 5 1 2 2x x x x x 
2. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 2 0
4 2 2 6 3 2 0
x y x
x y xy x y
Câu 3 (3,5 điểm).
Cho đường tròn tâm I nội tiếp tam giác nhọn ABC AB AC tiếp xúc với các cạnh , ,BC CA AB lần
lượt tại , ,D E F . Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng EF tại K . Gọi H là giao điểm của
đường thẳng DI và đường thẳng EF , N là giao điểm của đường thẳng IA và đường thẳng EF . Đường
thẳng AH cắt đường thẳng BC và đường thẳng IK lần lượt tại M và P .
1. Chứng minh ANPK là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PDK .
3. Đường thẳng BI cắt đường thẳng EF tại R . Đường thẳng IM cắt đường thẳng DK tại điểm T
và đường thẳng RC cắt đường thẳng DK tại điểm U . Chứng minh bốn điểm , , ,I T U R nằm trên một
đường tròn.
Câu 4 (1,0 điểm).
Giả sử ,a b là các số nguyên dương sao cho 
2 4a b a
ab
là số nguyên. Biết b là số lẻ. Chứng minh
rằng a là số chính phương.
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 3a b c . Chứng minh rằng
 2 2 2
2 2 2 9
41 1 1
a b c
a b c
----- HẾT -----
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ SỐ 1
2
Bộ 16 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán Thái Bình (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1 (2,0 điểm).
1. Cho x là số thực dương thỏa mãn
3 1 18x x
x
 . Tính
2 1xA
x
 .
2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 4a b c abc . Rút gọn biểu thức
 4 4 4 4 4 4A a b c b c a c a b abc 
Lời giải
1. Ta có:
3 3 6 3
3
3 3
1 1 2 1 118 18 324 322x x x xx x
x x xx x
Suy ra
31 13 322 0x x
x x
Đặt 1x t
x
 2t ta có 3 23 322 0 7 7 46 0t t t t t 
Vì
2
2 7 437 46 0
2 2
t t t 
, do đó 7t hay
21 17 7xx
x x
 .
Vậy 7A 
2. Ta có 4 4 16 4 4 4b c b c bc a b c abc b c bc 
4 4a abc bc 
Suy ra 224 4 4 4 2a b c a a abc abc a abc 
 4 4 2a b c a abc (1)
Tương tự, suy ra 4 4 2b c a b abc (2)
 4 4 2c a c c abc (3)
Lấy (1) + (2) + (3), ta được
 4 4 4 4 4 4A a b c b c a c a b abc 
2 2 2a abc b abc c abc abc 
2 2 2 2 8a b c abc 
Vậy 8.A 
3
Bộ 16 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán Thái Bình (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Câu 2 (2,5 điểm).
1. Giải phương trình 2 23 1 2 5 1 2 2x x x x x 
2. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 2 0
4 2 2 6 3 2 0
x y x
x y xy x y
Lời giải
1. 2 23 1 2 5 1 2 2x x x x x (1)
Điều kiện xác định:
2
2
3 5
2
3 5 5 33
3 1 0 2 2
2 5 1 0 5 335 33
22
5 33
2
x
x xx x
x x
xx
x
(*)
Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được
 2 2 2 23 8 2 3 1 2 5 1 2 8 8x x x x x x x x 
 2 2 28 2 3 1 2 5 1 0x x x x x (2)
Đặt 
2
2
3 1
0, 0
2 5 1
x x a
a b
x x b
, phương trình (2) trở thành
2 23 5 2 0b a ab 
2 25 2 3 0a ab b 
 5 3 0a b a b 
Vì 0, 0a b nên 5 3 0a b , do đó a b .
Tức là
2 23 1 2 5 1x x x x 
2 23 1 2 5 1x x x x 
2 2 2 0x x 
1 3
1 3
x
x
Kết hợp điều kiện xác định và thử lại, ta có 1 3x là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm 1 3x .
4
Bộ 16 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán Thái Bình (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
2.
2 2
2 2
2 2 0 (1)
4 2 2 6 3 2 0 (2)
x y x
x y xy x y
Xét phương trình (2), ta có
2 24 2 2 6 3 2 0x y xy x y 
 2 2 1 2 2 0x y x y 
2 1
2
2 2
xy
y x
Trường hợp 1: 2 1
2
xy , thay vào (1) ta được
2
2 2 1 2 2 0
2
xx x 
 224 2 1 8 8 0x x x 
28 4 7 0x x 
1 15 3 15
4 4
1 15 3 15
4 4
x y
x y
Trường hợp 2: 2 2y x , thay vào (1) ta được
 22 2 2 2 2 0x x x 25 6 2 0x x (vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 1 15 3 15 1 15 3 15, ; ; ;
4 4 4 4
x y
  
  
.
Câu 3 (3,5 điểm).
Cho đường tròn tâm I nội tiếp tam giác nhọn ABC AB AC tiếp xúc với các cạnh , ,BC CA AB
lần lượt tại , ,D E F . Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng EF tại K . Gọi H là giao
điểm của đường thẳng DI và đường thẳng EF , N là giao điểm của đường thẳng IA và đường thẳng EF .
Đường thẳng AH cắt đường thẳng BC và đường thẳng IK lần lượt tại M và P .
1. Chứng minh ANPK là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PDK .
3. Đường thẳng BI cắt đường thẳng EF tại R . Đường thẳng IM cắt đường thẳng DK tại điểm
T và đường thẳng RC cắt đường thẳng DK tại điểm U . Chứng minh bốn điểm , , ,I T U R nằm trên một
đường tròn.
5
Bộ 16 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán Thái Bình (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Lời giải
1. Vì ,ID BC AK BC  nên ID AK .
Ta có 
90
2 2
EAF AEF AFENAE NEA  nên AI EF tại N .
Suy ra KH AI hay 90ANK  .
Xét AIK có ,ID AK KH AI  nên H là trực tâm AIK nên AP IK hay 90APK  .
Xét tứ giác ANPK có 90ANK APK  nên ANPK là tứ giác nội tiếp.
2. Vì AIF vuông tại F có FN AI nên 2 2IN IA IF ID (1)
Vì tứ giác ANPK nội tiếp nên IPN IAK .
Xét IPN và IAK có
 K
A
I IA
IK chung
PN
IPN IAK
 
 

Ɏ
IP IA IP IK IN IA
IN IK
   (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2 ID IKID IP IK
IP ID
  
Xét IDP và IKD có
D
DIK chung
IDPID IK
IP ID
IK

 

Ɏ
 IDP IKD 
 ID là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PDK .
6
Bộ 16 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán Thái Bình (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
3. Ta có 
 90
2
BACBFR BFN BIC  
Xét BFR và BIC có
 C
F
B B
BR IBC
FR
BFR BIC
I
 
 

Ɏ
 BRF BCI ACI 
IERC nội tiếp
 90IRC IEC  hay RI RC
 90IRU 
Gọi 'T là chân đường vuông góc hạ từ I xuống DU , 'M là giao điểm của 'IT với BC .
Áp dụng hệ thức cạnh và đường cao vào 'IDM vuông tại D có ' 'DT IM :
2 '' '
'
IT IKIT IM ID IP IK
IP IM
  
Xét 'IT P và 'IKM có
'
'
''
'
KIM chung
IT PIT IK
IP IM
IKM

 

Ɏ
 ' 'IT P IKM 
' 'PT M K nội tiếp.
 ' ' ' 90M PK M T K 
Mà 180 90MPK APK   nên 'MPK M PK , suy ra 'M M
'T T   90IM DK T ITU  
Vì tứ giác ITUR có 180ITU IRU nên ITUR nội tiếp hay bốn điểm , , ,I T U R nằm trên một
đường tròn.
7
Bộ 16 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán Thái Bình (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Câu 4 (1,0 điểm). Giả sử ,a b là các số nguyên dương sao cho 
2 4a b a
ab
là số nguyên. Biết b là số lẻ.
Chứng minh rằng a là số chính phương.
Lời giải
Gọi gcd , *a b d d và d lẻ (vì b lẻ)
Đặt , *, gcd , 1a dx x y x yb dy
Vì 
2 2
2
4 4a b a dx dy dx
ab d xy
 nên 22 2 4d xy d x y dx 
Suy ra 2 22 4dxy d x xy y x 
2 2 4dxy d x y x 
Từ đó, ta có
2
4
x dy
d x
, kết hợp các điều kiện , 1x y và d lẻ thì ta có 2
x d
x d a x
d x
Do đó a là số chính phương.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 3a b c . Chứng minh rằng
 2 2 2
2 2 2 9
41 1 1
a b c
a b c
Lời giải
Đặt
 2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 1 1 1 1 1
1 1 11 1 1 1 1 1
B C
a b cA
a b ca b c a b c
  
