Bộ 19 Đề thi Toán 12 Cánh Diều cuối Kì 2 năm học 2025-2026 (Có đáp án)

 Bộ 19 Đề thi Toán 12 Cánh Diều cuối Kì 2 năm học 2025-2026 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 DeThiToan.net Bộ 19 Đề thi Toán 12 Cánh Diều cuối Kì 2 năm học 2025-2026 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐỀ SỐ 1
 UBND PHƯỜNG. ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2025 – 2026
 TRƯỜNG.. MÔN THI: TOÁN – LỚP 12
 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1(NB). Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 
A. 5 f (x)dx 5 f (x)dx. B. 5 f (x)dx 5 f (x)dx.
 1
C. 5 f (x)dx f (x)dx. D. 5 f (x)dx f (x)dx.
 5 
Câu 2(NB). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. cos xdx sin x C. B. cos xdx sin x C.
 1
C. cos xdx cos x C. D. cos xdx cos2 x C.
 2
Câu 3(NB). Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn a;b . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 
 b b
A. f (x)dx F(b) F(a). B. f (x)dx F(a) F(b).
 a a
 b b
C. f (x)dx F(b) F(a). D. f (x)dx F(b) F(a).
 a a
Câu 4(NB). Cho hàm số f (x) liên tục và không âm trên đoạn a;b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của 
hàm số y f (x) , trục Ox và 2 đường thẳng x a, x b được tính theo công thức nào dưới đây ?
 b b
A. S f x dx. B. S f x dx. 
 a a
 b b
 2
C. S f x dx. D. S f x dx.
 a a
Câu 5(NB). Cho phương trình mặt cầu S : x2 y2 z2 16 , bán kính R của mặt cầu là
A. R 4 . B. R 16 .
C. R 0 . D. R 2 .
Câu 6(NB). Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
(P) : 2x y 5z 1 0 ?
A. n1 2; 1; 5 . B. n2 2;1; 5 .
 DeThiToan.net Bộ 19 Đề thi Toán 12 Cánh Diều cuối Kì 2 năm học 2025-2026 (Có đáp án) - DeThiToan.net
C. n3 2;1;5 . D. n4 2; 1;5 .
Câu 7(NB). Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua điểm 
M(2;1; 3) và có vectơ chỉ phương u (1; 1;2) ?
 x 2 t x 1 2t x 2 t x 2 t
A. y 1 t .B. y 1 t . C. y 1 t . D. y 1 t .
 z 3 2t z 2 3t z 3 2t z 3 2t
 x 3 2t
Câu 8(NB). Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d : y 1 3t ?
 z 1 t
A. M1 3;1; 1 . B. M 2 2; 3;1 .
C. M 3 1;3; 1 . D. M 4 3; 1;1 .
Câu 9(NB). Gieo con xúc xắc 1 lần. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm. B là biến cố xuất hiện mặt chẵn. Xác 
suất P A | B là
 1 1 2 1
A. . B. . C. . D. .
 2 3 3 6
Câu 10(NB). Cho hai biến cố A và B có P(A) 0,3;P(B) 0,6;P(A B) 0,2. Xác suất P A | B là
 1 1 2 1
A. . B. . C. . D. .
 2 3 3 6
Câu 11(NB). Cho hai biến cố A và B , với P A 0,2, P B 0,26, P B | A 0,7 . Tính P A | B 
 7 6 4 9
A. . B. . C. . D. .
 13 13 13 13
Câu 12(NB). Cho 2 biến cố A và B . Tìm P A biết P A | B 0,8; P A | B 0,3; P B 0,4
A. 0,1. B. 0,5 . C. 0,04. D. 0,55 .
Phần II. Thí sinh trả lời câu 13, câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x 2y 2z 2 0 và điểm I 1; 2; 1 . Biết 
mặt cầu S có tâm I và cắt mặt phẳng P theo giao tuyến là đường tròn C có diện tích là 25 . Xét tính 
đúng sai của các khẳng định sau:
a) (NB) Bán kính đường tròn C là r 5 . 
b) (NB) Khoảng cách từ I đến mặt phẳng P là 3.
c) (TH) Tâm đường tròn C có tọa độ là H 1;3;1 .
 2 2 2
d) (TH) Phương trình mặt cầu S là x 1 y 2 z 1 16.
 DeThiToan.net Bộ 19 Đề thi Toán 12 Cánh Diều cuối Kì 2 năm học 2025-2026 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Câu 14. Lớp 11A1 có 45 học sinh, trong đó có 25 học sinh tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh, 16 học sinh tham gia 
câu lạc bộ Nhảy, 12 học sinh vừa tham gia câu lạc bộ tiếng Anh vừa tham gia câu lạc bộ Nhảy. Chọn ngẫu nhiên 1 
học sinh. Xét các biến cố sau:
A: “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh”;
B: “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Nhảy”.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
 5
a) (NB) P A .
 10
 7
b) (NB) P B .
 20
c) (TH) P A | B 0,75 .
d) (TH) P B | A 0,48 .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. 
 2
Câu 15. (TH) Tính tích phân A x2 1 dx 
 2
Câu 16. (VD) Kết quả khảo sát về điểm số của học sinh về mối liên hệ giữa việc thức dậy sớm học bài buổi sáng 
và bài kiểm tra đạt điểm giỏi cho thấy.
Tỉ lệ học sinh đặt điểm giỏi là 10%.
Tỉ lệ học sinh thức dậy sớm để học bài là 30%.
Tỉ lệ học sinh thức đạt điểm giỏi và dậy sớm học bài là 20%.
Hỏi theo kết quả điều tra trên, việc thức dậy sớm để học bài sẽ làm tăng kết quả đạt điểm giỏi nên bao nhiêu lần? 
(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 17. (VD) Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H 1;2;3 là trực tâm của ABC với A, B,C 
là ba điểm lần lượt nằm trên các trục Ox,Oy,Oz (khác gốc tọa độ). Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm 
 A, B,C có dạng mx ny pz 14 0, ( m,n, p ¢ ). Khi đó m n p bằng bao nhiêu?
Câu 18. (TH) Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ 1C . Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại 
thời điểm t phút 0 t 5 được cho bởi hàm số f t 3t 2 (C/ phút ) . Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời 
điểm t là một nguyên hàm của hàm số f t . Tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt.
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận
Câu 19. (TH) Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1;2;1) , đồng thời vuông 
 x 2 y 1 z 1 x 1 y 3 z 1
góc với cả hai đường thẳng : và : .
 1 1 1 1 2 1 2 1
 DeThiToan.net Bộ 19 Đề thi Toán 12 Cánh Diều cuối Kì 2 năm học 2025-2026 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Câu 20. (VD- MHH) Nhà ông Hải có một cái cổng hình chữ nhật, lối vào cổng có dạng parabol có kích thước 
như hình vẽ. Ông Hải cần trang trí bề mặt (phần gạch chéo) của cổng. Hỏi ông Hải cần bao nhiêu tiền để trang trí, 
biết giá thành trang trí là 1.200.000 đồng /1 m 2 ? 
Câu 21. (VD- MHH) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ 
O 0;0;0 , mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị 
trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A 688; 185;8 , chuyển động theo theo đường thẳng d có véctơ 
chỉ phương là u 91;75;0 và hướng về đài kiểm soát không lưu. Hãy xác định tọa độ vị trí sớm nhất mà máy 
bay xuất hiện trên màn hình ra đa.
 ------------- HẾT -------------
 DeThiToan.net Bộ 19 Đề thi Toán 12 Cánh Diều cuối Kì 2 năm học 2025-2026 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐÁP ÁN 
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
 Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 ĐÁ A A A A A A A A B B A B
Phần II. Thí sinh trả lời câu 13, câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x 2y 2z 2 0 và điểm I 1; 2; 1 . Biết 
mặt cầu S có tâm I và cắt mặt phẳng P theo giao tuyến là đường tròn C có diện tích là 25 . Xét tính 
đúng sai của các khẳng định sau:
a) (NB) Bán kính đường tròn C là r 5 . 
b) (NB) Khoảng cách từ I đến mặt phẳng P là 3.
c) (TH) Tâm đường tròn C có tọa độ là H 1;3;1 .
 2 2 2
d) (TH) Phương trình mặt cầu S là x 1 y 2 z 1 16.
