Bộ 24 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9

CHUYÊN ĐỀ I. BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Căn thức bậc hai 
-Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho 2x a= . 
-Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là a là một số thực không âm x mà bình 
phương của nó bằng :a 
-Với hai số thực không âm ,a b ta có: .a b a b 
-Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý: 
+ 
2 AA A
A
= = 
− 
 nếu 
0
0
A
A
+ 2A B A B A B= = với 2, 0;A B A B A B A B = = − với 0; 0A B 
+ 
2
. .A A B A B
B B B
= = với 0, 0AB B 
+ 
.M M A
AA
= với 0;A (Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu) 
+ 
( )M A BM
A BA B
=
− 
 với , 0,A B A B (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu) 
2. Căn thức bậc ba, bậc n 
a. Căn thức bậc 3 
Căn bậc 3 của một số akí hiệu là 3 a là số x sao cho 3x a= 
-Cho ( )
3
33 3;a R a x x a a = = = 
-Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3. 
-Nếu 0a thì 3 0.a 
-Nếu 0a thì 3 0.a 
-Nếu a 0= thì 3 0.a = 
-
3
3
3
a a
b b
= với mọi 0.b 
- 3 3 3.ab a b= với mọi , .a b 
- 3 3 .a b a b 
2
0 0a x
x aa x
== 
PHẦN I: ĐẠI SỐ
-
3 33 .A B A B= 
-
3 2
3
A AB
B B
= với 0B 
-
3
3
3
A A
B B
= 
-
3 32 23
3 3
1 A AB B
A BA B
+
=
 với .A B 
b. Căn thức bậc n 
Cho số , , 2.a n n Căn bậc n của một số a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng .a 
-Trường hợp n là số lẻ: 2 1,n k k N= + 
Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất: 
2 12 1 .kk a x x a++ = = nếu 0,a thì 2 1 0,k a+ nếu 0a thì 2 1 0,k a+ nếu 0a= thì 2 1 0k a+ = 
-Trường hợp n là số chẵn: 2 , .n k k N= 
Mọi số thực 0a đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là 2k a (gọi là căn bậc 2k 
số học của ).a Căn bậc chẵn âm kí hiệu là 2 2, 0k ka a x x− = và 2 ;kx a= 
2 0k a x x− = và 2 .kx a= 
B. PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA 
Dạng 1. Thu gọn các biểu thức đại số và tính giá trị các biểu thức 
Phương pháp giải: 
Biến đổi các biểu thức trong dấu về dạng 2A A= sau đó dựa vào dấu của A để mở dấu giá trị tuyệt 
đối nếu có. 
Ngoài ra cần nắm được các đẳng thức cơ bản quen thuộc: 
• ( )( )2 2 ;ab bc ca m a m a ab bc ca a b a c+ + = + = + + + = + + 
• ( ) ( )( );a b c n na bc a b c a bc a b a c+ + = + = + + + = + + 
• Với 1abc= thì 
1 1 1
1;
1 1a ab b bc ca c a
+ + =
+ + + + + +
• Nếu 0a b c+ + = thì 
2
3 3 3
2 2 2
1 1 1 1 1 1
3 ,a b c abc
a b ca b c
+ + = + + = + + 
 với 0.abc 
Ví dụ 1. 
Rút gọn các biểu thức: 
a. 
1
4
A x x x= − − + khi 0.x 
b. 4 2 4 1 4 2 4 1B x x x x= − − + + − khi 
1
.
4
x 
c. 9 5 3 5 8 10 7 4 3C = − + + − 
Lời giải: 
a. 
2
1 1 1
4 2 2
A x x x x x x x
= − − + = − − = − − 
+ Nếu 
1 1
2 4
x x thì 
1 1 1
.
2 2 2
x x A− = − = 
+ Nếu 
1 1
0
2 4
x x thì 
1 1 1
2 .
2 2 2
x x A x− = − + = − 
b. 4 2 4 1 4 2 4 1 4 1 2 4 1 1 4 1 2 4 1 1B x x x x B x x x x= − − + + − = = − − − + + − + − + 
Hay ( ) ( )
2 2
4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1B x x x x x x= − − + − + = − − + − + = − − + − + 
+ Nếu 
1
4 1 1 0 4 1 1
2
x x x− − − thì 4 1 1 4 1 1x x− − = − − suy ra 2 4 1.B x= − 
+ Nếu 
1 1
4 1 1 0 4 1 1
4 2
x x x− − − thì 4 1 1 4 1 1x x− − = − − + suy ra 2.B= 
c. Để ý rằng: ( )
2
7 4 3 2 3 7 4 3 2 3− = − − = − 
Suy ra 9 5 3 5 8 10(2 3) 9 5 3 5 28 10 3C = − + + − = − + − 
( )
2
9 5 3 5 5 3 .= − + − Hay 9 5 3 5(5 3) 9 25 9 5 4 2.C = − + − = − = − = = 
Ví dụ 2. 
