Bộ 21 Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH GIA LAI 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG 
NĂM HỌC 2024-2025 
Môn: TOÁN (chuyên) 
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) 
Họ và tên thí sinh: ............................................................. Số báo danh: .......................................... 
Câu 1 (2,0 điểm). 
a) Rút gọn biểu thức 𝐴 = (
1
√√𝑥+4−2
−
1
√√𝑥+4+2
) :
1
√𝑥
. 
b) Cho phương trình 𝑥2 − (𝑚 − 1)𝑥 − 2(𝑚 + 1) = 0 (với 𝑚 là tham số). Tìm 𝑚 để phương trình có
hai nghiệm 𝑥1, 𝑥2 thỏa mãn 𝑥1
2𝑥2 + 𝑥1𝑥2
2 = 𝑥1 + 𝑥2.
Câu 2 (2,0 điểm). 
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (𝑃) có phương trình 𝑦 = 𝑥2 và đường thẳng (𝑑) có
phương trình 𝑦 = (√2 + 1)𝑥 + √2 + 2. Tìm tọa độ giao điểm của Parabol (𝑃) và đường thằng (𝑑).
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên (𝑥; 𝑦) của phương trình 𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 5𝑦2 = 2(𝑥 − 𝑦 + 1).
Câu 3 (3,0 điểm). Cho đường tròn (𝑂; 𝑅) có đường kính 𝐴𝐵 cố định, 𝐼 là điểm thuộc đoạn thẳng 𝐴𝑂
sao cho 𝐴𝐼 = 2𝐼𝑂. Đường thẳng qua 𝐼 vuông góc với đường thẳng 𝐴𝐵 cắt đường tròn (𝑂) tại hai
điểm phân biệt 𝑀 và 𝑁. Điểm 𝐶 di động trên cung nhỏ 𝑀𝐵 (C không trùng với 𝑀 và 𝐵), 𝐸 là giao
điểm của hai đường thẳng 𝐴𝑁 và 𝐵𝑀. Đường thằng qua 𝐸 vuông góc với đường thẳng 𝐴𝐵 cắt đường
thẳng 𝐴𝑀 tại 𝐹.
a) Chứng minh rằng bốn điểm 𝑀, 𝑁, 𝐸, 𝐹 cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi 𝐷 là giao điểm của hai đường thẳng 𝐴𝐶 và 𝑀𝑁. Chúng minh rằng
𝐴𝐷. 𝐴𝐶 − 𝐴𝐼𝐼𝐵 = 𝐴𝐼2.
c) Gọi 𝐾 là tâm của đường tròn ngoại tiếp △ 𝑀𝐶𝐷.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑃 = 2𝐾𝑀. 𝐾𝐵 − 𝑀𝐾. 𝑀𝐵.
Câu 4 (2,0 diểm).
a) Giải phương trình 3𝑥 + 2√(𝑥2 + 5)(𝑥 − 1) = 𝑥2 + 8.
b) Giải hệ phương trình {
𝑥√12 − 𝑦 + √𝑦(12 − 𝑥2) = 12
𝑥3 = 8𝑥 + 1 + 2√𝑦 − 2
 (𝑥, 𝑦 ∈ ℝ). 
Câu 5 (1,0 điểm). 
Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 là các số thực dương thỏa mãn 𝑎𝑏𝑐 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
𝑃 =
1
𝑎2 + 2𝑏2 + 3
+
1
𝑏2 + 2𝑐2 + 3
+
1
𝑐2 + 2𝑎2 + 3
+
3
2
. 
----------HẾT---------- 
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. 
Chữ ký của giám thị 1: .......................................... : Chữ ký của giám thị 2: ....................................... 
ĐỀ SỐ 1
Bộ 21 Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Câu 1 (2 điểm).
a) Rút gọn biểu thức A =
Ç
1√√
x+ 4− 2 −
1√√
x+ 4 + 2
å
:
1√
x
.
b) Cho phương trình x2− (m− 1)x− 2(m+1) = 0 (với m là tham số). Tìm m để phương trình
có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x
2
1x2 + x1x
2
2 = x1 + x2.
