Bộ 16 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Lào Cai (Có đáp án)

ĐỀ SỐ 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
 TỈNH LÀO CAI	NĂM HỌC 2024 – 2025
ĐỀ CHÍNH THỨC
 	 	MÔN: TOÁN 
 	Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
	Ngày thi: 04/6/2024
Câu 1 (1,0 điểm). Tïnh giá trị các biểu thức sau:
a) 3+25.
b) 36-9.
Câu 2 ( 1,0 điểm). Giải phương trình: x2+2x-3=0.
Câu 3 ( 1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 2x-y=4x+2y=7
Câu 4 ( 0,5 điểm). Chọn ngẫu nhiên một số trong các số tự nhiên từ 1 đến 20 . Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3 .
Câu 5 (1,5 điểm). Cho biều thức P=xx-2-xx+2-8x-4, với x≥0,x≠4.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trị của x đề P≥1.
Câu 6(0,5 điểm). Cho hai hàm số y=(2m-5)x+6 và y=-3x+1 có đồ thị lần lượt là đường thẳng d1,d2. Tìm giá trị của m đề d1 vuông góc d2.
Câu 7 ( 0,5 điểm). Cuối năm học, An và Chi cùng vận động ủng hộ sách giáo khoa cho các bạn học sinh vùng khó trong 12 ngày thì hoàn thành công việc. Hai bạn làm chung được 8 ngày thì An đi làm công việc khác, Chi làm tiếp công việc đó trong 10 ngày nữa thì xong. Hòi nếu mỗi bạn làm một mình xong công việc đó thì hết bao nhiêu thời gian?
Câu 8 (1,0 điểm). Cho phương trình: x2-2(m+1)x+4m=0, với m là tham số. Tïm tất cả các giá trị của m đè̉ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1,x2 sao cho x12+x22-2x1=4.
Câu 9(1,0 điểm). Cho tan giác ABC vuông tại B, có độ dài cạnh BC=8 cm,AB=4 cm.
a) Tính độ dài cạnh AC.
b) Gọi E là trung diểm của cạnh AC, đưòng thẳng qua C vuông góc với AC cắt đường thẳng BE tại D. Tính độ dài đoạn thẳng BD.
Câu 10 (2,0 điểm). Cho đường tròn (O), từ một điểm M bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến phân biệt MA và MB đến đường tròn (O), với A,B là tiếp điểm.
a) Chứng minh rằng tứ giac OAMB nội tiếp.
b) Kẻ đường kính AC, đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại D(D khác C). Chứng minh rằng: MB2=MC.MD.
c) Gọi H ià hình chiếu vuông góc của B trên AC. Chứng minh đường thẳng MC đi qua trung điểm của đoạn BH.
LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ TOÁN (CHUNG) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH LÀO CAI NĂM HỌC 2024 – 2025
Câu 1 (1,0 điểm)
Tính giá trị các biểu thức sau:
a) 3+25;
b) 36-9.
Lời giải.
a) 3+25=3+5=8;
b) 36-9=6-3=3.
Câu 2 (1,0 điểm)
Giải phương trình sau: x2+2x-3=0.
Lời giải.
Lời giải 1.
Ta có Δ'=12-1⋅(-3)=4>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
x1=-1+41=1,x2=-1-41=-3.
Lời giải 2 .
Ta có a=1,b=2,c=-3.
Vì a+b+c=1+2-3=0 nên phương trình có nghiệm x1=1 và x2=ca=-3.
Câu 3 (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình: 2x-y=4x+2y=7.
Lời giải.
2x-y=4x+2y=7⇔4x-2y=8x+2y=7⇔5x=15x+2y=7⇔x=3y=7-x2⇔x=3y=2.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=3y=2.
Câu 4 ( 0,5 điểm )
Chọn ngẫu nhiên một số trong các số tự nhiên từ 1 đến 20 . Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3 .
Lời giải.
Không gian mẫu của phép thử là Ω={1;2;3;;20}.
⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)=20.
Gọi A là biến cố: "Số được chọn chia hết cho 3 ". Khi đó A={3;6;9;12;15;18}.
⇒ Số phần tử của biến cố A là: n(A)=6.
Vậy xác suất của biến cố A là P(A)=n(A)n(Ω)=620=310.
Câu 5 (1,5 điểm)
Cho biểu thức P=xx-2-xx+2-8x-4, với x≥0,x≠4.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trị của x để P≥1.
Lời giải.
a) Với điều kiện x≥0,x≠4
P =xx-2-xx+2-8x-4 =x(x+2)-x(x-2)-8(x+2)(x-2) =4(x-2)(x+2)(x-2)=4x+2
Vậy x≥0,x≠4 thì P=4x+2.
b) Với x≥0,x≠4
Để P≥1⇔4x+2≥1⇔4x+2-1≥0⇔2-xx+2≥0
⇔2-x≥0 (vì x+2>0 ) ⇔x≤2⇔x≤4.