Chứng minh: 
a. Tính 8 4 3 8 4 3A= − − + 
b. 3 3
84 84
1 1
9 9
B = + + − là một số nguyên 
(Trích đề Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006). 
c. Chứng minh rằng: 3 3
1 8 1 1 8 1
3 3 3 3
a a a a
x a a
+ − + −
= + + − với 
1
8
a là số tự nhiên. 
d. Tính x y+ biết ( )( )2 22019 2019 2019.x x y y+ + + + = 
e. Cho các số thực ,x y thỏa mãn: ( )( )2 21 1 1.x y y x+ + + + = Tính giá trị của .x y+ 
Lời giải: 
a. Dễ thấy 0,A 
Cách 1: Ta có 
2
2 8 4 3 8 4 3 8 4 3 8 4 3 2 8 4 3. 8 4 3 16 2.4 8A = − − + = − + + − − + = − = 
Suy ra 8 2 2.A= − = − 
Cách 2: Ta viết lại 
( ) ( )
2 2
6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 2 2.A= − − + = − − + = − − − = − 
b. Áp dụng hằng đẳng thức: ( )
3 3 3 3 ( ).u v u v uv u v+ = + + + Ta có: 
3
3 3 3
84 84
1 1
9 9
B
 = + + −
3 3 3 3
84 84 84 84 84 84
1 1 3 1 . 1 1 . 1
9 9 9 9 9 9
 = + + − + + − + −
Hay 3 3 3 333
84 84 84
2 3 1 1 ..B B 2 3 1 2 2 0
9 9 81
B B B B B B
= + + − = + − = − + − = 
( )( )21 2 0B B B − + + = mà 
2
2 1 72 0
2 4
B B B
+ + = + + 
 suy ra 1.B= Vậy B là số nguyên. 
c. Áp dụng hằng đẳng thức: ( ) ( )
3 3 3 3u v u v uv u v+ = + + + 
Ta có ( ) ( ) ( )( )3 3 22 1 2 2 1 2 0 1 2 0x a a x x a x a x x x a= + − + − − = − + + = (1) 
Xét đa thức bậc hai 
2 2x x a+ + với 1 8 0a = − 
+ Khi 
1
8
a = ta có 3 3
1 1
1.
8 8
x = + = 
+ Khi 
1
,
8
a ta có 1 8a = − âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất 1.x = Vậy với mọi 
1
8
a 
Ta có: 3 3
1 8 1 1 8 1
1
3 3 3 3
a a a a
x a a
+ − + −
= + + − = là số tự nhiên. 
d. Nhận xét: ( )( )2 2 2 22019 2019 2019 2019.x x x x x x+ + + − = + − = 
Kết hợp với giả thiết ta suy ra 
2 22019 2019x x y y+ − = + + 
2 2 2 22019 2019 2019 2019 0.y y x x x x y y x y + + + + + = + − + + − + = 
Tổng quát ta có: ( )( )2 2x a x y a y a+ + + + = thì 0.x y+ = 
e. Nhân 2 vế đẳng thức với: ( )( )2 21 1x y y x− + − − ta có: 
( )( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 .
1 1 1 1 1 1 .
1 1 2 2 1 1 1 1 .
1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 .
x y x y y x y x x y y x
x y y x xy x x y y x y
x y y x xy x y x y y x
x y xy x y xy x y x y
+ + − + − − + + = − + − −
− − − − = − + − + + + +
− − − − = + + + − + + + +
 − − = + + + − − = − + + +
Hay ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 22 22 1 2 1 1 1 1xy x y xy x y xy xy x y xy− = − + − + + − − + + − 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( )
2
0x y x y+ = = − hay 0.x y+ = 
Ví dụ 3. 
a. Cho 4 10 2 5 4 10 2 5.x = + + + − + Tính giá trị biểu thức: 
4 3 2
2
4 6 12
.
2 12
x x x x
P
x x
− + + +
=
− +
b. Cho 31 2.x = + Tính giá trị của biểu thức 
4 4 3 22 3 1942.B x x x x= − + − + 
 (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015 – 2016). 
c. Cho 3 31 2 4.x = + + Tính giá trị biểu thức: 
5 4 3 24 2 2015.P x x x x x= − + − − + 
Lời giải: 
a. Ta có: 
2
2 4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 4 10 2 5. 4 10 2 5x
= + + + − + = + + + − + 
( ) ( )
2 2
2 8 2 6 2 5 8 2 5 1 6 2 5 5 1x = + − = + − = + = + 
5 1.x = + Từ đó suy ra ( )
2 21 5 4 4.x x x− = − = 
Ta biến đổi: 
( ) ( )
2
2 2
2
2
2 2 2 12 4 3.4 12
1.
