Bộ 22 Đề thi vào Lớp 10 trường chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi (Có đáp án)

PHẦN 1. MÔN TOÁN
(10 ĐỀ)ĐỀ SỐ 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
 QUẢNG NGÃI	 NĂM HỌC 2023-2024
ĐỀ CHÍNH THỨC
	 Ngày thi: 10/6/2023
	 Môn: TOÁN (Hệ chuyên)
 	 Thời gian làm bài: 150 phút 
Bài 1. (1,5 điểm)
 1. Rút gọn biểu thức , với . 
 2. Cho hai đường thẳng và . Tìm để và cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành.
Bài 2. (1,5 điểm)
 1. Cho số nguyên , biết chia cho dư và chia cho 7 dư 3. Tìm số dư khi chia
 cho 21.
 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn .
Bài 3. (2,5 điểm)
1. Giải phương trình .
2. Cho phương trình , với là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn giá trị của biểu thức là số nguyên.
 3. Cho số dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 4. (3,5 điểm)
 1. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn . Hai tia và cắt nhau tại sao cho , hai tia và cắt nhau tại sao cho . Tính số đo các góc trong của tứ giác .
 2. Cho đường tròn và là dây cung cố định khác đường kính của , là điểm di động trên cung lớn sao cho tam giác có ba góc nhọn. Gọi là đường tròn nội tiếp tam giác . Tia phân giác của góc cắt tại (khác ).
 a) Chứng minh tam giác cân. Từ đó suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 b) Gọi lần lượt là các tiếp điểm của với . Đường thẳng qua và song song với cắt các tia , lần lượt tại . Gọi là điểm đối xứng với qua . Chứng minh và là trực tâm tam giác .
 c) Tiếp tuyến tại và của đường tròn cắt nhau tại . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các đường thẳng và Chứng minh rằng đường thẳng luôn qua điểm cố định khi thay đổi. 
Bài 5. (1,0 điểm)
 Cho số nguyên . Xét một đa giác lồi cạnh . Người ta muốn kẻ một số đường chéo của đa giác sao cho các đường chéo này chia đa giác thành đúng lục giác lồi không có điểm trong chung.
 a) Với và , hãy chỉ ra một cách chia đa giác đó.
 b) Với và , ta có thể chia đa giác được không? Hãy giải thích.
	HẾT 
Ghi chú: Giám thị không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
 QUẢNG NGÃI	 NĂM HỌC 2023-2024
ĐỀ CHÍNH THỨC
	 Ngày thi: 10/6/2023
	 Môn: TOÁN (Hệ chuyên)
 	 Thời gian làm bài: 150 phút 
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1. (1,5 điểm)
 1. Rút gọn biểu thức , với . 
 2. Cho hai đường thẳng và . Tìm để 
 	và cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành.
Bài
Tóm tắt cách giải
Điểm
1.1
Ta có: 

0.25 
 
0.25
 
 * Vậy , với .
0.25

1.2
+) Điều kiện và cắt nhau: .
0.25
+) cắt tại tại .
0.25
+) qua 
Vậy là giá trị cần tìm.

0.25
 
Bài 2. (1,5 điểm)
 1. Cho số nguyên , biết chia cho 3 dư 2, chia cho 7 dư 3. Tìm số dư khi chia cho 21.
 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn .
Bài
Tóm tắt cách giải
Điểm
2.1
Vì chia cho 7 dư 3 nên .
Đặt 

0.25 
Khi đó 
Vì chia cho 3 dư 2 nên .
0.25
Lúc đó . Vậy chia cho 21 dư .
0.25
2.2
* Ta có .
0.25 
* không thỏa, suy ra 
Suy ra được là ước của .
0.25
+) Tìm được các nghiệm .
0.25
Bài 3. (2,5 điểm)
1. Giải phương trình .
2. Cho phương trình , với là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn giá trị của biểu thức là số nguyên.
3. Cho số dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài
Tóm tắt cách giải
Điểm
1
Điều kiện .
+) Pt tương đương .
0.25 
* Dễ thấy không là nghiệm phương trình.
 nên pt tương đương .
0.25
* Giải được 
0.25
2
* . phương trình có hai nghiệm phân biệt .
0.25 
* 
0.25
* Ta có là số nguyên nếu .
0.25
* Tìm được 
0.25
3.
Ta có: 

