Bộ 30 Đề thi HSG Toán 8 cấp huyện (Có đáp án)

ĐỀ SỐ 1
ĐỀ CHÍNH THỨC 
PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
LỚP 8 THCS 
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút.
Ðề thi có 03 trang

Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) ra tờ giấy thi.
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Câu 1: Cho biểu thức . Giá trị nhỏ nhất của đạt được khi 
A. 12 	B. 	C. 4	D. 
Câu 2: Giá trị của biểu thức với là:
A. 2 	B. 3	C. 4 	D. 5
Câu 3: Cho đa thức biết rằng chia cho thì dư ; chia cho thì dư . Khi đó có hệ số: là: 
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 4: Phân tích đa thức thành nhân tử thu được kết quả là:
A. 	B. 
C. 	D.
Câu 5: Giá trị lớn nhất của bằng: 
A. 	B. 	C. 1	D. 
Câu 6: Phương trình có nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 7: Phương trình có nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 8: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn điều kiện: ?
A. 
B. 
C. 
D. vô số
Câu 9: Cho có hai đường trung tuyến vuông góc với nhau. 
Biết . Khi đó 
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 10: Cho vuông tại , hai đường trung tuyến và . Khi đó tính theo cạnh huyền bằng?
A. 5BC2 
B. 54BC2 
C. 34BC2 
D. 43BC2 
Câu 11: Một hình thang có tối đa số góc tù là: 
A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
Câu 12: Cho trên cạnh lấy điểm sao cho , gọi là điểm thuộc cạnh sao cho . cắt tại Tia cắt cạnh tại 
Khi đó 
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 13: Hình thang cân có hai đường chéo cắt nhau tại . Gọi lần lượt là trung điểm của . Biết , đáy lớn . Khi đó 
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 14: Cho vuông tại đường cao biết và 
. Khi đó 
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 15: Cho từ điểm nằm trong trong tam giác kẻ đường thẳng song song với các cạnh của tam giác. Các đường thẳng này chia tam giác thành sáu phần trong đó có tam giác có diện tích là: khi đó 
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 16: Một nhóm học tập gồm có bạn, phải cử ra bạn để điều hành công việc, trong đó có nhóm trưởng, 1 nhóm phó và 1 thư ký. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?
A. 
B. 
C. 
D. 

B. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm)
 a. Cho A=3n+2+42n+1 chứng minh rằng với mọi số tự nhiên .
 b. Tìm ba số nguyên tố sao cho pq+qp=r.
Câu 2 (3,5 điểm)
 a. Cho các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn: a3+b3+c3=3abc và . Tính giá trị của biểu thức: D=ab2a2+b2-c2+bc2b2+c2-a2+ca2c2+a2-b2.
 b. Giải phương trình sau: x-44+4x2+x-202-5x+54=0.
Câu 3 (4,5 điểm)
 Cho tam giác có ba góc nhọn, các đường cao (với DBC, EAC, FAB). Các đường cao cắt lần lượt tại . 
 a. Chứng minh rằng: CEF+ABC=1800.
 b. Khi điểm thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng: RD.EQ.PFEP.FR.DQ không đổi.
 c. Gọi là trực tâm của tam giác . Chứng minh rằng: HP.AD=AP.DH.
Câu 4 (1,0 điểm)
 Cho hai số thực thỏa mãn: 2x+3y-13≥0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=x2+3x+4x+y2+9y+4y
.............. HẾT ..............
 Họ và tên thí sinh:.SBD:..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
LỚP 8 THCS 

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Hướng dẫn chấm có 05 trang
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.
Câu 
1
2
3
4
5
6
7
8
Đáp án
B
C
C
A
D
D
B
A

Câu 
9
10
11
12
13
14
15
16
Đáp án
A
B
B
D
C
D
A
C 

II.PHẦN TỰ LUẬN: (12 điểm)
Câu
Đáp án chấm
Thang điểm
Câu 1.a
2,0 điểm
a. Cho chứng minh rằng với mọi số tự nhiên .

Ta có 
0,5
Ta có 
0,5
Mà 
 
0,5
Từ 
0,5
Câu 1.b
1,0 điểm
b. Tìm ba số nguyên tố sao cho 

Giả sử có ba số nguyên tố thỏa mãn thỏa mãn. Khi đó nên là số lẻ. 
Suy ra không có cùng tính chẵn lẻ.
0,25
Không giàm tổng quát giả sử chẵn và lẻ suy ra khi đó ta có .
0,25
Nếu không chia hết cho suy ra 
Mặt khác do lẻ nên vô lý.
Vậy .
0,25
Vậy bộ số cần tìm là hoặc 
0,25
Câu 2.a
1,75 điểm
a. Cho các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn: và .
Tính giá trị của biểu thức: 

Chứng minh được 
0,5
Ta có 
do đôi một khác nhau .
0,25
Suy ra 
0,25
Ta có 
Chứng minh tương tự ta có: 
0,5
Từ đó suy ra 
0,25
Câu 2.b
1,75 điểm
b. Giải phương trình sau: 

Phương trình đã cho tương đương với 
0,25
Đặt với 
0,25
Phương trình đã cho có dạng: 
0,5
Với 
Ta có dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi phương trình vô nghiệm.
0,25
Với 
0,25
Vậy phương trình có nghiệm .
0,25
Câu 3
4,5 điểm
Cho nhọn có đường cao . Các đường cao cắt lần lượt tại .
a. Chứng minh rằng: .
b. Khi điểm thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện nhọn. 
Chứng minh rằng: không đổi.
c. Gọi là trực tâm của . Chứng minh rằng: .





Câu 3a.
1,5 điểm
a. Chứng minh rằng: 

Chứng minh được đồng dạng với 
0,25
Suy ra 
0,25
Xét tam giác và có :
 : Chung; (chứng minh trên).
Suy ra đồng dạng với .
0,25
Từ đó suy ra: (1)
0,25
Mà (2) 
0,25
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
0,25

b. Khi điểm thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện nhọn. 
Chứng minh rằng: không đổi.

Câu 3b.
2 điểm
Ta có (3)
0,25
Chưng minh tương tự có đồng dạng với suy ra
 
0,25
Mặt khác CED+DEB=900⇒DEB+ABC=900 (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra FEB=DEB⇒ tia EB là tia phân giác của FED.
0,5
Chứng minh tương tự có: là tia phân giác của DFE;EDF 
0,25
Xét áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:
 
0,25
Nhân vế với vế ta được (không đổi). Suy ra đpcm.
0,25
Câu 3b.
1 điểm
c. Gọi H là trực tâm của . Chứng minh rằng: 

Từ phần b có là phân giác trong tại đỉnh của . Mà 
Suy ra là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh của 
0,5
 