4 122 12
x x x x
P
x x
− − − + − +
= = =
+− +
b. Ta có ( )
3 3 231 2 1 2 3 3 3 0.x x x x x= + − = − + − − Ta biến đổi biểu thức P thành: 
2 3 2 3 2 3 2( 3 3 3) ( 3 3 3) ( 3 3 3) 1945 1945P x x x x x x x x x x x= − + − + − + − + − + − + = 
c. Để ý rằng: 
3 2 32 2 1x = + + ta nhân thêm 2 vế với 3 2 1− để tận dụng hằng đẳng thức: 
3 3 2 2( )( ).a b a b a ab b− = − + + Khi đó ta có: ( ) ( )( )3 23 3 32 1 2 1 2 2 1x− = − + + 
( ) ( )3 3 23 32 1 1 2 1 1 3 3 1 0.x x x x x x x − = = + + − − − = 
Ta biến đổi: ( )( )3 4 3 2 2 3 24 2 2015 1 3 3 1 2016 2016.P x x x x x x x x x x= − + − − + = − + − − − + = 
Ví dụ 4. 
a. Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 2
3
1 1 1 .
2
a b b c c a− + − + − = Chứng minh rằng: 
2 2 2 3.
2
a b c+ + = 
b. Tìm các số thực , ,x y z thỏa mãn điều kiện: 
2 2 21 2 3 3.x y y z z x− + − + − = 
c. Tìm các số thực ,x y thỏa mãn điều kiện: ( )2 4 4 .x y y x xy− + − = 
d. Giả sử ( );x y là các số thực thỏa mãn ( )( )2 23 3 9.x x y y+ + + + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2.P x xy y= + + 
e. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: 4 24 41 1 1 .P x x x= + + − + − 
Lời giải: 
a. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 1 1 31 1 1 .
2 2 2 2
a b b c c a
a b b c c a
+ − + − + −
− + − + − + + = 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 22
1 1
3
1 1
2
11
a b a b
b c b c a b c
c ac a
 = − = − 
= − = − + + = 
 = −= − 
(đpcm). 
b. Ta viết lại giải thiết thành: 
2 2 22 1 2 2 2 3 6.x y y z z x− + − + − = 
Áp dụng bất đẳng thức: 
2 22ab a b + ta có: 
2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 2 2 3 1 2 3 6.x y y z z x x y y z z x− + − + − + − + + − + + − = Suy ra .VT VP 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
, , 0 3; , , 01
1 1
1; 0; 2.
2 2
3
3 3
x y z x y z x y zx y
x y x y
y y z x y z
y z y z
z x
z x z x
 + + = = − 
+ = + = 
= − = = = 
+ = + = 
= − + = + = 
c. 4, 4a x b y− = − với , 0a b thì phương trình đã cho trở thành: 
( ) ( ) ( )( )2 2 2 22 4 2 4 4 4 .a b b a a b+ + + = + + Chi 2 vế cho ( )( )2 24 4a b+ + thì phương trình trở thành 
2 2
2 2
1.
4 4
b a
b a
+ =
+ +
 Để ý rằng 0a= hoặc 0b= không thỏa mãn phương trình. 
Xét , 0.a b Theo bất đẳng thức AM GM− ta có: 2 2 24 2 4 4 . 4 4 .b b ba a+ = + Suy ra 
2 2
1,
4 4
a b
VT
a b
 + = dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
2
2
4
2 8.
4
a
a b x y
b
 = 
 = = = = 
= 
 Vậy 8, 8x y= = là 
nghiệm của phương trình. 
d. Đặt 
2
2 2 2 2 2 33 0 3 2 3 .
2
a
a x x a x x a ax x x x
a
−
= + + − = + − + = + = 
Tương tự đặt 
2
2 33 0 .
2
b
b y y x
b
−
= + + = Khi đó 
3 3
.
2 2 2 2
a b
x y
a b
+ = + − − 
Theo giả thiết ta có: 
9 3 3 3
9 2. . 2.
2 2 2 6 3 3
a a a a
ab x y
a a a a
= + = + − − = + = Lại có 
( ) ( ) ( )
2 2 22 2 2 23 1 3 3.
4 4 4
x xy y x y x y x y x xy y+ + = + + − + + + Dấu đẳng thức xảy ra 
1.x y = = Vậy ( )2 2
min
3.x xy y+ + = 
e. Đặt 4 44 41 , 1 , 0, 2.a x b x a b a b= + = − + = Ta có: 
.P a b ab= + + Áp dụng bất đẳng thức ở (**) ta có 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
42
2 2 44 4 2 2 4 412 8 16 2.
2 4
a b
a b a b a b a b a b a b
+ 
+ + + = + + = + 
Suy ra 
( )
2
3.
4
a b
P a b
+
 + + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 0.a b x= = = 
Ta cũng có: ( )
2
4 4 4 2 2 4 2 2 2 22 2,a b a a b b a b a b+ + + + + mà 
( )
22 2 2 22a b a ab b a b+ + + = + với mọi , 0.a b Suy ra 2 2 4 2.a b a b+ + Vậy 
4 2.P a b ab a b= + + + dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi