Bộ 30 Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện (Có đáp án)

ĐỀ SỐ 1
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐOAN HÙNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Câu 1: Giá trị của biểu thức P=11+2+12+3++12022+2023 bằng
A. 2022-1. 	B. 1-2023. 	C. 1-2022. 	D. 2023-1.
Câu 2: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của a để 3(a+3)a-3a-1+a-2<9 ?
A. 7.	B. 6.	C. 36.	D. 35.
Câu 3: Cho a-b=29+125-25. