Bộ 18 Đề thi chính thức vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội từ 2007-2024 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2024-2025
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 09/06/2024
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức 𝐴 =
𝑥
√𝑥−3
và 𝐵 =
2𝑥−3
𝑥−3√𝑥
−
1
√𝑥
với 𝑥 > 0, 𝑥 ≠ 9.
1) Tính giá trị của biểu thức 𝐴 khi 𝑥 = 16.
2) Chứng minh 𝐵 =
2√𝑥−1
√𝑥−3
.
3) Tìm tất cả giá trị của 𝑥 để 𝐴 − 𝐵 < 0.
Câu II (2,0 điểm)
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phuoong trình hoặc hệ phương trình:
Để chở 15 tấn thiết bị phục vụ Lễ kỷ niệm 70 năm chiến thắng Điện Biên Phủ, một đội vận chuyển dự định
sử dụng các xe tải loại nhỏ. Do thay đổi kế hoạch, đội vận chuyển quyết định chỉ sử dụng các xe tải loại
lớn. Vì vậy, số xe tải sử dụng giảm đi 2 xe so với dự định và mỗi xe tải loại lớn chở nhiều hơn mổi xe tải
loại nhỏ là 2 tấn. Hỏi đội vận chuyển sử dụng bao nhiêu xe tải loại lớn? (Biết mỗi xe tải cùng loại đều chở
số tấn thiết bị bẳng nhau).
2) Một bình đựng nước có dạng hình trụ với bán kính đáy là 4 cm và chiều cao là 25 cm. Tính diện tích
xung quanh của bình đựng nước đó (lấy 𝜋 ≈ 3,14).
Câu III (2,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình {
√3𝑥 + 1 + 2𝑦 = 4
3√3𝑥 + 1 − 𝑦 = 5
.
2) Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, cho parabol (𝑃): 𝑦 = 𝑥2 và đường thẳng (𝑑): 𝑦 = (𝑚 − 2)𝑥 + 5.
a) Chứng minh (𝑑) luôn cắt (𝑃) tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi 𝑥1, 𝑥2 là hoành độ các giao điểm của (𝑑) và (𝑃). Tìm tất cả giá trị của 𝑚 để 𝑥1 + 5𝑥2 = 0.
Câu IV (3,0 điểm)
Từ điểm 𝐴 nằm bên ngoài đường tròn (𝑂), kẻ hai tiếp tuyến 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 với đường tròn (𝑂) (𝐵, 𝐶 là hai tiếp
điểm).
1) Chứng minh tứ giác 𝐴𝐵𝑂𝐶 là tứ giác nội tiếp.
2) Vẽ đường kính 𝐵𝐷 của đường tròn (𝑂). Gọi 𝐸 là giao điểm thứ hai của đường thẳng 𝐴𝐷 và đường
tròn (𝑂). Đường thẳng 𝐵𝐶 và đường thẳng 𝐴𝑂 cắt nhau tại 𝐻. Chứng minh 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐸. 𝐴𝐷 = 𝐴𝐻. 𝐴𝑂 và
𝐻𝐷�̂� = 𝐻𝐵�̂�.
3) Lấy điểm 𝑀 thuộc tia đối của tia 𝐶𝐵. Gọi 𝑁 là chân đường vuông góc kẻ từ điểm 𝑀 đến đường thẳng
𝐴𝐵. Chứng minh đường thẳng 𝐵𝐸 đi qua trung điểm của đoạn thẳng 𝑀𝑁.
Câu V (𝟎, 𝟓 điểm)
Với các số thực dương 𝑥 và 𝑦 thỏa mãn 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 3, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝑃 =
3
𝑥+𝑦
− 𝑥𝑦.
----------HẾT---------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh: ........................................................... Số báo danh: ....................................................
Họ tên và chữ kí của CBCT số 1: .............................. Họ tên và chữ kí của CBCT số 2: ....................