0,5
Câu 4
1 điểm
Cho thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 


0,5
Dấu xảy ra khi và chỉ khi 
0,25
Vậy đạt được khi và chỉ khi .
0,25
 
HẾT..
ĐỀ SỐ 2
UBND HUYỆN QUẾ VÕ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1: (6,0 điểm)
 1. Phân tích đa thức thành nhân tử
 2. Tìm hai số thỏa mãn: 
 3. Cho . Chứng minh rằng : 
Bài 2: (3,0 điểm)
 1. Cho là các số thực thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức
 2. Xác định các số biết: chia cho dư ; chia cho dư 
Bài 3: (7,0 điểm)
1. Cho hình vuông , là một điểm tùy ý trên đường chéo , kẻ , 
 a) Chứng minh ;
 b) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy;
 c) Xác định vị trí của để diện tích tứ giác lớn nhất
 2. Cho tam giác nhọn, là điểm nằm trong tam giác sao cho . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên ; lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng vuông góc với 
Bài 4: (4,0 điểm)
 1. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn 
 2. Cho là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
HUYỆN QUẾ VÕ 
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
Bài 1: (6,0 điểm)
 1. Phân tích đa thức thành nhân tử
 2. Tìm hai số thỏa mãn: 
 3. Cho . Chứng minh rằng : 
Lời giải
1. Phân tích đa thức thành nhân tử
 2. Tìm hai số thỏa mãn: 
 Do ; 
Từ và suy ra và 
3. Cho . Chứng minh rằng : 
Có 
Xét vế trái: 
= Vế phải (do ) đpcm
Bài 2: (3,0 điểm)
 1. Cho là các số thực thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức
 2. Xác định các số biết: chia cho dư ; chia cho dư 
Lời giải
1. Cho là các số thực thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức
Ta có (ĐKXĐ: )
Do 
Vậy giá trị của 
 2. Xác định các số biết: chia cho dư ; chia cho dư 
Đặt 
Ta có 
Ta có 
Từ và suy ra 
Vậy 
Bài 3: (7,0 điểm)
1. Cho hình vuông , là một điểm tùy ý trên đường chéo , kẻ , 
 a) Chứng minh ;
 b) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy;
 c) Xác định vị trí của để diện tích tứ giác lớn nhất
 2. Cho tam giác nhọn, là điểm nằm trong tam giác sao cho . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên ; lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng vuông góc với 
Lời giải
a) Chứng minh 
+ Có tứ giác là hình chữ nhật 
+ có (gt) và (Do là phân giác)
 vuông cân tại nên (c-g-c) 
b) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
+ Gọi tại 
Vì (cmt) ( 2 góc tương ứng)
Mà (Do ) Hay 
tại 
+ Chứng minh tương tự ta được 
+ Gọi tại . Có (Do là hình vuông) mà (gt)
 hay 
+ C/m tứ giác là hình chữ nhật (Do có 3 góc vuông)
Mà là phân giác của (Do là phân giác của )
Tứ giác là hình vuông 
+ C/m tứ giác là hình chữ nhật 
+ Mà vuông cân tại nên 
+ (c-g-c) 
Gọi tại H (đối đỉnh) 
Mà (Do tứ giác là hình chữ nhật)
 hay 
+ Xét có tại (cmt); (cmt); (cmt)
 đồng quy (đpcm)
c) Xác định vị trí của để diện tích tứ giác lớn nhất
Giải: Có tứ giác là hình chữ nhật
 ( Do )
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
Dấu = xảy ra khi hay . Mà là hình chữ nhật là hình vuông
là phân giác của . Mà là phân giác của 
Vậy là giao điểm của 
 và thì lớn nhất
 2. Cho tam giác nhọn, là điểm nằm trong tam giác sao cho . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên ; lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng vuông góc với 
Lời giải
Gọi lần lượt là trung điểm của và 
Xét tam giác vuông có là trung điểm của (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
Xét tam giác có cân tại (1) (tính chất góc ngoài của tam giác)
Tương tự ta có (2)
Từ (do theo giả thiết)
Xét có là trung điểm của và là trung điểm của là đường trung bình của (3) (theo tính chất của đường trung bình).
Tương tự (4)
Xét tứ giác có và là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành) 
Xét hai tam giác và tam giác có
 (vì cùng bằng )
 (vì cùng bằng )
Suy ra (2 cạnh tương ứng)
Xét có cân tạn , mặt khác là trung điểm của đồng thời là đường trung tuyến và là đường cao (điều phải chứng minh)
Bài 4: (4,0 điểm)
 1. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn 
 2. Cho là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
 1. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn 
Ta có: Có 
x;y∈Z⇒x-2021;x+y+1∈Z⇒&x-2021∈U(4033)&x+y+1∈U(4033)
Mà U(4033)=±1;±37;±109;±4033
Ta có bảng:
	

-109






	


-109





	








	









Vậy 
(x;y)∈ -2012;2010;1912;-1950;1984;-2094;(2020;-6054);(2022;2010);(2058;-1950);(2130;-2094);(6054;-6054)
2. Cho là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải: Xét mà 
	⇒P=16-2a2b2+4ab
P=16-2(a2b2-2ab)
P=18-2(ab-1)2
Do 
Có ab≤2⇔ab-1≤1⇔(ab-1)2≤1⇔-2(ab-1)2≥-2⇔P≥16
Dấu = xảy ra khi &ab=2&a2+b2=4⇔a2+1a2=4⇔a4-4a2+4=0⇔(a2-2)2=0
⇔a2=2⇔a=±2⇒b=±2
Vậy để giá trị nhỏ nhất của 
ĐỀ SỐ 3
PHÒNG GD & ĐT AN HỘI 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN THI: TOÁN LỚP 8
Câu 1. (4,0 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Rút gọn biểu thức sau: 
Câu 2. (