Ê Lời giải.
a) Điều kiện: x > 0. Với x > 0 ta có:
A =
Ç
1√√
x+ 4− 2 −
1√√
x+ 4 + 2
å
:
1√
x
=
Ç√√
x+ 4 + 2− (
√√
x+ 4− 2)
(
√√
x+ 4− 2)(
√√
x+ 4 + 2)
å
;
1√
x
=
Ç√√
x+ 4 + 2−
√√
x+ 4 + 2√
x+ 4− 4
å
;
1√
x
=
4√
x
:
1√
x
=
4√
x
.
√
x = 4.
Vậy với x > 0 thì P = 4.
b) Ta có phương trình: x2 − (m− 1)x− 2(m+ 1) = 0 (với m là tham số).
Để phương trình đã cho có nghiệm thì:
∆ ≥ 0⇔ (m− 1)2 + 8(m+ 1) ≥ 0
⇔ m2 + 6m+ 9 ≥ 0
⇔ (m+ 3)2 ≥ 0 (luon dung ∀ m)
Theo định lí Vi-ét ta có: ß
x1 + x2 = m− 1
x1x2 = −2(m+ 1) (1)
Ta có:
x21x2 + x1x
2
2 = x1 + x2 ⇔ x1x2(x1 + x2) = x1 + x2. (2)
Thay (1) vào (2) ta được:
− 2(m+ 1)(m− 1) = m− 1
⇔ − 2(m2 − 1) = m− 1
⇔ 2m2 +m− 3 = 0
⇔ (m− 1)(2m+ 3) = 0
⇔
[
m = 1
m = −3
2
Ta thấy các giá trị m vừa tìm được thỏa mãn điều kiện. Vậy m = 1;m = −3
2
là các giá trị thỏa
mãn yêu cầu bài toán.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bộ 21 Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Câu 2 (2 điểm).
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P ) có phương trình y = x2 và đường thẳng (d)
có phương trình y = (
√
2 + 1)x +
√
2 + 2. Tìm tọa độ giao điểm của Parabol (P ) và đường
thẳng (d).
b) Tìm tất cả nghiệm nguyên (x; y) của phương trình x2 − 4xy + 5y2 = 2(x− y + 1).
Ê Lời giải.
a) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P ) và (d) là:
x2 = (
√
2 + 1)x+
√
2 + 2⇔ x2 − (
√
2 + 1)x−
√
2− 2 = 0
Ta có: a− b+ c = 1+(√2+1)−√2−2 = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm là:
ï
x = −1
x = 2 +
√
2
- Với x = −1 thay vào (P ) ta được: y = 1.⇒ A(−1; 1)
- Với x = 2 +
√
2 thay vào (P ) ta được: y = 6 + 4
√
2.⇒ B(2 +√2; 6 + 4√2)
Vậy tọa độ giao điểm của Parabol (P ) và đường thẳng (d) là: A(−1; 1) và B(2 +√2; 6 + 4√2).