0.25

0.25
Dấu xảy ra 
Vậy , đạt được khi 
0.25
Bài 4. (3,5 điểm)
 1. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn . Biết hai tia và cắt nhau tại sao cho , hai tia và cắt nhau tại sao cho . Tính số đo các góc trong của tứ giác .
Bài
Tóm tắt cách giải
Điểm
4.1


0.25 
Ta có . 
0.25

0.25

0.25

 2. Cho đường tròn và là dây cung cố định khác đường kính của , là điểm di động trên cung lớn sao cho tam giác có ba góc nhọn. Gọi là đường tròn nội tiếp tam giác . Tia phân giác của góc cắt tại (khác ).
 a) Chứng minh tam giác cân. Từ đó suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 b) Gọi lần lượt là các tiếp điểm của với . Đường thẳng qua và song song với cắt các tia , lần lượt tại . Gọi là điểm đối xứng với qua . Chứng minh và là trực tâm tam giác .
 c) Tiếp tuyến tại và của đường tròn cắt nhau tại . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các đường thẳng và Chứng minh rằng đường thẳng luôn qua điểm cố định khi thay đổi. 
Bài
Tóm tắt cách giải
Điểm
4.2
a

0.25 
 
Ta có (tính chất góc ngoài của tam giác)
 (tính chất phân giác)
0.25
 
 Vậy tam giác cân tại . 
0.25
Vì là tia phân giác trong góc nên là điểm chính giữa của cung nhỏ hay . Vậy hay là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
0.25
4.2
b

Ta có (so le trong)
 (tính chất tiếp tuyến)
 (đối đỉnh)
Vì thế , nên tam giác cân tại hay . 
0.25
Chứng minh tương tự ta có .
Mà (tính chất tiếp tuyến). Do đó (đpcm).
0.25
* Tam giác có nên vuông tại . Suy ra 
Mà . Từ đó ta có thẳng hàng. (1)
0.25
Lại có nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra là trực tâm tam giác 
0.25
4.2
c

Gọi là trung điểm của . 
Rõ ràng các tứ giác nội tiếp.
Khi đó và .
0.25
Ta có 
Từ đó suy ra suy ra .
Chứng minh tương tự .
Vậy là hình bình hành nên qua trung điểm của đoạn . Mà cố định cố định.
0.25

Bài 5. (1,0 điểm)
 Cho số nguyên . Xét một đa giác lồi cạnh . Người ta muốn kẻ một số đường chéo của đa giác sao cho các đường chéo này chia đa giác thành đúng lục giác lồi không có điểm trong chung.
 a) Với và hãy chỉ ra một cách chia đa giác đó.
 b) Với và , ta có thể chia đa giác được không? Hãy giải thích.
Bài
Tóm tắt cách giải
Điểm
a
Ta chia được như sau: Kẻ các đường chéo .
0.25 
Khi đó đa giác này được chia thành miền lục giác.
0.25
b
Giả sử ta có thể chia đa giác lồi cạnh thành lục giác lồi không có điểm trong chung bởi các đường chéo của nó. Gọi là số giao điểm của các đường chéo nằm trong đa giác. Do mỗi đỉnh của lục giác lồi là đỉnh của đa giác đã cho hoặc là một trong giao điểm của các đường chéo đã nêu nên tổng số đo tất cả các góc ở đỉnh của các lục giác này là .

0.25
Tổng số đo các góc ở đỉnh của lục giác là .
Ta có phương trình (không thỏa).
 Vậy ta không thể thực hiện được với và .
0.25
Chú ý: Mọi lời giải đúng, khác với hướng dẫn chấm, đều cho điểm tối đa theo từng câu và từng phần tương ứng.
ĐỀ SỐ 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2022-2023
Ngày thi: 23/6/2022
Môn: TOÁN (Hệ chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức P=x-x+2x-x-2-xx-2x:x-1x-2 với x>0,x≠1,x≠4.
Tìm m để ba đường thẳng d1:y=2x+1,d2:y=-x+7 và d3:y=mx+m-4 đồng quy.
Bài 2: (1,5 điểm)
Chứng minh rằng n4+2n3-n2-2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 25n2+10n+48 là tích của hai số nguyên dương chẵn liên tiếp.
Bài 3: (2,5 điểm)
Giải hệ phương trình x2-2x-xy+2y=0x+y=xy-5.
Cho phương trình x2-2(m-1)x+m2-3=0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn x12-2mx1+m2x22-2mx2+m2=1.
Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn a+b+c+d=10 và a2+b2+c2+d2=28. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=ab+ac+ad.
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O, bán kính R và hai điểm B,C cố định trên (O),BC=R. Điểm A thay đồi trên cung lớn BC của (O) sao cho AB<AC. Đường thẳng qua B và vuông góc với AC tại K cắt đường tròn (O) tại P(P khác B). Kè PQ vuông góc với đường thẳng BC tại Q. Tia phân giác trong của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M.
a) Chứng minh ABK=KQP và MBMC=DBDC2.
b) Khi A đối xúng với C qua O, tính diện tích tứ giác AMDO theo R.
c) Tia AD cắt đường tròn (O) tại E (khác A ). Lấy điểm I trên đoạn thẳng AE sao cho EI=EB. Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại L (khác B ). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với LE cắt đường thẳmg LC tại F. Xác định vị trí điểm A để độ dài BF lớn nhất.
Bài 5: (1,0 điểm) Một số nguyên dương được gọi là "số đặc biệt" nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) Các chữ số của nó đều khác 0 .
ii) Số đó chia hết cho 12 và nếu đổi chỗ các chữ số của nó một cách tùy ý, ta vẫn thu được một số chia hết cho 12 .
a) Chứng minh rằng một "số đặc biệt" chỉ có thể chứa các chữ số 4 và 8 .
b) Có tất cả bao nhiêu "số đặc biệ̣t" có 5 chữ số? 
LỜI GIẢI
Bài 1 
Rút gọn biểu thức P=x-x+2x-x-2-xx-2x:x-1x-2.
Tìm m để ba đường thẳng d1:y=2x+1,d2:y=-x+7 và d3:y=mx+m-4 đồng quy.
Lời giải.
Điều kiện xác định: x>0;x≠1;x≠4.
Ta có P=(x-x+2)(x-2x)-(x-x-2)x(x-x-2)(x-2x)⋅x-2x-1
=-2x(x-2)(x-1)x(x-1)(x-2)2⋅x-2x-1=21-x
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d1 và d2 ta có:
2x+1=-x+7 ⇔3x=6 ⇔x=2 ⇒y=5
Để d1,d2 và d3 đồng quy thì d3:y=mx+m-4 phải đi qua điểm (2;5), khi đó:
5=2m+m-4⇔m=3
Vậy m=3 thì d1,d2 và d3 đồng quy.
Bài 2 
Chứng minh rằng n4+2n3-n2-2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 25n2+10n+48 là tích của hai số nguyên dương chẵn liên tiếp.
Lời giải.
Ta có: n4+2n3-n2-2n=n3-n(n+2)=(n-1)n(n+1)(n+2).
Ta thấy (n-1)n(n+1)(n+2) là tích bốn số nguyên liên tiếp nên sẽ chứa một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4 , từ đó suy ra tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 8 .
Đồng thời, trong bốn số nguyên liên tiếp luôn chứa tích của ba số nguyên liên tiếp, đồng nghĩa với việc tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 .
Mà (3,8)=1, hay 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Vì vậy, tích bốn số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho 3.8 hay 24 (đpcm).
Vậy n4+2n3-n2-2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
Gọi hai số chẵn liên tiếp lần lượt là 2k và 2k+2 với k∈Z+.
Theo đề bài, ta có phương trình sau
25n2+10n+48=2k(2k+2)⇔5n(5n+2)+48=4k(k+1)#(1)
Vì k(k+1) là tích hai số nguyên liên tiếp nên 2∣k(k+1) hay 8∣4k(k+1).
Suy ra 8∣5n(5n+2)+48 mà 8∣48 nên ta có 8∣5n(5n+2), mà 5n và 5n+2 cách nhau hai đơn vị nên cùng chẵn hoặc cùng lẻ, nên để chia hết cho 8 thì chỉ có thể là cùng chẵn.
Do đó 5n chẵn hay n chẵn.
Đặt n=2mm∈Z+. Từ đó ta có (1) tương đương với
10m(10m+2)+48=4k(k+1) ⇔5m(5m+1)+12=k(k+1) ⇔25m2+5m+12=k2+k ⇔(5m-k)(5m+k)+(5m-k)+12=0 ⇔(5m-k)(5m+k+1)=-12
Vì 5m-k<5m+k+1 nên ta có các trường hợp sau
1) 5m-k=