Bộ 18 Đề thi chính thức vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội từ 2007-2024 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2024-2025
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM CHO ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 09/06/2024
Câu Ý Nội dung Điểm
Câu I
2,0 điểm
1) Thay 𝑥 = 16 (TMĐK) vào biểu thức A, tính được 𝐴 = 16. 0,5
2)
Ta có
B =
2𝑥 − 3
√𝑥(√𝑥 − 3)
−
1
√𝑥
=
2𝑥 − 3 − √𝑥 + 3
√𝑥(√𝑥 − 3)
=
2𝑥 − √𝑥
√𝑥(√𝑥 − 3)
=
√𝑥(2√𝑥 − 1)
√𝑥(√𝑥 − 3)
=
2√𝑥 − 1
√𝑥 − 3
1,0
3)
Ta có 𝐴 − 𝐵 =
𝑥
√𝑥−3
−
2√𝑥−1
√𝑥−3
=
(√𝑥−1)2
√𝑥−3
.
𝐴 − 𝐵 < 0 ⇔
(√𝑥−1)2
√𝑥−3
< 0 ⇔ {
(√𝑥 − 1)2 > 0
√𝑥 − 3 < 0
(do (√𝑥 − 1)2 ≥ 0).
Kết hợp điều kiện ta có 0 < 𝑥 < 9 và 𝑥 ≠ 1.
0,5
Câu II
2,0 điểm
1)
Gọi số xe tải loại lớn đội vận chuyển sử dụng là 𝑥(𝑥𝑒)(𝑥 ∈ ℕ∗).
Mỗi xe tải loại lớn chở 
15
𝑥
(tấn). Mỗi xe tải loại nhỏ chở 
15
𝑥+2
(tấn).
Ta có phương trình: 
15
𝑥
−
15
𝑥+2
= 2.
Giải phương trình tìm được hai nghiệm 𝑥1 = 3, 𝑥2 = −5.
Đối chiếu điều kiện ta được 𝑥 = 3.
Vậy đội vận chuyển sử dụng 3 xe tải loại lớn.
1,5
2)
Diện tích xung quanh của bình đựng nước là:
𝑆𝑥𝑞 = 2𝜋𝑅ℎ ≈ 2.3,14.4.25 = 628( cm
2).
0,5
Câu III
2,5 điểm
1)
Điều kiện: 𝑥 ≥ −
1
3
.
{
√3𝑥 + 1 + 2𝑦 = 4
3√3𝑥 + 1 − 𝑦 = 5
⇔ {
√3𝑥 + 1 + 2𝑦 = 4
7√3𝑥 + 1 = 14
⇔ {√3𝑥 + 1 + 2𝑦 = 4
𝑥 = 1
⇔ {
𝑥 = 1
𝑦 = 1
Đối chiếu với điều kiện, ta được hệ phương trình có nghiệm duy nhất là
(𝑥; 𝑦) = (1; 1).
1,0
2a)
Phương trình hoành độ giao điểm của (𝑑) và (𝑃):
𝑥2 = (𝑚 − 2)𝑥 + 5 ⇔ 𝑥2 − (𝑚 − 2)𝑥 − 5 = 0. ( ∗)
Tính được Δ = (𝑚 − 2)2 + 20, suy ra Δ > 0 với mọi 𝑚.
Từ đó phương trình ( ∗) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy (𝑑) luôn cắt (𝑃) tại hai điểm phân biệt.
0,75
2b)
Ta có 𝑥1 + 5𝑥2 = 0 ⇔ 𝑥1 = −5𝑥2.
Kết hợp với 𝑥1𝑥2 = −5 (Hệ thức Vi-et) ta có 𝑥2
2 = 1.
TH1: 𝑥2 = 1 ⇒ 𝑥1 = −5. Kết hợp với 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑚 − 2 (Hệ thức Vi-et)
⇒ 𝑚 = −2.
0,75
Bộ 18 Đề thi chính thức vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội từ 2007-2024 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
TH2: 𝑥2 = −1 ⇒ 𝑥1 = 5. Kết hợp với 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑚 − 2 ⇒ 𝑚 = 6.
Vậy 𝑚 = −2 hoặc 𝑚 = 6.
Câu IV
3,0 điểm
1)
Vì 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 là các tiếp tuyến của đường
tròn (𝑂)
nên 𝐴𝐵�̂� = 𝐴𝐶�̂� = 90∘.
Xét tứ giác 𝐴𝐵𝑂𝐶 có: 𝐴𝐵�̂� + 𝐴𝐶�̂� =
180∘.
