Bộ 24 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại Số Toán 9 ôn thi vào Lớp 10

Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
Chuyên đề 1. CĂN BẬC HAI, CĂN THỨC BẬC HAI
A. Kiến thức cần nhớ
1. Căn bậc hai số học
Căn bậc hai số học của số thực a không âm là số không âm x mà .
Với 
Phép toán tìm căn bậc hai số học của một số gọi là phép khai phương.
Với hai số a, b không âm, thì ta có: .
2. Căn thức bậc hai
Cho A là một biểu thức đại số, người ta gọi là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
 xác định (hay có nghĩa) khi .
Hằng đẳng thức .
3. Chú ý
Với thì: 
.
.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: So sánh các cặp số sau mà không dùng máy tính.
a) và 3;	b) và ;
c) và ;	d) và 2.
Giải
Tìm cách giải. Khi so sánh hai số và không dùng số máy tính, ta có thể:
So sánh a và b
So sánh và 
Sử dụng kĩ thuật làm trội.
Trình bày lời giải
a) Ta có nên .
b) Xét 
vì nên 
c) ,
 suy ra .
d) Ta có .
Ví dụ 2: Tìm điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa:
a) ;
b) ;
c) .
Giải
Tìm cách giải. Để tìm điều kiện biểu thức có ý nghĩa, bạn lưu ý:
 có nghĩa khi 
 có nghĩa khi 
Trình bày lời giải
a) có nghĩa khi .
b) có nghĩa khi và .
c) có nghĩa khi và .
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau:
a) ;
b) với 
Giải
Tìm cách giải. Để rút gọn biểu thức chứa dấu căn, bạn nhớ rằng:
 và lưu ý: 
Trình bày lời giải
a) Ta có 
	.
b) với 
	.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a) ;
b) ;
c) .
Giải
a) Ta có: .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 8 khi .
b) Ta có: 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là khi .
c) Ta có: 
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2015.
Khi .
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) ;
b) .
Giải
Tìm cách giải. Thoáng nhìn biểu thức ta có thể bỏ căn và đưa về biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng:
 và 
. Dấu bằng xảy ra khi .
Trình bày lời giải
a) Ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi hay .
b) Ta có:
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 1943 khi và tức là .
Ví dụ 6: Cho là các số hữu tỉ thỏa mãn . Chứng minh rằng biểu thức là một số hữu tỉ.
Giải
Ta có: 
Tương tự, ta có: 
Từ (1) ,(2), (3) suy ra 
.
Vì a, b là các số hữu tỉ nên cũng là số hữu tỉ. Vậy A là một số hữu tỉ.
Lưu ý: Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa của các số hữu tỉ có kết quả cũng là một số hữu tỉ.
Ví dụ 7: Cho là các số thực thỏa mãn 
Chứng minh rằng: 
Giải
Tìm cách giải. Quan sát phần kết luận cũng như giả thiết. Định hướng chung khi nghĩ tới là chúng ta biến đổi phần trong căn thức ở phần kết luận thành dạng bình phương. Với suy nghĩ ấy, cũng như khai thác phần giả thiết. Chúng ta có hai hướng suy luận:
Hướng thứ nhất. Dùng thừa số 2 trong mỗi căn để cân bằng bậc.
Hướng thứ hai. Từ giả thiết suy ra: , dùng phương pháp thế, để mỗi căn thức chỉ còn một biến.
Trình bày lời giải
Cách 1. Thay vào (1) ta có:
Vế trái: 
	.
Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2. Từ giả thiết suy ra: thay vào (1) ta được:
 (do )
. Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 8: Tính tổng: 
(Thi Olympic Toán học, Hy Lạp – năm 2007)
Giải
Ta có 
 với .
Suy ra 
Thay n lần lượt từ 1 đến 1003 vào đẳng thức (*) ta được:
.
C. Bài tập vận dụng
1.1. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
a) ;	b) ;
c) ;	d) ;
e) .
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Điều kiện để A có nghĩa là .
b) Điều kiện để biểu thức B có nghĩa là
 và cùng dấu
Trường hợp 1. 
Trường hợp 2. 
Vậy điều kiện để biểu thức B có nghĩa là .
c) Điều kiện để biểu thức C có nghĩa là:
Vậy điều kiện để biểu thức C có nghĩa là: .
d) Điều kiện để biểu thức D có nghĩa là:
Vậy với thì biểu thức D có nghĩa.
e) Điều kiện để biểu thức E có nghĩa là: 
vậy không tồn tại x để biểu thức E có nghĩa.
1.2. a) Cho khác 0 thỏa mãn .
Chứng minh rằng: .
b) Tính giá trị biểu thức:
.
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Xét: .
Mà 
.
b) Áp dụng câu a, ta có: 
nên: 
Suy ra: .
Thay k lần lượt 2,3,, 199, ta được:
.
1.3. Tìm số nguyên dương k thỏa mãn
(thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2007 – 2008)
Hướng dẫn giải – đáp số
Áp dụng công thức ta có:
.
1.4. Tìm các số thỏa mãn đẳng thức:
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: 
Mà ;
Nên đẳng thức (*) chỉ xảy ra khi .
1.5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi: .
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi .
1.6. Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện: và .
Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải – đáp số
Từ 
Mà .
Ta có: 
Tương tự, ta có: 
Từ (1), (2) và (3) thay vào vế trái của (*), ta có:
.
1.7. Cho .
Tính giá trị biểu thức: .
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: 
Vậy .
1.8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) ;
b) ;
c) .
Hướng dẫn giải – đáp số
a) 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi và hay .
b) Giá trị nhỏ nhất của B là 2 khi và .
c) Giá trị nhỏ nhất của C là 4 khi .
1.9. Giải phương trình: .
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: 
.
1.10. Giải phương trình:
a) ;
b) .
Hướng dẫn giải – đáp số
a) 
Trường hợp 1: Xét phương trình có dạng:
	.
Trường hợp 2: Xét phương trình có nghiệm: vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
b) 
Ta có: 
Vậy vế trái .
Do vậy vế trái bằng vế phải khi:
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là: .
1.11. Tìm giá trị nhỏ nhất của: .
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: 
.
Đẳng thức xảy ra khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi .
1.12. Rút gọn biểu thức:
a) ;
b) với ;
c) .
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có 
	.
b) với ;
.
c) 
.
1.13. Cho x và y là hai số thực thỏa mãn:
.
Tính giá trị của y.
Hướng dẫn giải – đáp số
Điều kiện để y có nghĩa là 
và 
Từ (1) và (2) suy ra: hay 
Suy ra .
1.14. Tính biết và 
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: Với 
Do đó 
Từ đó 
Mà nên .
1.15. Cho , gồm 100 dấu căn. 
Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên.
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: .
Mặt khác 
.
Do đó . Chứng tỏ rằng A không phải số tự nhiên.
Nhận xét: Nếu A nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp thì A không phải số tự nhiên.
1.16. Cho ba số hữu tỉ thỏa mãn 
Chứng minh rằng là số hữu tỉ.
Hướng dẫn giải – đáp số
Từ giả thiết ta có 
Suy ra 
 là số hữu tỉ.
1.17. Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện: .
Chứng minh rằng: .
(thi học sinh giỏi toán lớp 9, TP, Hồ Chí Minh, năm học 2014 – 2015)
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có 
Do đó: 
Tương tự, ta có: 
Suy ra: 
	.
1.18. Cho thỏa mãn và .
Tính giá trị của biểu thức .
(Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên, Đại học sư phạm Hà Nội, năm học 2015 – 2016)
Hướng dẫn giải – đáp số
Từ giả thiết, suy ra: 
Vậy 
Từ giả thiết, ta lại có: 
Tương tự ta có: . Suy ra , ta có .
Chuyên đề 2. LIÊN HỆ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. Kiến thức cần nhớ
1. Với thì: và ngược lại 
Đặc biệt, khi , ta có: .
2. Với thì và ngược lại 
3. Bổ sung
Với thì: 
Với thì: (dấu “=” xảy ra hoặc ).
Với thì: (dấu “=” xảy ra hoặc ).