 Lời giải
Gọi M là điểm nằm trên đường tròn giao tuyến của S và P . Ta có IM R. Áp dụng công thức tính bán kính 
mặt cầu trong trường hợp mặt cầu S giao với mặt phẳng P theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r là
a) Đúng: Ta có đường tròn C có diện tích là 25 . Suy ra r 5 MH.
 1 2.2 2. 1 2
b) Đúng: Ta có d I; P 3 IH
 1 2 2 22
 x 1 t
c) Sai: Phương trình IH : y 2 2t
 z 1 2t
 x 1 t x 0
 y 2 2t y 0
Vậy tọa độ là H là nghiệm của hệ H 0;0;1 .
 z 1 2t z 1
 x 2y 2z 2 0 t 1
d) Sai: Suy ra R2 MI 2 IH 2 MH 2 32 52 34.
 2 2 2
Vậy phương trình mặt cầu S là x 1 y 2 z 1 34.
Câu 14. Lớp 11A1 có 45 học sinh, trong đó có 25 học sinh tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh, 16 học sinh tham gia 
câu lạc bộ Nhảy, 12 học sinh vừa tham gia câu lạc bộ tiếng Anh vừa tham gia câu lạc bộ Nhảy. Chọn ngẫu nhiên 1 
học sinh. Xét các biến cố sau:
A: “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh”;
 DeThiToan.net Bộ 19 Đề thi Toán 12 Cánh Diều cuối Kì 2 năm học 2025-2026 (Có đáp án) - DeThiToan.net
B: “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Nhảy”.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
 5
a) (NB) P A .
 10
 7
b) (NB) P B .
 20
c) (TH) P A | B 0,75 .
d) (TH) P B | A 0,48 .
 Lời giải
 25 5
a) Sai: Xác suất của biến cố A là: P A .
 45 9
 16
b) Sai: Xác suất của biến cố B là: P B 0,3(5) .
 45
c) Đúng: Số học sinh vừa tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh vừa tham gia câu lạc bộ Nhẩy là 12 , số học sinh tham 
 P A  B n A  B 12
gia câu lạc bộ Nhẩy là 16 nên P A | B 0,75.
 P B n B 16
d) Đúng: Số học sinh vừa tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh vừa tham gia câu lạc bộ Nhẩy là 12 , số học sinh tham 
gia câu lạc bộ Tiếng Anh là 25 nên 
 P A  B n A  B 12
 P B | A 0,48 .
 P A n A 25
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. 
 2
Câu 15. (TH) Tính tích phân A x2 1 dx 
 2
 Trả lời: 4
 Lời giải
 2
 A x2 1 dx .
 2
Xét f x x2 1 trên đoạn  2;2 .
 x 1  2;2
Cho f x 0 x2 1 0 .
 x 1  2;2
Bảng xét dấu:
 DeThiToan.net Bộ 19 Đề thi Toán 12 Cánh Diều cuối Kì 2 năm học 2025-2026 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 2 1 1 2
Do đó: A x2 1 dx x2 1 dx 1 x2 dx x2 1 dx
 2 2 1 1
 1 1 2
 x3 x3 x3 2 2 2 2 2 2 
 x x x 4.
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 
 2 1 1 
Câu 16. (VD) Kết quả khảo sát về điểm số của học sinh về mối liên hệ giữa việc thức dậy sớm học bài buổi sáng 
và bài kiểm tra đạt điểm giỏi cho thấy.
Tỉ lệ học sinh đặt điểm giỏi là 10%.
Tỉ lệ học sinh thức dậy sớm để học bài là 30%.
Tỉ lệ học sinh thức đạt điểm giỏi và dậy sớm học bài là 20%.
Hỏi theo kết quả điều tra trên, việc thức dậy sớm để học bài sẽ làm tăng kết quả đạt điểm giỏi nên bao nhiêu lần? 
(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
 Trả lời: 6,67
 Lời giải
Gọi A là biến cố “ Học sinh đạt điểm giỏi ”.
B : “Học sinh thức dậy sớm để học bài”.
 AB : “Học sinh thức đạt điểm giỏi và dậy sớm học bài”.