Hai góc 𝐴𝐵�̂� và 𝐴𝐶�̂� là hai góc đối
nhau nên
tứ giác 𝐴𝐵𝑂𝐶 là tứ giác nội tiếp.
1,0
2)
+) Ta có 𝐵𝐷 là đường kính của đường tròn (𝑂) nên 𝐵𝐸𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ = 90∘ ⇒ 𝐵𝐸 ⊥
𝐴𝐷.
Xét tam giác vuông 𝐴𝐵𝐷 có 𝐵𝐸 là đường cao nên 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐸. 𝐴𝐷.
Lại có 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶, 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 nên đường thă̆ng 𝐴𝑂 là trung trực của đoạn
thẳng 𝐵𝐶
⇒ 𝐴𝑂 ⊥ 𝐵𝐶. Xét tam giác vuông 𝐴𝐵𝑂 có đường cao 𝐵𝐻 nên 𝐴𝐵2 =
𝐴𝐻. 𝐴𝑂.
Vậy 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐸. 𝐴𝐷 = 𝐴𝐻. 𝐴𝑂.
+) Ta có 𝑂𝐻. 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵2 = 𝑂𝐷2 dẫn tới △ 𝑂𝐷𝐻 ∼△ 𝑂𝐴𝐷(𝑐. 𝑔. 𝑐)
⇒ 𝐻𝐷�̂� = 𝐷𝐴�̂�. (1)
Xét tứ giác 𝐴𝐵𝐻𝐸 có 𝐴𝐻�̂� = 𝐴𝐸�̂� = 90∘ ⇒ tứ giác 𝐴𝐵𝐻𝐸 nội tiếp, dẫn
tới
𝐸𝐵𝐻̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝐸𝐴�̂�.
Từ (1) và (2) suy ra 
(2)
𝐻𝐷𝑂
= 𝐻𝐵�̂�.
1,5
3)
Gọi 𝐾 là giao điểm của 𝐵𝐸 và 𝑀𝑁. Ta có 𝐵𝐷 ∥ 𝑀𝑁 ⇒ 𝐷𝐵�̂� = 𝐵𝑀�̂�.
Xét △ 𝐵𝐻𝐷 và △ 𝑀𝐾𝐵 có 𝐷𝐵�̂� = 𝐵𝑀�̂�, 𝐵𝐷�̂� = 𝐾𝐵�̂�
⇒△ 𝐵𝐻𝐷 ∼△ 𝑀𝐾𝐵(𝑔. 𝑔) ⇒
𝐵𝐻
𝑀𝐾
=
𝐵𝐷
𝐵𝑀
.
Xét hai tam giác vuông 𝐵𝐶𝐷 và 𝑀𝑁𝐵 có 𝐶𝐵�̂� = 𝐵𝑀�̂�
⇒△ 𝐵𝐶𝐷 ∼△ 𝑀𝑁𝐵(𝑔. 𝑔) ⇒
𝐵𝐶
𝑀𝑁
=
𝐵𝐷
𝐵𝑀
. Từ đó dẫn tới 
𝐵𝐻
𝑀𝐾
=
𝐵𝐶
𝑀𝑁
(=
𝐵𝐷
𝐵𝑀
).
Mà 𝐵𝐻 =
1
2
𝐵𝐶 ⇒ 𝑀𝐾 =
1
2
𝑀𝑁 ⇒ 𝐾 là trung điểm của 𝑀𝑁.
0,5
Câu V
(0,5
điểm)
Ta có (𝑥 + 𝑦)2 ≥ 4𝑥𝑦 = 4[3 − (𝑥 + 𝑦)] ⇒ (𝑥 + 𝑦)2 + 4(𝑥 + 𝑦) − 12 ≥
0
⇒ (𝑥 + 𝑦 + 6)(𝑥 + 𝑦 − 2) ≥ 0.
Mà 𝑥, 𝑦 là các số dương nên 𝑥 + 𝑦 + 6 > 0. Do đó 𝑥 + 𝑦 ≥ 2.
Từ đó 𝑃 =
3
𝑥+𝑦
+ 𝑥 + 𝑦 − 3 =
4
𝑥+𝑦
+ (𝑥 + 𝑦) −
1
𝑥+𝑦
− 3 ≥ 2√4 −
1
2
−
3 =
1
2
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của 𝑃 là 
1
2
khi 𝑥 = 𝑦 = 1.