b) Ta có phương trình:
x2 − 4xy + 5y2 = 2(x− y + 1)
⇔ x2 − 4xy + 5y2 − 2x+ 2y − 2 = 0
⇔ x2 − 2(2y + 1)x+ 5y2 + 2y − 2 = 0 (∗)
Ta có phương trình (*) là phương trình bậc 2 theo ẩn x. Ta có:
∆
′
= (2y + 1)2 − (5y2 + 2y − 2) = −y2 + 2y + 3
Để phương trình (*) có nghiệm thì
∆
′ ≥ 0⇔ − y2 + 2y + 3 ≥ 0
⇔ − (y − 1)2 + 4 ≥ 0
⇔ (y − 1)2 ≤ 4
⇔ |y − 1| ≤ 2
⇔ − 2 ≤ y − 1 ≤ 2
⇔ − 1 ≤ y ≤ 3
Mà y ∈ Z nên y ∈ {−1; 0; 1; 2; 3}
- Với y = −1 thay vào (*) ta được: x2 + 2x+ 1 = 0⇔ x = −1. (chọn)
- Với y = 0 thay vào (*) ta được: x2 − 2x− 2 = 0⇔
ï
x = 1 +
√
3
x = 1−√3 (loại, vì x /∈ Z)
- Với y = 1 thay vào (*) ta được: x2 − 6x+ 5 = 0⇔
ï
x = 1
x = 5
(chọn)
- Với y = 2 thay vào (*) ta được: x2 − 10x+ 22 = 0⇔
ï
x = 5 +
√
3
x = 5−√3 (loại, vì x /∈ Z)
- Với y = 3 thay vào (*) ta được: x2 − 14x+ 49 = 0⇔ x = 7 (chọn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: (x; y) = (1; 1); (5; 1); (−1;−1); (7; 3)
Bộ 21 Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Câu 3 (3 điểm). Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định, I là điểm thuộc đoạn thẳng AO sao cho
AI = 2IO. Đường thẳng qua I vuông góc với đường thẳng AB cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt M và
N. Điểm C di động trên cung nhỏ MB (C không trùng với M và B), E là giao điểm của hai đường thẳng AN
và BM. Đường thẳng qua E vuông góc với đường thẳng AB cắt đường thẳng AM tại F.
a) Chứng minh rằng bốn điểm M,N,E,F cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng AC và MN. Chứng minh rằng
AD.AC −AI.IB = AI2.
c) Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆MCD. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 2KM.KB −MK.MB.
Ê Lời giải.
a) Dễ thấy ∆AMN cân tại A ⇒ ÷AMN = ÷ANM mà EF//MN ( cùng vuông góc với OA).
⇒÷AMN =÷ANM = ’FEN ⇒M,N,F,E cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Ta cần chứng minh:
AD.AC − AI.IB = AI2 ⇔ AD.AC = AI(AI + IB)⇔ AD.AC = AI.AB (*)
Mà do DCIB là tứ giác nội tiếp ( vì’DIB +’DCB = 1800) ⇒ (*) đúng.
c) Trước hết ta chứng minh K,M,B thẳng hàng.
Thật vậy, ta có ÷AMK =÷AMD +÷DMK =÷AMD + 900 − ÷MKD
2
=÷AMD + 900 −÷MCD
Bộ 21 Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Mà÷AMD =÷MCD ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau) ⇒÷AMK = 900.
Mà÷AMB = 900 ⇒ K,M,B thẳng hàng.
Ta có:
P = 2KM.KB −KM.MB
= KM(2KB −MB)
= KM(KB −KM)
=
(2KM)(KB −KM)
2
≤ (KB +KM)
2
8
=
MB2
8
Mặt khác:
MB2 = IA.IB =
8
3
R2
Suy ra:
P ≤ R
2
3
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là:
R2
3
xảy ra khi MK =
1
4
MB.
Câu 4 (2 điểm).
a) Giải phương trình 3x+ 2
√
(x2 + 5)(x− 1) = x2 + 8.
b) Giải hệ phương trình
ß
x
√
12− y +√y(12− x2) = 12
x3 = 8x+ 1 + 2
√
y − 2 (x, y ∈ R).
Ê Lời giải.
a) Điều kiện: x ≥ 1.
Ta có:
3x+ 2
»
(x2 + 5)(x− 1) = x2 + 8
⇔ 3(x− 1) + 2
»
(x2 + 5)(x− 1) = x2 + 5
Ta đặt:
ß
x− 1 = v
x2 + 5 = u
Phương trình đã cho trở thành:
3v + 2
√
uv = u
⇔ 2√uv = u− 3v
⇔ 4uv = (u− 3v)2 (u ≥ v, ∀u, v)
⇔ 4uv = u2 − 6uv + 9v2
⇔ u2 − 10uv + 9v2 = 0
⇔ (u− v)(u− 9v) = 0
⇔
ï
u = v
u = 9v
Bộ 21 Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
- Với u = v thì x2 + 5 = x− 1⇔ x2 − x+ 6 = 0 (phương trình vô nghiệm).
