Bộ 21 Chuyên đề Toán 7 - Phần Đại Số

CHƯƠNG 1: SỐ HỮU TỈ
Bài 1: TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm số hữu tỉ và biểu diễn số hữu tỉ trên trục số:
a) Khái niệm: Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số a
b
với , ; 0a b b∈ ≠ 
Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là  .
*) Chú ý: Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối. Số đối của số hữu tỉ a
b
là a
b
−
*) Nhận xét: Các số thập phân đều viết được dưới dạng phân số thập phân nên chúng đều là các số
hữu tỉ. Số nguyên, hỗn số cũng là các số hữu tỉ
b) Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số
+ Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số: Tương tự như đối với số nguyên, ta có thể biểu diễn mọi số hữu
tỉ trên trục số
+ Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ a được gọi là điểm a
+ Nhận xét: Trên trục số, hai điểm biểu diễn hai số hữu tỉ đối nhau a và a− nằm về hai phía khác
nhau só với điểm O và có cùng khoảng cách đến O
2. Thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ
+ Ta có thể so sánh hai số hũu tỉ bất kì bằngg cách viết chúng dưới dạng phân số rồi só sánh hai
phân số đó
+ Với hai số hữu tỉ ,x y ta luôn có hoặc x y= hoặc x y .
+ Cho ba số hữu tỉ , ,a b c , ta có:
Nếu a b< và b c< thì a c< (tính chất bắc cầu)
+ Trên trục số, nếu a b< thì điểm a nằm trước điểm b
*) Chú ý:
+ Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương;
+ Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi là số hữu tỉ âm.
+ Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nhận biết các số hữu tỉ, quan hệ trên tập hợp số
Phương pháp giải:
+ Muốn xác định xem một số có là số hữu tỉ hay không, ta hãy biến đổi xem số đó có dạng a
b
với
, ; 0a b b∈ ≠ hay không.
Bộ 21 Chuyên đề Toán 7 - Phần Đại Số - DeThiToan.net
DeThiToan.net
+ Mối quan hệ giữa các tập hợp số đã biết với tập hợp số hữu tỉ: ⊂ ⊂  .
+ Sử dụng các kí hiệu , , , , , ,∈∉ ⊂ ⊃  để biểu diễn mối quan hệ giữa số và tập hợp hoặc giữa các
tập hợp với nhau.
Bài 1:
Cho các số sau: 5 2 2 13 0 3 9;3 ; ; ; ; ; ;3,5;0;6, 25
4 5 7 17 3 0 9
− − −
−
, hãy cho biết số nào là số hữu tỉ, số nào không
phải là số hữu tỉ?
Lời giải
Ta viết: 35 6253,5 ;0,625
100 1000
= = . Vậy các số hữu tỉ là 5 2 2 13 0 9;3 ; ; ; ; ;3,5;0;6,25
4 5 7 17 3 9
− − −
−
Số không phải số hữu tỉ là 3
0
(vì có mẫu số là 0).
Bài 2:
Số nguyên ... 2; 1;0;1;2;...− − có là số hữu tỉ không? Vì sao?
Lời giải
Vì các số nguyên đề có thể viết được dưới dạng phân số với mẫu số là 1 nên các số nguyên đều là
số hữu tỉ.
Bài 3:
Điền kí hiệu ( );∈∉ thích hợp vào ô trống:
6,5 6,5  42
7
 0  -3,5 
Lời giải
6,5 ∉ 6,5 ∈  42
7
∈  0 ∈  -3,5 ∉ 
Bộ 21 Chuyên đề Toán 7 - Phần Đại Số - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Bài 4:
Điền kí hiệu ( )∈ ∉; thích hợp vào ô trống:
5 − 5 − 5 −  1
5
 0
8
− 
Lời giải
5 − ∉ 5 − ∈ 5 − ∈  1
5
∉ 0
8
− ∈ 
Bài 5:
Điền các kí hiệu , ,  vào ô trống cho đúng (điền tất cả các khả năng có thể):
a) 11 .....∈ b) 26 .....− ∈
c) 1 .....
5
∈ d) 3 .....
4
− ∈
Lời giải
a) Có thể điền , , 
b) Có thể điền , 
c) Có thể điền 

d) Có thể điền 

Bài 6:
Điền các kí hiệu thích hợp ( ), , , , , ,∈∉ ⊂ ⊃  vào ô trống:
1 73 ; ; .
2 9
−
− ∈ ⊂  
Hướng dẫn giải
13 ;
2
7 ; .
9
−
− ∉ ∈
∈ ⊂ ⊂
 
 
Bài 7:
Điền các kí hiệu thích hợp ( ), , , , , ,∈∉ ⊂ ⊃  vào ô trống:
10 31 ; 1 ; ; ;
2 8
4 1 2 ; ; ; .
9 4 5
− −
−
−
∉ ∈ ⊃
 
 
Bộ 21 Chuyên đề Toán 7 - Phần Đại Số - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Lời giải
10 101 ; 1 ; do = 5 ;
2 2
3 4 1 2 ; ; , ; ; ; .
8 9 4 5
∈ − ∉ − ∈ − − ∈
−
∈ ∉ ∉ ∈ ⊃
−
   
Chú ý:
+ Kí hiệu ∈ là “thuộc”.
+ Kí hiệu ∉ là “không thuộc”.
+ Kí hiệu ⊂ là “tập hợp con”.
+ Kí hiệu ⊃ là “chứa trong” hoặc “chứa”.
+ Kí hiệu là “tập hợp các số tự nhiên”.
Bài 8:
Điền kí hiệu ( ), ,∈∉ ⊂ thích hợp và ô trống:
5 24 ; ; 8 ; ;
3 9
1 2 2 ; ; ; .
11 7 19
− −
− −
− − −
  
  
Lời giải
5 24 ; ; 8 ; ;
3 9
1 2 2 ; ; ; .
11 7 19
− −
− ∉ ∈ − ∈ ∉
− ∉ − ∈ − ∉ ⊂
  
  
Bài 9:
Điền các kí hiệu ; ;  thích hợp vào ô trống (điền tất cả các khả năng có thể):
26 ; 22 ; ; ;
23
5 3; ; 21 ;; 1 .
7 4
−
− ∈ ∈ ∈ ⊂
−
⊂ ∉ − ∉ ∉
Lời giải
26 ; ; 22 ; ; ; ; ; ;
23
5 3; ; ; 21 ; 1 ; .
7 4
−
− ∈ ∈ ∈ ⊂
−
⊂ ∉ − ∉ ∉
    
  
Bài 10:
Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Số 19 là một số tự nhiên. B. Số 5− là một số nguyên âm.
Bộ 21 Chuyên đề Toán 7 - Phần Đại Số - DeThiToan.net
DeThiToan.net
C. Số 15
19
− là một số hữu tỉ. D. Số 0 là một số hữu tỉ dương.
Lời giải
Chọn đáp án D
Vì số 0 không là số hữu tỉ âm, cũng không là số hữu tỉ dương.
Bài 11:
Viết Đ vào ô có khẳng định đúng và S vào ô có khẳng định sai:
1. Số nguyên là số hữu tỉ
2. Số nguyên âm không là số hữu tỉ âm
3. Tập hợp  gồm các số hữu tỉ âm và các số hữu tỉ dương
4. Số 11
2
là số hữu tỉ
5. Số 1
5
−
−
không là số hữu tỉ
Lời giải
1. Đ 2. S 3. S
4. Đ 5. S
Bài 12:
Các số hữu tỉ sau là âm hay dương?
a) 5
7
− b) 4
9−
c) 3
8
−
−
d) 14
9
− e) 5
8−
Lời giải
Số hữu tỉ dương là 3
8
−
−
Số hữu tỉ âm là 5
7
− ; 4
9−
; 14
9
− ; 5
8−
Bài 13:
Các số hữu tỉ sau là âm hay dương?
a) 3
5
−
− b) 2
9
c) 4− d) 0
3−
Lời giải
Bộ 21 Chuyên đề Toán 7 - Phần Đại Số - DeThiToan.net
DeThiToan.net
a) 3
5
−
− là số hữu tỉ dương
b) 2
9
là số hữu tỉ dương
c) 4− là số hữu tỉ âm
d) 0 0
3
=
−
không là số hữu tỉ âm cũng không là số hữu tỉ dương.
Bài 14:
Tìm số đối của các số sau: 11 7 5 1 1; 4; ;0; ; ;
2 6 7 3 2
− −
−
Lời giải
Số đối của 11 7 5 1 1; 4; ;0; ; ;
2 6 7 3 2
− −
− lần lượt là 11 7 5 1 1;4; ;0; ; ;
2 6 7 3 2
− − −
Bài 15:
Tìm số đối của các số sau: ( ) ( )1 33 ; 5 ; ; 8
2 4
−
− − −
−
Lời giải
Số đối của ( ) ( )1 33 ; 5 ; ; 8
2 4
−
− − −
−
lần lượt là 1 33 ;5; ; 8
2 4
− − −
Bài 16:
Dãy số nào dưới đây cùng biểu diễn một số hữu tỉ
a) 3 60,3; ;
10 20
−
− b) 5 105; ;
1 2
− −
−
c) 2 7 14; ;
13 17 26
− − d) 9 6 3; ;
12 8 4
−
−
Lời giải
a) Ta có: 3 60,3
10 20
−
− = ≠ . Dãy số này không biểu diễn một số hữu tỉ
b) Ta có: 5 105
1 2
− −
= ≠
−
. Dãy số này không biểu diễn một số hữu tỉ
c) 2 7 14
13 17 26
− −
≠ = . Dãy số này không biểu diễn một số hữu tỉ
d) 9 6 3; ;
12 8 4
−
−
. Dãy số này không biểu diễn một số hữu tỉ
Bài 17:
Bộ 21 Chuyên đề Toán 7 - Phần Đại Số - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ 5
4
− , từ đó rút ra dạng tổng quát của
các phân số bằng phân số 5
4
− .
10 15 20 19 25 12, , , , ,
4 12 16 16 20 15
− − −
−
− −
Lời giải
Rút gọn các phân số ta được: 10 5 15 5 20 5 19 5 25 12 5, , , , ,
4 4 12 4 16 4 16 4 20 15 4
− − − − − −
= − = = = =
− −
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ 5
4
− là 10 15 25, ,
8 12 20
−
−
−
Dạng tổng quát của các phân số bằng phân số 5
4
− là ( )5 , 0
4
k k k
k
− ∈ ≠ 
Bài 18:
a) Tìm 3 phân số bằng cạc phân số 14
21
b) Tìm 3 phân số bằng cạc phân số 4
12−
Lời giải
a) Ta có: 14 2 4 16
21 3 6 24
= = =
b) Ta có: 4 1 2 8
12 3 6 24
−
= = − =
− −
Bài 19:
Viết dạng chung của các số hữu tỉ bằng:
a) 123123
164164
− b) 434343
868686
Lời giải
a) Ta có: 123123 123.1001 123
164164 164.1001 164
− − −
= =
