Bộ 19 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

CHUYấN ĐỀ TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Số hữu tỉ
• Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phõn số 
a
b
với , , 0a b Z bẻ ạ .
• Tập hợp cỏc số hữu tỉ được kớ hiệu là Q.
2. Biểu diễn cỏc số hữu tỉ trờn trục số.
• Mọi số hữu tỉ đều cú thể biểu diễn trờn trục số.
• Trờn trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.
3. So sỏnh hai số hữu tỉ
• Để so sỏnh hai số hữu tỉ, ta viết chỳng dưới dạng phõn số rồi so sỏnh hai phõn số đú.
• Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương;
• Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ õm;
• Số hữu tỉ 0, khụng là số hữu tỉ dương cũng khụng là số hữu tỉ õm.
• Số hữu tỉ 
a
b
là số hữu tỉ dương nếu a và b cựng dấu, là số hữu tỉ õm nếu a, b khỏc dấu, bằng 0 nếu
a = 0.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Điền cỏc kớ hiệu N, Z, Q vào ụ trống cho hợp nghĩa (điền tất cả cỏc khả năng cú thể):
9- ẻ ; 2020 ẻ ;
9
205
ẻ ;
21
10
-
ẻ
Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Khi điền vào ụ trống, ta căn cứ vào định nghĩa tập hợp:
• { }0;1;2;3;...N = .
• { }...; 3; 2; 1;0;1;2;3;...Z = - - -
• / ; , , 0
a
Q x x a b Z b
b
ỡ ỹù ùù ù= = ẻ ạớ ý
ù ùù ùợ ỵ
✓ Trỡnh bày lời giải.
• 9 ; 9Z Q- ẻ - ẻ
• 2020 ;2020 ;2020N Z Qẻ ẻ ẻ
• 
9
205
Qẻ
• 
21
10
Q- ẻ
✓ Nhận xột. Chỳng ta lưu ý rằng N Z Qè è , nếu khụng ý thứ nhất và ý thứ hai của vớ dụ dễ bị sút.
Bộ 19 Chuyờn đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toỏn 7 - DeThiToan.net
Vớ dụ 2: Cho số hữu tỉ
10
2020
a
x
-
= . Với giỏ trị nào của a thỡ:
a) x là số dương;
b) x là số õm;
c) x khụng là số dương cũng khụng là số õm.
Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Khi xỏc định dấu của số hữu tỉ, ta lưu ý
a
b
là số hữu tỉ dương nếu a và b cựng dấu, là
số hữu tỉ õm nếu a, b khỏc dấu. Chỳ ý rằng 2020 0> , ta cú lời giải sau:
✓ Trỡnh bày lời giải.
a)
10
0 10
2020
a
x a
-
= > Û - và 2020 cựng dấu.
Mà 2020 0> nờn 10 0a- > suy ra 10a> . Vậy với 10a> thỡ x là số hữu tỉ dương.
b)
10
0 10
2020
a
x a
-
= > Û - và 2020 khỏc dấu.
Mà 2020 0> nờn 10 0a- < suy ra 10a< . Vậy với 10a< thỡ x là số hữu tỉ õm.
c) x khụng là số dương cũng khụng là số õm tức là 0x = hay
10
0
2020
a-
= suy ra 10a = .
Vậy với 10a = thỡ x khụng là số dương cũng khụng là số õm.
Vớ dụ 3. So sỏnh cỏc số hữu tỉ sau:
a)
25
35
x
-
= hay
444
777
y =
-
; b)
1
2
5
x = - và
110
50
y =
-
;
c)
17
20
x = và 0,75y = .
Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Trước khi so sỏnh hai số hữu tỉ, chỳng ta thường thực hiện:
• Đưa cỏc số hữu tỉ về dạng phõn số tối giản;
• Quy đồng mẫu số, chỳ ý để mẫu số dương;
• Sau đú so sỏnh hai phõn số.
✓ Trỡnh bày lời giải.
Rỳt gọn ta cú:
a)
25 5 444 4
;
35 7 777 7
x y
- - -
= = = =
-
nờn x y<
b)
1 11 110 11
2 ;
5 5 50 5
x y
- -
= - = = =
-
nờn x y=
c)
17
20
x = và
75 15 17
0,75
100 20 20
y = = = 
Vớ dụ 4. Viết tập hợp cỏc số nguyờn n sao cho số hữu tỉ sau cú giỏ trị là số nguyờn.
Bộ 19 Chuyờn đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toỏn 7 - DeThiToan.net
a)
7
5n-
; b)
2
5
n-
Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Số hữu tỉ
a
b
(với , , 0a b Z bẻ ạ ) cú giỏ trị là số nguyờn khi và chỉ khi a chia hết cho b
hay bẻ Ư(a). Từ đú chỳng ta cú lời giải sau.
✓ Trỡnh bày lời giải.
a)
7
5
5
Z n
n
ẻ Û - ẻ
-
Ư(7); mà Ư(7) { }1;7; 1; 7= - - suy ra bảng giỏ trị sau:
5n- 1 7 -1 -7
n 6 12 4 -2
Vậy với { }6;12;4; 2nẻ - thỡ 
7
5n-
cú giỏ trị là số nguyờn.
b)
2
2 5 2 5
5
n
Z n n k
-
ẻ Û - Û - =M (với k Zẻ ) 5 2n kÛ = + .
Vậy với 5 2n k= + ( k Zẻ ) thỡ
2
5
n-
cú giỏ trị là số nguyờn.
Vớ dụ 5. Tỡm cỏc số nguyờn n để số hữu tỉ
21
10
n
n
-
+
cú giỏ trị là số nguyờn.
Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Đưa về vớ dụ 4, bằng cỏch tỏch ra một số hạng nguyờn.
✓ Trỡnh bày lời giải.
( )
21
21 10 10 31 10
10
n
Z n n n n
n
-
ẻ Û - + Û + - +
+
M M
31 10 10n nÛ + Û + ẻM Ư(31) mà Ư(31) { }1;31; 1; 31= - - .
Suy ra ta cú bảng giỏ trị sau:
10n+ 1 31 -1 -31
n -9 21 -11 -41
Với { }9;21; 11; 41nẻ - - - thỡ số hữu tỉ 
21
10
n
n
-
+
cú giỏ trị là một số nguyờn.
Vớ dụ 6. Chứng tỏ rằng số hữu tỉ
3 2
4 3
n
x
n
+
=
+
là phõn số tối giản, với mọi n Nẻ .
Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Để chứng minh
a
b
là phõn số tối giản ( );a b Zẻ chỳng ta chứng tỏ ƯCLN (a; b) = 1
✓ Trỡnh bày lời giải.
Đặt ƯCLN( )3 2;4 3n n d+ + = (với d Nẻ ) suy ra:
Bộ 19 Chuyờn đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toỏn 7 - DeThiToan.net
3 2 12 8n d n d+ ị +M M
4 3 12 9n d n d+ ị +M M
( ) ( )12 9 12 8 1 1n n d d dị + - + ị ị =M M
Suy ra: ƯCLN ( )3 2;4 3 1n n+ + =
Vậy
3 2
4 3
n
x
n
+
=
+
là phõn số tối giản, với mọi n Nẻ .
Vớ dụ 7. Tỡm cỏc số hữu tỉ.
a) Cú mẫu là 15, lớn hơn
7
10
-
và nhỏ hơn
9
20
-
;
b) Cú tử là 4, lớn hơn
2
5
và nhỏ hơn
6
7
.
Giải
a) Gọi số hữu tỉ cần tỡm là
15
x
với x Zẻ .
Theo đề bài, ta cú:
7 9 42 4 27
10 15 20 60 60 60
x x- - - -
< < Û < <
42 4 27xÛ - < < -
{ } { }4 40; 36; 32; 28 10; 9; 8; 7x xÛ ẻ - - - - Û ẻ - - - -
Vậy cỏc số hữu tỉ cần tỡm là:
10 9 8 7
; ; ;
15 15 15 15
- - - -
.
b) Gọi số hữu tỉ cần tỡm là
4
y
với y Zẻ
Theo đề bài ta cú:
2 4 6 12 12 12
5 7 30 3 14y y
< < Û < <
{ } { }30 3 14 3 15;18;21;24;27 5;6;7;8;9y y yÛ > > Û ẻ Û ẻ
Vậy cỏc số hữu tỉ cần tỡm là
4 4 4 4 4
; ; ; ;
5 6 7 8 9
.