Kết hợp với điều kiện ta có 0≤x<4.
Vậy 0≤x<4 thì P≥1.
Câu 6 ( 0,5 điểm )
Cho hai hàm số y=(2m-5)x+6 và y=-3x+1 có đồ thị lần lượt là đường thẳng d1,d2. Tìm giá trị của m để d1 vuông góc với d2.
Lời giải.
d1⊥d2⇔(2m-5)⋅(-3)=-1⇔2m-5=13⇔2m=163⇔m=83.
Vậy m=83.
Câu 7 ( 0,5 điểm )
Cuối năm học, An và Chi cùng vận động ủng hộ sách giáo khoa cho các bạn học sinh vùng khó trong 12 ngày thì hoàn thành công việc. Hai bạn làm chung được 8 ngày thì An đi làm công việc khác, Chi làm tiếp công việc đó trong 10 ngày nữa thì xong. Hỏi nếu mỗi bạn làm một mình xong công việc đó thì hết bao nhiêu thời gian.
Lời giải.
Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của An và Chi lần lượt là x (ngày), y (ngày), (x>0;y>0).
Trong 1 ngày An làm được 1x (công việc), Chi làm được 1y (công việc).
Hai bạn cùng làm trong 12 ngày thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình:
12⋅1x+12⋅1y=1
Hai bạn làm chung được 8 ngày thì An đi làm công việc khác, Chi làm tiếp công việc đó trong 10 ngày nữa thì xong nên ta có phương trình: 8⋅1x+18⋅1y=1
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 12⋅1x+12⋅1y=18⋅1x+18⋅1y=1
Đặt a=1xb=1y,(a,b>0)
Khi đó (I) ⇔12a+12b=18a+18b=1⇔a=120 (thỏa mãn) b=130 (thỏa mãn)  ⇒1x=1201y=130⇔x=20y=30 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy thời gian làm riêng hoàn thành công việc của bạn An và Chi lần lượt là 20 ngày và 30 ngày.
Câu 8 (1,0 điểm)
Cho phương trình x2-2(m+1)x+4m=0 (1) ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1,x2 sao cho x12+x22-2x1=4.
Lời giải.
Ta có Δ'=(m+1)2-4m=(m-1)2
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2⇔Δ'>0⇔(m-1)2>0⇔m≠1
Áp dụng định lý Vi-et x1+x2=2(m+1)x1x2=4m
Ta có:
x12+x22-2x1=4.
⇔x1+x22-2x1x2-2x1=4
Thay (3), (4) vào (5) ta có: x1=2m2
Thay vào (3) ta được: x2=-2m2+2m+2
Thay x1,x2 vào (4) ta được: 2m2-2m2+2m+2=4m
⇔m4-m3-m2+m=0
⇔m(m-1)2(m+1)=0
⇔m=0 (thỏa mãn) m=1 (loại) m=-1 (thỏa mãn) 
Vậy m∈{-1;0}.
Câu 9 (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở B, có độ dài cạnh BC=8 cm,AB=4 cm
a) Tính độ dài cạnh AC.
b) Gọi E là trung điểm của AC, đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt đường thẳng BE tại D. Tính độ dài đoạn thẳng BD.
Lời giải.
a) Xét △ABC vuông tại B có AC2=AB2+BC2 (Định lý Pytago).
⇒AC=42+82=45( cm).
Vậy AC=45( cm).
b) Kẻ đường cao BH của △ABC.
Xét tam giác ABC vuông tại B,BE là đường trung tuyến
⇒EB=EC=EA=12AC=25.
Ta có BC2=HC⋅AC⇒HC=8245=1655.
HE=HC-EC=1655-25=655
Ta lại có BH⊥ACCD⊥AC⇒BH∥CD⇒EBED=EHEC (Định lý Thales)
⇒ED=EB⋅ECEH=25⋅2565=1053.
Vậy BD=BE+ED=25+1053=1653.
Câu 10 (2,0 điểm)
Cho đường tròn (O), từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến phân biệt MA và MB đến đường tròn (O), với A,B là tiếp điểm.
a) Chứng minh rằng tứ giác OAMB nội tiếp.
b) Kẻ đường kính AC, đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại D(D khác C). Chứng minh MB2=MC⋅MD.
c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC. Chứng minh đường thẳng MC đi qua trung điểm của đoạn BH.
Lời giải.
Hình 1
a) Vì MA,MB là các tiếp tuyến của (O) nên MAO+MBO=90∘+90∘=180∘.
⇒MAOB là tứ giác nội tiếp.
b) Xét △MBD và △MCB có
MBD=MCB (góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn BD ) BMC là góc chung
Suy ra △MBD∽△MCB (g.g) ⇒MBMC=MDMB⇒MB2=MC⋅MD
c) Cách 1 (Xem hình 1)
Gọi S là giao điểm của BC và MA, gọi K là giao điểm của BH và MC.
Vì MA=MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên △MAB cân tại M⇒MAB=MBA.
Vì ABC=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
⇒MBA+MBS=90∘MAB+MSB=90∘
Suy ra MSB=MBS⇒MS=MB.
Do đó MS=MA
Vì MA⊥AC và BH⊥AC⇒BH∥SA.
Áp dụng hệ quả định lý Talet ta có
KHMA=CKCMBKSM=CKCM⇒KHMA=BKSM
Từ (1) và (2) suy ra KH=BK⇒MC đi qua trung điểm của đoạn BH.
c) Cách 2 (Xem hình 2)
Hình 2
Gọi I là giao điểm của MO và AB, gọi K là giao điểm của BH và MC.
Vì MA=MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
OA=OB (bán kính)
⇒OM là đường trung trực của AB⇒MIA=90∘
Lại có ADC=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒MDA=90∘
Từ (3) và (4)⇒AIDM là tứ giác nội tiếp ⇒IDK=MAI.
Vì BH⊥AC và MA⊥AC⇒MA∥BH⇒MAB=ABK.
Suy ra IDK=IBK⇒IDBK là tứ giác nội tiếp ⇒IKD=IBD.
Lại có ABD=ACD (2 góc nội tiếp cùng chắn AD )
Suy ra IKD=ACD⇒IK∥AC
Mà I là trung điểm của AB suy ra K là trung điểm của BH.
⇒CM đi qua trung điểm của BH.
ĐỀ SỐ 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
 TỈNH LÀO CAI	NĂM HỌC 2024 – 2025
ĐỀ CHÍNH THỨC
 	 	MÔN CHUYÊN: TOÁN 
 	Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
	Ngày thi: 05/6/2024
Câu 1 (2,0 điểm):
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=xx-3x-2x-3-2(x-3)x+1+x+33-x, với x≥0;x≠9
b) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c-ab-bc-ca=0.
Tính giá trị của biểu thực P=2023a2023b2023+2024b2024c2024+2025c2025a2025
Câu 2 (0,5 điểm): Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để lấy được một số chia hết cho 7 .
Câu 3 ( 1,0 điểm): Một cửa hàng bán gạo trong 4 ngày liên tiếp và mỗi ngày (kể từ ngày dầu tiên) lượng gạo bán ra bằng r% lượg gạo còn lại của ngày hòm trước. Tính r biết rằng lượg gạo còn lại sau ngày thứ tư bằng 116 lượng gạo ban đầu.
Câu 4 ( 1,0 điểm):
a) Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1a2+bc+1b2+ac+1c2+ba≤a+b+c2abc
b) Cho x,y là các số thực dương thỏa măn xy≥1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=xy+1+yx+1+1xy+1
Câu 5 ( 1,0 điểm):
a) Cho x,y là các số nguyên dương sao cho x2+2y là số chính phương. Chứng minh rằng x2+y là tồng của 2 só́ chính phương.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn
x2+1y2+1+2(x-y)(1-xy)=4(1+xy)
Câu 6 (1,0 điểm ) :
Cho 2 phương trình: 2x2+x-m2+2m-15=0 (1) và 2x2+3x-m2+2m-14=0 (2). Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trinh (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt x3,x4 thỏa mãn: x12+x22+x32+x42=3x2x3.
Câu 7 (3,5 điểm): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn đã cho ( M khác A và B ), H là hình chiếu của M trên AB. Đường thẳng qua O và song song với MA cắt tiếp tuyĉ́n tại B của nửa đường tròn (O) tại điểm K.
a) Chứng minh rằng tứ giác OBKM nội tiếp.
b) Gọi C,D lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MA và MB. Gọi I là giao diểm cùa AK với MH. Chứng minh rằng I là trung diểm CD.
c) Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AH và BH. Xác định vị trí của điểm M để diện tich tứ giác CDFE đạt giá trị lớn nhất.
LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐÈ̀ TOÁN (CHUYÊN) 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH LÀO CAI 
NĂM HỌC 2024-2025
Câu 1a (1,0 điểm)
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=xx-3x-2x-3-2(x-3)x+1+x+33-x, với x≥0;x≠9.
Lời giải. Ta có P=xx-3x-2x-3-2(x-3)x+1+x+33-x
 =xx-3-2(x-3)2-(x+3)(x+1)(x+1)(x-3) =(x-3)(x+8)(x+1)(x-3)=x+8x+1 =x-1+9x+1=x+1+9x+1-2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có P≥2⋅(x+1)⋅9x+1-2=4.
Dấu "