0,5
----------HẾT---------
Chú ý: Các cách làm khác của học sinh ở mỗi câu hỏi nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
Bộ 18 Đề thi chính thức vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội từ 2007-2024 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu I. (2,0 điểm) Cho hai biểu thức +=
2xA
x
và − −= +
−−
2 3 3
11
x xB
xx
với 0, 1x x .
1. Tính giá trị của biểu thức A khi = 9x . 2. Chứng minh =
+
2
1
xB
x
.
3. Tìm tất cả giá trị của x để  = 4A B .
Câu II. (2,0 điểm) 1. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Theo kế hoạch, một phân xưởng phải làm xong 900 sản phẩm trong một số ngày quy định. Thực tế,
mỗi ngày phân xưởng đã làm được nhiều hơn 15 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một
ngày theo kế hoạch. Vì thế 3 ngày trước khi hết thời hạn, phân xưởng đã làm xong 900 sản phẩm.
Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm
mà phân xưởng làm được trong mỗi ngày là bằng nhau.)
2. Một khối gỗ dạng hình trụ có bán kính đáy là 30 cm và chiều cao là 120 cm . Tính thể tích của khối
gỗ đó (lấy 3,14 ).
Câu III. (2,5 điểm) 1. Giải hệ phương trình
2 3 1
3
3 2 8
3
y
x
y
x
− = −
 + =
 −
.
2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol ( ) 2:P y x= và đường thẳng ( ) ( ): 2d y m x m= + − .
a) Chứng minh ( )d luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi 1x và 2x là hoành độ các giao điểm của ( )d và ( )P . Tìm tất cả giá trị của m để
+ =
+ −1 2 1 2
1 1 1
2x x x x
Câu IV. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( )AB AC , nội tiếp đường tròn ( )O . Tiếp
tuyến tại điểm A của đường tròn ( )O cắt đường thẳng BC tại điểm S . Gọi I là chân đường vuông
góc kẻ từ điểm O đến đường thẳng BC .
1. Chứng minh tứ giác SAOI là tứ giác nội tiếp.
2. Gọi H và D lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm A đến các đường thẳng SO và SC .
Chứng minh =OAH IAD .
3. Vẽ đường cao CE của tam giác ABC . Gọi Q là trung điểm của đoạn thẳng BE . Đường thẳng QD
cắt đường thẳng AH tại điểm
K . Chứng minh =. .BQBA BDBI và đường thẳng CK song song với đường thẳng SO .
Câu V. (0,5 điểm) Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn + 2a b . Chứng minh + 
+ +
2 2
2 2 1
a b
a b b a
.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn: TOÁN
Ngày thi: 11/6/2023
Thời gian làm bài: 120 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bộ 18 Đề thi chính thức vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội từ 2007-2024 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu I. (2,0 điểm) Cho hai biểu thức +=
2xA
x
và − −= +
−−
2 3 3
11
x xB
xx
với 0, 1x x .
1. Tính giá trị của biểu thức A khi = 9x . 2. Chứng minh =
+
2
1
xB
x
.
3. Tìm tất cả giá trị của x để  = 4A B .
Lời giải
1) Thay = 9x (TMĐK) vào biểu thứcA , ta có += =9 2 11
39
A
2)
( )( )
( )( )
( )( )
− + + −− − − −
= + = + =
−− − − + − +
2 3 1 32 3 3 2 3 3
11 1 1 1 1 1
x x xx x x xB
xx x x x x x
( )( )
( )
( )( )
−−
= = =
++ − + −
2 12 2 2 .
11 1 1 1
x xx x x
xx x x x
3) ( )
 =+
= = − = − = 
=+ 
02 44 4 2 4 0 2 2 0 .
41
xxAB x x x x
xx
Kết hợp với các điều kiện, ta được = 4x .
Câu II. (2,0 điểm) 1. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Theo kế hoạch, một phân xưởng phải làm xong 900 sản phẩm trong một số ngày quy định. Thực tế,
mỗi ngày phân xưởng đã làm được nhiều hơn 15 s