Bộ 28 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Ninh Bình (Có đáp án)

ĐỀ SỐ 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYẾN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2024-2025
Bài thi môn: TOÁN - Ngày thi: 02/6/2024
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (2,0 điểm).
Rút gọn biểu thức A=5-20+125.
Hàm số y=5x+8 đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?
Giải hệ phương trình 2x-y=7x+2y=1.
Câu 2 (2,5 điểm).
Cho biểu thức P=1x-3+29-x:x+1x+3 với x≥0;x≠9.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm điều kiện của x để P<0.
Cho phương trình x2-2(m-1)x-m2-3=0 (1) trong đó m là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi m=3.
(b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1,x2,x2 ) thoả mãn x2-x1=2024.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Thôn Đoài và thôn Đông cùng tham gia lao động xây dựng nông thôn mới. Trong đợt thứ nhất, cả hai thôn huy động được tổng số 90 ngày công. Trong đợt thứ hai, thôn Đoài huy động vượt mức 20%, thôn Đông huy động vượt mức 12% so với số ngày công huy động được trong đợt thứ nhất của mỗi thôn, do đó cả hai thôn huy động dược tổng số 104 ngày công. Tính số ngày công mà mỗi thôn huy động được trong đợt thứ nhất? 
Câu 4 ( 3,5 điểm).
Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O, có độ dài cạnh AB nhỏ hơn độ dài cạnh AC. Vẽ đường kính AD của đường tròn (O). Kẻ BE vuông góc với AD(E thuộc AD ) và AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ).
a) Chứng minh rằng tứ giác ABHE nội tiếp.
(b) Chứng minh rằng đường thẳng HE vuông góc với đường thẳng AC.
Cho một chiếc bình hình trụ có bán kính đáy R1=5 cm, chiều cao h=30 cm và một quả cầu đặc bằng sắt có bán kính R2=3 cm. Người ta đặt quá cẩu vào trong chiếc bình sau đó đổ đầy nước vào hình. Tính thế tích của nước trong bình (bỏ qua độ dày của thành và đáy bình, lấy π≈3,14.
Câu 5 ( 1,0 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn (x-y)(x+1)=y-1.
Cho các số thực dương x,y,z thoả măn xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q=1x+1y+1z1x2+1y2+1z2+4x+y+z
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1
A=5-20+125=5-4.5+25.5=5-25+55=45
Hàm số y=5x+8 có hẹ̉ só́ a=5>0 nên hàm số đồng biĉ́n trên R
2x-y=7x+2y=1⇔y=2x-7x+2(2x-7)=1⇔y=2x-75x=15⇔x=3y=-1
Vây hệ phương trình có nghiệm (x,y)=(3,-1)
Câu 2
1. a) Với x≥0;x≠9 ta có:
P=1x-3+29-x:x+1x+3
=1x-3-2(x-3)(x+3)⋅x+3x+1
=x+3-2(x-3)(x+3)⋅x+3x+1
=x+1(x-3)(x+3)⋅x+3x+1
=1x-3
Vậy P=1x-3.
b) P<0 khi và chỉ khi 1x-3<0⇔x-3<0⇔x<3⇔x<9
Kết hợp với điều kiện x≥0.x=9 ta được 0≤x<9.
Vậy với 0≤x<9 thì P<0.
2.
a) Thay m=3 vào phương trình (1) ta được:
x2-4x-12=0⇔(x+2)(x-6)=0⇔x+2=0x-6=0⇔x=-2x=6
Vây với m=3 thì phương trình (1) có tập nghiệm là: S={-2;6}.
b) Do ac=-m2-3<0 ∀m nên phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu x1,x2x1<x2
Do x10⇒x1=-x1x2=x2
Khi đó x2-x1=2024⇔x2+x1=2024⇔2(m-1)=2024⇔m=1013
Vậy m=1013
Câu 3
Gọi số ngày công mà thôn Đoài huy động được trong đợt thứ nhất là x (ngày công), số ngày công mà thôn Đông huy động được trong đợt thứ nhất là y (ngày công) x,y∈N*,x,y<90
Trong đợt thứ nhất, cả hai thôn huy động được tổng số 90 ngày công nên ta có phương trình:
x+y=90
Trong đợt thứ hai:
Thôn Đoài huy động vượt mức 20% so với số ngày công huy động được trong đợt một nên số ngày công thôn Đoài huy động được là (100%+20%)x=120%x=1,2x
Thôn Đông huy động vượt mức 12% so với số ngày công huy động được trong đợt một nên số ngày công thôn Đông huy động được là (100%+12%)y=112%y=1,12y
Trong đơt thứ hai, cả hai thôn huy động được tổng số 104 ngày công nên ta có phương trình:
1,2x+1,12y=104
Ta có hệ hai phương trình sau: x+y=901,2x+1,12y=104
⇔x=90-y1.2(90-y)+1,12y=104⇔x=90-y108-1,2y+1,12y=104⇔x=90-y-0,08y=-4⇔x=90-yy=50⇔x=40y=50(TM)
Vây số ngày công mà thôn Đoài và thôn Đông huy động được trong đột thứ nhất lần lượt là 40 ngày công và 50 ngày công.