- Với u = 9v thì x2 + 5 = 9(x− 1)⇔ x2 − 9x+ 14 = 0⇔
ï
x = 2
x = 7
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 2; x = 7
b) Điều kiện xác định:
ß −2√3 ≤ x ≤ 2√3
2 ≤ y ≤ 12
Ta có:
ß
x
√
12− y +√y(12− x2) = 12 (1)
x3 = 8x+ 1 + 2
√
y − 2 (2) (x, y ∈ R).
(1) ⇔
»
y(12− x2) = 12− x√12− y
⇔ y(12− x2) = (12− x√12− y)2
⇔ 12y − x2y = 144− 24y√12− y + 12x2 − x2y
⇔ 12y − 144 + 24y√12− y − 12x2 = 0
⇔ −12(12− y) + 24x√12− y − 12x2 = 0
⇔ x2 − 2x√12− y + (12− y) = 0
⇔ (x−√12− y)2 = 0
⇔ x =√12− y
⇔ x2 = 12− y (3)
Thay (3) vào (2) ta được:
x3 − 8x− 1 = 2
√
10− x2 (4)
⇔ x3 − 8x− 3 = 2(
√
10− x2 − 1)
⇔ x2(x− 3) + 3x(x− 3) + (x− 3) = 2 9− x
2
√
10− x2 + 1
⇔ (x− 3)(x2 + 3x+ 1) = 2(3− x)(3 + x)√
10− x2 + 1
⇔ (x− 3)
Å
x2 + 3x+ 1 +
2(3 + x)√
10− x2 + 1
ã
= 0
TH1: x− 3 = 0⇔ x = 3.(thỏa mãn điều kiện).
TH2: x2 + 3x+ 1 +
2(3 + x)√
10− x2 + 1 = 0.
Ta đi chứng minh x > 0. Phản chứng giả sử x < 0. Từ (1) ta có:»
y(12− x2) = 12− x√12− y > 12.
Mà »
y(12− x2) <
»
12(12− 0) = 12
⇒ Vô lý. Như vậy x > 0. Với x > 0 thì phương trình (4) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 3).
Bộ 21 Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Câu 5 (1 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất củabiểu
thức
P =
1
a2 + 2b2 + 3
+
1
b2 + 2c2 + 3
+
1
c2 + 2a2 + 3
+
3
2
Ê Lời giải.
Ta có:
a2 + 2b2 + 3 = (a2 + b2) + (b2 + 1) + 2 ≥ 2ab+ 2b+ 2
⇒ 1
a2 + 2b2 + 3
≤ 1
2ab+ 2b+ 2
=
1
2(ab+ b+ 1)
Chứng minh tương tự ta được:
1
b2 + 2c2 + 3
≤ 1
2bc+ 2c+ 2
=
1
2(bc+ c+ 1)
1
c2 + 2a2 + 3
≤ 1
2ca+ 2a+ 2
=
1
2(ca+ a+ 1)
⇒ P ≤ 1
2
Å
1
ab+ b+ 1
+
1
bc+ c+ 1
+
1
ca+ a+ 1
ã
+
3
2
(*)
Bây giờ ta chứng minh:
1
ab+ b+ 1
+
1
bc+ c+ 1
+
1
ca+ a+ 1
= 1 (**)
Thật vậy, ta có:
1
ab+ b+ 1
+
1
bc+ c+ 1
+
1
ca+ a+ 1
=
abc
ab+ b+ abc
+
abc
bc+ abc2 + abc
+
1
ca+ a+ 1
=
ac
ca+ a+ 1
+
a
1 + ac+ a
+
1
ca+ a+ 1
=
ca+ a+ 1
ca+ a+ 1
= 1
Như vậy (**) đã được chứng minh. Từ (*) và (**) ta được: P ≤ 2.
Dấu ” = ” xảy ra khi: a = b = c = 1. Vậy giá trị lớn nhất của P là 2 xảy ra khi: a = b = c = 1. □
Bộ 21 Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH GIA LAI 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG 
NĂM HỌC 2024-2025 
Môn: TOÁN (không chuyên) 
Thời gian: 120