Vậy dạng chung của số hữu tỉ 123123
164164
− là 123.
164.
m
m
− với , 0m m∈ ≠ 
a) Ta có: 434343 1.434343 1
868686 2.434343 2
= =
Vậy dạng chung của số hữu tỉ 434343
868686
là 1.
2.
m
m
với , 0m m∈ ≠ 
Bộ 21 Chuyên đề Toán 7 - Phần Đại Số - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Bài 20:
Cho các số sau: 2,3 3 5 12 0 2 3; 1 ; ; ; ; ; ; 1,6;0,35
5 4 9 7 8 0 3
− −
− −
−
. Hãy cho biết số nào là số hữu tỉ, số nào không
phải là số hữu tỉ?
Lời giải
Các số hữu tỉ là 3 5 12 0 31 ; ; ; ; ; 1,6;0,35
4 9 7 8 3
− −
− −
−
Số không phải là số hữu tỉ là 2,3 2;
5 0
Bài 21:
Các số hữu tỉ sau là âm hay dương?
1
4
− ;
11
3 ; 2
5
−
−
; 6−
Lời giải
Số hữu tỉ dương là:
11
3 ; 2
5
−
−
Số hữu tỉ âm là: 1
4
− ; 6−
Bài 22:
Tìm số đối của các số: ( ) ( )3 4 25 ; 9 ; ; 5 ; ;0,56
7 11 3
−
− − − −
−
.
Lời giải
Số đối của ( ) ( )3 4 25 ; 9 ; ; 5 ; ;0,56
7 11 3
−
− − − −
−
lần lượt là: 3 4 25 ;9; ; 5; ; 0,56
7 11 3
− − − −
Bài 23:
Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ 2
5−
?
8 ;
20
− 9 ;
12−
10 ;
25
− 6 ;
15−
9
15−
Lời giải
Ta có 2 2
5 5
−
=
−
. Rút gọn các phân số đã cho ta được:
3
5
3210-1-2
Bộ 21 Chuyên đề Toán 7 - Phần Đại Số - DeThiToan.net
DeThiToan.net
8 4 ;
20 5
− −
= 9 3 ;
12 4
−
=
−
10 2 ;
25 5
− −
= 6 2 ;
15 5
−
=
−
9 3
15 5
−
=
−
Vậy các phân số biểu diễn số hữu ti 2
5−
là: 10 ;
25
− 6
15−
.
Bài 24:
Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên cùng một trục số.
a) 1
4
− b) 3
4
−
−
c) 3
4−
d) 14
9
− e) 7
4
Lời giải
Ta có: 3 3
4 4
−
=
−
; 3 3
4 4
−
=
−
; 14 51
9 9
−
= − ; 7 31
4 4
= .
Bài 25:
Hãy tìm năm phân số bằng phân số 2
7
− .
Lời giải
Năm phân số bằng phân số 2
7
− là: 4 6 8 10 12; ; ; ;
14 21 28 35 42
− − − − −
⋅
Bài 26:
Tìm số nguyên x để các số sau là số hữu tỉ:
a)
11
x b) 3
x
− c) 7
3x−
Lời giải
a) Để
11
x là số hữu tỉ thì .x∈ 
b) Để 3
x
− là số hữu tỉ thì x∈ và 0x ≠ . Suy ra x là số nguyên khác 0 .
c) Để 7
3x−
là số hữu tỉ thì 3x− ∈ và 3 0x− ≠ . Suy ra x là số nguyên khác 0 .
0-1-2 1 2
-1
4
3
-4
-3
-4
7
4
-14
9
Bộ 21 Chuyên đề Toán 7 - Phần Đại Số - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Bài 27:
Tìm số nguyên x để các số sau là số hữu tỉ:
a) 5
3x −
b) 4
5 10x
−
+
Lời giải
a) Để 5
3x −
là số hữu tỉ thì 3x − ∈ và 3 0 3x x− ≠ ⇒ ≠ .
Vậy khi x là số nguyên khác 3 thì 5
3x −
là số hữu tỉ
b) Để 4
5 10x
−
+
là số hữu tỉ thì 5 10x + ∈ và 5 10 0 2x x+ ≠ ⇒ ≠ − .
Vậy khi x là số nguyên khác 2− thì 4
5 10x
−
+
là số hữu tỉ.
Bài 28:
Tìm tất cả các số nguyên x để các phân số sau có giá trị là số nguyên:
a) 10x 9
2x 3
A −=
−
b) 10
5
xB
x
−
=
−
Lời giải
a) 10x 9
2x 3
A −=
−
65
2x 3
= +
−
6 2 3
2 3
A x
x
∈ ⇒ ∈ ⇒ − ∈
−
Ư(6)
{ }2 3 6; 3 ; 2 ; 1; 1; 2; 3 ; 6x⇒ − ∈ − − − − { }0; 1 ; 2; 3x⇒ ∈ , ( )x ∈ 
b) 10 51
5 5
xB
x x
−
= = −
− −
. Làm tương tự câu a ta được {4;6;0;10}