Theo đề ra ta có P(AB)= 20% = 0,2 ; P(B)= 30% = 0,3; P(A)= 10% = 0,1.
 P(AB) 0,2 2
Xác suất để HS đạt điểm giỏi, biết HS đó đã dậy sớm học bài là P(A | B)= = =
 P(B) 0,3 3
 2
 20
Vậy thói quen thức dậy sớm để học bài sẽ làm tăng kết quả đạt điểm giỏi nên số lần là 3 = » 6,67 lần.
 0,1 3
Câu 17. (VD) Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H 1;2;3 là trực tâm của ABC với A, B,C 
là ba điểm lần lượt nằm trên các trục Ox,Oy,Oz (khác gốc tọa độ). Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm 
 A, B,C có dạng mx ny pz 14 0, ( m,n, p ¢ ). Khi đó m n p bằng bao nhiêu?
 Trả lời: 6
 Lời giải
Giả sử: A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c 
     
 AH 1 a;2;3 ; BH 1;2 b;3 ; BC 0; b; c ; AC a; 0; c 
   
 AH.BC 0 2b 3c 0
Do H là trực tâm tam giác ABC nên ta có:   
 BH.AC 0 a 3c 0
 x y z 1 2 3
Phương trình mặt phẳng ABC : 1 và do H ABC 1.
 a b c a b c
 DeThiToan.net Bộ 19 Đề thi Toán 12 Cánh Diều cuối Kì 2 năm học 2025-2026 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 a 2b 
 2b 3c 0 a 14
 2b 
Do đó ta có hệ phương trình: a 3c 0 c b 7 .
 3
 1 2 3 14
 1 1 2 9 c 
 a b c 1 3
 2b b 2b
 x y 3z
Phương trình mặt phẳng ABC : 1 x 2 y 3z 14 0.
 14 7 14
Vậy m n p 6 .
Câu 18. (TH) Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ 1C . Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại 
thời điểm t phút 0 t 5 được cho bởi hàm số f t 3t 2 (C/ phút ) . Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời 
điểm t là một nguyên hàm của hàm số f t . Tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt.
 Trả lời: 28
 Lời giải
Ta có nhiệt độ của bình là F t f t dt 3t 2 dt t3 C .
Vì người ta bắt đầu truyền nhiệt cho bình nuôi cấy từ 1C nên ta có: 
F 0 1 C 1 F t t3 1 C 
Vậy nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt là F 3 33 1 28 C .
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận
Câu 19. (TH) Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1;2;1) , đồng thời vuông 
 x 2 y 1 z 1 x 1 y 3 z 1
góc với cả hai đường thẳng : và : .
 1 1 1 1 2 1 2 1
 Lời giải
 Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua M (1;2;1) , đồng thời 
 x 2 y 1 z 1 x 1 y 3 z 1
vuông góc với cả hai đường thẳng : và : .
 1 1 1 1 2 1 2 1
 1 có một véc tơ chỉ phương là u1 (1; 1;1)
 2 có một véc tơ chỉ phương là u2 (1;2; 1)
 d  1 
 Ta có d có một véc tơ chỉ phương là u u1,u2 
 d  2
 Tính được u 1;2;3 
 DeThiToan.net Bộ 19 Đề thi Toán 12 Cánh Diều cuối Kì 2 năm học 2025-2026 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 x 1 y 2 z 1
 Vậy d có phương trình .
 1 2 3
Câu 20. (VD- MHH) Nhà ông Hải có một cái cổng hình chữ nhật, lối vào cổng có dạng parabol có kích thước 
như hình vẽ. Ông Hải cần trang trí bề mặt (phần gạch chéo) của cổng. Hỏi ông Hải cần bao nhiêu tiền để trang trí, 
biết giá thành trang trí là 1.200.000 đồng /1 m 2 ? 
 Lời giải
 Xét hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ 
 4
 Khi đó parabol có phương trình y x2 5
 5
 5
 2 4 50
 Diện tích phần lối đường đi vào cổng là: S 2 ( x2 5)dx m2
 1 
 0 5 3
 50 40
 Diện tích phần trang trí là S S S 30 m2
 2 hcn 1 3 3
 DeThiToan.net