Câu 4
1.
a) Ta có: AH⊥BC(gt)⇒AHB=90∘
AD⊥BE(gt)⇒AEB=90∘
⇒∠AHB=∠AEB=90∘
Mà hai góc này kề nhau, cùng nhìn AB dưới góc 90∘
⇒ A, H, E, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB
Hay tứ giác ABHE nội tiếp.
b) Do tứ giác ABHE nội tiếp nên ∠HED=∠ABH (cùng phụ với ∠HEA )
Mà ∠ABH=∠CDA (góc nội tiếp cùng chắn cung AC )
⇒∠HED=∠CDA
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên HE∥DC
Ta có ∠ACD=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒DC⊥AC. Mà HE∥DC⇒HE⊥AC (từ vuông góc tới song song).
2.
Thể tích của hình trụ là V1=πR12.h=π.52.30=750πcm3
Thể tích của quả cầu sắt là V2=πR2 2=π.32=9πcm3
Tính thể tích của nước trong bình là V=V1-V2=750π-9π=741πcm3≈2326,74 cm3
Vây thể tích của nước trong bình khoảng 2326,74 cm3
Câu 5
Cách giải:
(x-y)(x+1)=y-1
⇔x2+x-xy-y=y-1
⇔x2+x-xy-2y+1=0
⇔x2+x-y(x+2)+1=0
x=-2⇒*⇔4-2-0+1=0 (vô lý)
x≠-2⇒(*)⇔y=x2+x+1x+2=x-1+3x+2
Do (x,y) nguyên dương nên x-1+3x+2∈R⇒x+2∈U(3)
Do x nguyên dương nên x+2>2⇒x+2=3⇒x=1
Vời x=1⇒y=1
Vây (x,y)=(1,1) là cặp nguyên dương (x,y) thỏa mãn (x-y)(x+1)=y-1.
Cho các số thực dươg x,y,z thỏa mãn xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q=1x+1y+1z1x2+1y2+1z2+4x+y+z
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
x+y+z≤3xyz=3
x2+y2+z2≤33x2y2z2=3
Suy ra: 4x+y+z≥43
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
 (x+y+z)1x+1y+1z≥9⇒1x+1y+1z≥9x+y+z≥93=3x2+y2+z21x2+1y2+1z2≥9⇒1x2+1y2+1z2≥9x2+y2+z2≥93=3Q=1x+1y+1z1x2+1y2+1z2+4x+y+z≥3.3+43=313
ĐỀ SỐ 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có 06 câu trong 02 trang
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Cho a, b là hai số thực dương phân biệt thỏa mãn (1 – a)(1 − b) + 2 = 1. Tính giá trị của biểu thức
 P = - + 
b) Biết đa thức f(x) = x3 – 23x + 24 có ba nghiệm phân biệt a, b, c. Tính giá trị của biểu thức:
 Q = a³ + b³ + c³.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình = 8
b) Giải hệ phương trình 
Câu 3 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh 
Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O). Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC và F điểm đối xứng của C qua AB. Đường thẳng BE cắt đường thẳng CF tại H.
a) Chứng minh các tứ giác AHBF và AHCE là tứ giác nội tiếp.
b) Đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại điểm thứ hai là D. Chứng minh F,B,D thẳng hàng và DA là tia phân giác của góc EDF.
c) Gọi P, Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE, ACF. Chứng minh sáu điểm B, C, D, O, P, Q cùng thuộc một đường tròn tâm I và giao điểm (khác D) của đường thẳng AD với đường tròn (I) là trực tâm tam giác APQ.
d) Giả sử H thuộc đường tròn (I). Chứng minh các đường thẳng AI, DH, BC, PQ đồng quy.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho p là một số nguyên tố.
a) Chứng minh nếu p lẻ và tồn tại số nguyên x sao cho (x2 + 1) p thì (p − 1) 4.
b) Chứng minh 2023p + 23p – 24 không là số chính phương.
ĐÁP ÁN
Câu 1
a. Cho a, b là 2 số thực nguyên dương phân biệt thỏa mãn (1 – a)(1 – b) + 2 = 1. Tính giá trị của biểu thức P = - + 
Giải
* P = 
 = 
 = = .