C. Bài tập vận dụng
1.1. Trong cỏc phõn số sau, những phõn số nào biểu diễn số hữu tỉ
2
5-
?
4 8 10 6 9
; ; ; ;
10 12 25 15 15
- -
- - -
.
1.2. Viết cỏc số hữu tỉ sau dưới dạng phõn số với mẫu số dương.
2 8 21
; ;
3 11 10
-
- - -
1.3. Cho ba số hữu tỉ
6 7 2
; ;
5 4 3- -
Bộ 19 Chuyờn đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toỏn 7 - DeThiToan.net
a) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trờn và cú mẫu là số dương.
b) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trờn và cú mẫu là số dương bằng nhau.
1.4. Cho số hữu tỉ
10
21
m
x
+
= . Với giỏ trị nào của m thỡ:
a) x là số dương. b) x là số õm.
c) x khụng là số dương cũng khụng là số õm.
1.5. Cho số hữu tỉ
14 10
2019
m
x
+
=
-
. Với giỏ trị nào của m thỡ:
a) x là số dương. b) x là số õm.
1.6. Viết tập hợp cỏc số nguyờn n sao cho số hữu tỉ sau cú giỏ trị là một số nguyờn.
a)
5
1n+
; b)
6
3
n+
1.7. Tỡm số nguyờn a để số hữu tỉ
2019
6
x
a
-
=
+
là một số nguyờn.
1.8. Tỡm cỏc số nguyờn x để số hữu tỉ
3 8
5
x
t
x
-
=
-
cú giỏ trị là một số nguyờn.
1.9. Chứng tỏ số hữu tỉ
2 9
7 31
n
x
n
+
=
+
là phõn số tối giản, với mọi n Nẻ .
1.10.
a) Cho hai số hữu tỉ
a
b
và ( )0; 0
c
b d
d
> > . Chứng minh rằng
a c
b d
< khi và chỉ khi ad bc< .
b) Áp dụng kết quả trờn, so sỏnh cỏc số hữu tỉ sau:
12
13
và
22 6
;
25 11
-
và
8
15-
.
1.11.
a) Cho hai số hữu tỉ
a
b
và ( )0; 0
c
b d
d
> > . Chứng minh rằng nếu
a c
b d
< thỡ
a a c c
b b d d
+
< <
+
b) Hóy viết ba số hữu tỉ xen giữa hai số hữu tỉ
2
3
và
3
4
.
1.12. Cho a, b, m là cỏc số nguyờn và b > 0; m > 0.
a) So sỏnh
a
b
và
1
1
a
b
+
+
. b) So sỏnh
a
b
và
a m
b m
+
+
.
c) So sỏnh
2
7
và
3 9
;
8 11
-
và
7
9
-
.
1.13. Cho cỏc số hữu tỉ a, b, c thỏa món 1 1a b c a< < + < + và b c< . Chứng minh rằng b a< .
1.14. Tỡm cỏc số hữu tỉ:
a) Cú mẫu số là 20, lớn hơn
5
14
-
và nhỏ hơn
3
14
-
;
b) Cú tử là 2, lớn hơn
5
8
- và nhỏ hơn
5
12
-
Bộ 19 Chuyờn đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toỏn 7 - DeThiToan.net
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
1.1. Những phõn số biểu diễn số hữu tỉ
2
5-
là
4 10 6
; ;
10 25 15
- -
-
.
1.2.
2 2 8 8 21 21
; ;
3 3 11 11 10 10
- - -
= = =
- - -
1.3.
a) Ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trờn và cú mẫu là số dương.
6 12 18 24 7 7 14 21 2 2 4 6
; ;
5 10 15 20 4 4 8 12 3 3 6 9
- - - - - -
= = = = = = = = =
- -
b) Ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trờn và cú mẫu là cỏc số dương bằng nhau.