(1)
Áp dụng bất đẳng thức 1 1 1 9
x y z x y z
, ta có 1 1 1 9 3
1 1 1 3 2
B
a b c a b c
(2)
Áp dụng bất đẳng thức 
2
2 11
2
x
x
 , ta có
 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 11 1 1
C
a b ca b c
Suy ra
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 32 3 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
a b c a b c a b cC C
a b c a b c a b c
3
4
C (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra 3 3 9
2 4 4
A B C 
Dấu " " xảy ra 1a b c .
----- HẾT -----
Lời giải được thực hiện bởi Vũ Đức Huy 9A1 – THCS Trọng điểm Lê Hữu Trác – Mỹ Hào – Hưng Yên
8
Bộ 16 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán Thái Bình (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH THÁI BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2023-2024
MÔN TOÁN CHUYÊN
Thời gian : 150 phút
Câu 1:
a) Cho các số thực x,y khác 0, thoả mãn: 3+ =
x y
y x
và
2 2
10+ =
x y
y x
.
Chứng minh
1 1
1+ =
x y
b) Cho đa thức bậc 3 ( )P x thoả mãn khi chia ( )P x cho 1, 2, 3− − −x x x đều được số dư là 6 và
( )1 18− = −P . Tìm đa thức ( )P x
c) Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện: + +a b c = 8;
26; 144+ + = =a b c abc . Tính giá trị biểu thức: P = 
1 1 1
9 9 9
+ +
− + − + − +bc a ca b ab c
Câu 2:
a) Giải phương trình: ( )23 6 4 5 6 1+ − = − −x x x x
b) Giải hệ phương trình
( )( ) ( )
3 2 6 0
2 3 2
 − − = 
+ + = + 
x xy y
x y x y xy
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = c, AC = b. Vẽ đường tròn tâm O1 đường kính AB và
đường tròn tâm O2 đường kính AC. Gọi H là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1) và (O2).
Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt các đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại các điểm D, E không
trùng với A sao cho A nằm giữa D,E.
a) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định khi đường
thẳng (d) thay đổi.
b) Xác định vị trí của đường thẳng (d) để diện tích tứ giác BDEC đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn
nhất đó theo b,c.
c) Kẻ đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn DE và vuông góc với BC tại K. Chứng minh rằng
2 2 2= +KB BD KH
Câu 4: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (7 − p)(7 + p) chia hết cho 24
Câu 5: Cho 3 số thực dương x,y,z thoả mãn 1+ + =xy yz zx . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = 
2 2 2
2 2 2
2
28 28
1 1 1
+ + − − −
+ + +
x y z
x y z
x y z
ĐỀ SỐ 2
9
Bộ 16 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán Thái Bình (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
ĐÁP ÁN
Câu 1: a) Từ giả thiết ta có
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 3 3
3 3
3
3 3
10
10 2 5 , 0
 + =
 + + = + + + + = + 
+ = 
 = + + = 
x y xy
x y x y xy x y x y xy x y xy x y
x y xy
xy xy x y x y x y
Ta có ( )
2 2 2 1 12 5 5 1
+
+ = + + = = = + =
x y
x y x y xy xy xy
xy x y
(đpcm)
b) Theo định lý Bezout: ( ) ( )( )( )( )6 1 2 3− = − − −P x S x x x x
Do P bậc 3 ( ) =S x a . và ( ) ( )( )( )1 2 3 4 6 18 1− = − − − + = − =P a a
Suy ra ( ) ( )( )( ) 3 21 2 3 6 6 11= − − − + = − +P x x x x x x x
Thử lại ta thấy đúng.
Vậy ( ) 3 26 1