* (1 – a)(1 – b) + 2 = 1 1 – b – a + ab + 2 = 1
 a - 2 + b = ab = 
* Vậy P =1 (khi a > b) hoặc P = -1 (khi a < b)
b. Biết đa thức f(x) = x3 – 23x + 24 có ba nghiệm phân biệt a, b, c. Tính giá trị của biểu thức
 Q = a³ + b³ + c³.
Giải
Vì a, b, c là 3 nghiệm của f(x) nên ta có
 Q = 23(a + b + c) – 72
Theo Viet: a + b + c = 0
Do đó Q = -72
Câu 2
a. GPT = 8 (*)
Giải
ĐK: -7x 6
Với đk trên thì 0
Do đó (*) 16 = 8
 2 = 
 – 5 + – 3 + 2 = 0
 + + 2. = 0
 (x – 2) = 0
 x – 2 = 0 ( do 0)
 x = 2 (t/m đk)
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 2
b. Giải HPT 
Giải
ĐK: x0 ; y0
Đặt a = , b = 
HPT đã cho trở thành 
Từ (1): b = . Thay vào (2):
 = a 9 + 6a = 2a (9 – 2a)
 4a2 – 12a + 9 = 0 = 0
 2a – 3 = 0 a = b = 3
Vậy 
 y = 2x. Thay vào (4):
2x2 – 3x + 1 = 0 
x = 1 y = 2 
x = y = 1 (t/m đk)
Vậy (x;y) 
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh 
Giải
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
 = 
T2: ; 
Do đó VT + + 
Ta cần CM: S = + + 2
Ta có: = = a - 
Lại có : = = = 
T2 ta được S a + b + c - - = - 
Ta có ab + bc + ca 
Do đó S - . = 2
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2. Ta có đpcm.
Câu 4.
a) AFB=ACB (đối xứng); AHB=KHE (đối đỉnh)
Mà ACB + KHE =180 nên AHBF nội tiếp.
Tương tự với AHCE.
b) *AED = AHF (cùng bù với AHC) mà AHF = ABF (tứ giác AHBF nội tiếp). Do đó AED = ABF.
Mặt khác AED + ABD = 180 (ABDE nội tiếp) nên ABF + ABD=180. Do đó F,B,D thẳng hàng.
Tương tự E,C,D thẳng hàng.
*ADF = ACF, ADE = ABE mà ACF = ABE (cùng phụ với BAC) nên ADF =ADE hay DA là tia phân giác góc EDF.
c) * Dễ thấy P thuộc AC, Q thuộc AB.
* ADC = AFC mà AFC = ACF = 90-BAC nên ADC=90o-BAC.
Tương tự ADB = 900-BAC. Vậy BDC = 1800-2BAC.
Lại có BOC = 2BAC (góc nội tiếp và góc ở tâm) nên BDC + BOC = 180o. Suy ra tứ giác BOCD nội tiếp.
* Tam giác PAB cân tại P nên APB = 1800-2BAC. Suy ra PAB = BDC nên tứ giác BPCD nội tiếp.
Tương tự ta có tứ giác BQDC nội tiếp.
* Vậy 6 điểm B, C, D, O, P, Q cùng thuộc một đường tròn (I).
* Dễ CM O thuộc AD. Do đó giao điểm khác D của AD và (I) là O.
* Vì OP là đường trung trực của AB nên OP vuông góc với AB; OQ là đường trung trực của AC nên OQ vuông góc với AC. Vậy O là trực tâm của tam giác APQ.
d) Dễ CM được I là giao điểm của tia phân giác của góc BAC với (O). Gọi M là giao điểm của AI và BC thì HD, PQ đi qua M. Do đó 4 đường AI, BC, HD, PQ đồng quy tại M.
Câu 5. Cho p là một số nguyên tố.
a) Chứng minh nếu p lẻ và tồn tại số nguyên x sao cho (x2 + 1) p thì (p − 1) 4.
b) Chứng minh 2023p + 23p – 24 không là số chính phương.
Giải
a) Vì p là SNT lẻ nên p chỉ có 1 trong 2 dạng:
 4k + 1 hoặc 4k + 3
Vì (x2 + 1) p nên p có dạng 4x + 1, hay p – 1 = 4k 4.
b) Tồn tại STN x sao cho 2023p + 23p – 24 = x2
 x2 + 1 = 2023p + 23p – 23
Theo Fermat nhỏ, ta có 23p – 23 0 (mod p)
=> 2023p + 23p – 23 0 (mod p)
=> x2 + 1 0 (mod p) => p = 4k + 1
=> 2023p + 23p – 24 -p + (-1)p 2 (mod 4)
Mà x2 0,1 (mod 4), mâu thuẫn
Vậy 2023p + 23p – 24 không là số chính phương.
ĐỀ SỐ 3
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học 2023 - 2024
Bài thi: Toán - Ngày thi: 02/6/2023
Thời