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính
a) ;
b) .
Giải
a) .
b) 
	.
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau: .
Giải
Tìm cách giải. Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức trong căn có dạng và nên ta dùng tính chất giao hoán và thực hiện phép tính.
Trình bày lời giải
.
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: .
Giải
Tìm cách giải. Để rút gọn biểu thức có dạng ta chú ý tới hằng đẳng thức 
Ta cần biến đổi: , do vậy ta xác định x và y thông qua . Chẳng hạn: .
Trình bày lời giải
.
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: 
Giải
Tìm cách giải. Đề bài chưa xuất hiện dạng .
Ta cần biến đổi bài toán về dạng và giải theo cách trên.
Trình bày lời giải
Ta có: 
.
Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: 
Giải
Tìm cách giải. Với những bài toán có nhiều căn “chồng chất”, ta có thể giảm bớt số căn, bằng cách đưa các căn ở phía trong về dạng sau đó dùng hằng đẳng thức và giải như các ví dụ trên.
Trình bày lời giải
Ta có 
	.
Suy ra .
Ví dụ 6: Rút gọn: 
Giải
Tìm cách giải. 
Ví dụ này không thể biến đổi để đưa về dạng .
Do vậy để rút gọn biểu thức dạng ta thường tính sau đó nhận xét dấu của C, từ đó tìm được C.
Trình bày lời giải
Xét 
. Vì nên .
Ví dụ 7: Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng: .
Giải
Tìm cách giải. Nhận xét giả thiết x, y có vai trò như nhau. Phân tích từ kết luận để có , chúng ta cần phân tích giả thiết xuất hiện nhân tử .
Dễ thấy có chứa nhân tử , do vậy phần còn lại để xuất hiện nhân tử chúng ta vận dụng từ đó suy ra: . Lưu ý rằng mẫu số khác 0. Từ đó chúng ra có lời giải sau:
Trình bày lời giải
Từ đề bài ta có điều kiện: .
- Trường hợp 1: Xét .
- Trường hợp 2: Xét ít nhất x hoặc y khác 1. Ta có:
Vì .
Ví dụ 8: Cho . Tính giá trị biểu thức 
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2011 – 2012)
Giải
Tìm cách giải. Để thay giá trị trực tiếp vào biểu thức thì khai triển dài dòng, dễ dẫn đến sai lầm. Do vậy chúng ta nên tính từ từ, bằng cách tính và bằng hằng đẳng thức. Bài toán sẽ đơn giản và không dễ mắc sai lầm.
Trình bày lời giải
Xét 
Vậy .
Ví dụ 9: Tính giá trị với .
Giải
Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của a và b vào biểu thức và biến đổi thì bài toán sẽ phức tạp, có thể dẫn đến sai lầm. Bài toán có dạng đối xứng cơ bản, ta có thể tính tổng và tích của a và b, sau đó dùng các hằng đẳng thức để tính dần dần.
Trình bày lời giải
Từ đề bài suy ra: 
Ta có: ;
Xét 
Từ đó tính được: 
Xét 
Suy ra: 
.
Ví dụ 10: Cho . Chứng minh đẳng thức:
Giải
Đặt vế phải là: 
Ta có 
Xét 
Vì nên .
Vế phải bằng vế trái. Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 11: Cho các số thực thỏa mãn: 
Chứng minh rằng: 
Giải
Đặt từ giả thiết ta có: 
Nhân hai vế với ta được
Nhân hai vế của đẳng thức (*) với ta được
Từ (1) và (2) cộng vế với vế, rút gọn ta được:
Xét 
Vậy . Điều phải chứng minh.
C. Bài tập vận dụng
2.1. Tính: 
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: .
2.2. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.
a) ;
b) .
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có 
	.
Vậy A là số tự nhiên.
b) Ta có 
.
Vậy B là số tự nhiên.
2.3. Rút gọn biểu thức:
a) ;
b) .
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có: 
	.
b) Ta có .
2.4. Rút gọn các biểu thức:
a) ;
b) .
Hướng dẫn giải – đáp số
a) 
.
b) 
	.
2.5. Cho . Tính giá trị .
(Thi