6 72 7 105 2 40
; ;
5 60 4 60 3 60
- -
= = =
- -
1.4.
a)
10
0 0 10 0 10
21
m
x m m
+
> Û > Û + > Û > -
Vậy với 10m> - thỡ số hữu tỉ x là số dương.
b)
10
0 0 10 0 10
21
m
x m m
+
< Û < Û + < Û < -
Vậy với 10m< - thỡ số hữu tỉ x là số õm.
c) x khụng là số dương cũng khụng là số õm
10
0 0 10 0 10
21
m
x m m
-
Û = Û = Û - = Û =
Vậy với 10m= thỡ số hữu tỉ x khụng là số dương cũng khụng là số õm.
1.5.
a)
14 10 5
0 0 14 10 0 14 10
2019 7
m
x m m m
+
> Û > Û + < Û < - Û < -
-
Vậy với
5
7
m< - thỡ số hữu tỉ x là số dương.
b)
14 10 5
0 0 14 10 0 14 10
2019 7
m
x m m m
+
 Û > - Û > -
-
Vậy với
5
7
m> - thỡ số hữu tỉ x là số õm.
1.6.
a) Ta cú
5
1
1
Z n
n
ẻ Û + ẻ
+
Ư(5) mà Ư(5) { }1;5; 1; 5= - -
Suy ra bảng giỏ trị sau:
1n+ 1 5 -1 -5
n 0 4 -2 -6
Bộ 19 Chuyờn đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toỏn 7 - DeThiToan.net
Vậy với { }0;4; 2; 6nẻ - - thỡ 
5
1
Z
n
ẻ
+
b) Ta cú: ( )
6
6 3 3 3
3
n
Z n n n k k Z
+
ẻ Û + Û Û = ẻM M
Vậy với ( )3n k k Z= ẻ thỡ 
6
3
n
Z
+
ẻ
1.7.
2019
6
6
Z a
a
-
ẻ Û + ẻ
+
Ư(-2019)
Mà Ư(-2019) { }1;3;673;2019; 1; 3; 673; 2019= - - - -
Suy ra bảng giỏ trị sau:
6a+ 1 3 673 2019 -1 -3 -673 -2019
a -5 -3 667 2013 -7 -9 -679 -2025
Vậy với { }5; 3;667;2013; 7; 9; 679; 2025aẻ - - - - - - thỡ 
2019
6a
-
+
là một số nguyờn.
1.8. ( )
3 8
3 8 5 3 5 7 5
5
x
Z x x x x
x
-
ẻ Û - - Û - + -
-
M M
7 5 5x xÛ - Û - ẻM Ư(7) mà Ư(7) { }1;7; 1; 7= - -
Suy ra bảng giỏ trị sau:
5x- 1 7 -1 -7
x 6 12 4 -2
Vậy với { }6;12;4; 2x ẻ - thỡ 
3 8
5
x
t Z
x
-
= ẻ
-
1.9. Đặt ƯCLN( ) ( )2 9;7 31n n d d N+ + = ẻ
2 9 14 63n d n dị + ị +M M
7 31 14 62n d n dị + ị +M M
( ) ( )14 63 14 62 1 1n n d d dị + - + ị ị =M M
Suy ra: ƯCLN( )2 9;7 31 1n n+ + = . Vậy 
2 9
7 31
n
x
n
+
=
+
là phõn số tối giản với mọi n Nẻ .
1.10.
a) Quy đồng mẫu hai phõn số, ta cú: ;
a ad c bc
b bd d bd
= = . Vỡ 0, 0b d> > nờn 0bd> , do đú:
• Nếu 
a c
b d
< thỡ
ad bc
bd bd
< suy ra ad bc<
• Nếu ad bc< thỡ 
ad bc
bd bd
< suy ra
a c
b d
< .
Bộ 19 Chuyờn đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toỏn 7 - DeThiToan.net
b) Ta cú:
12 22
13 25
> vỡ 12.25 13.22>
Ta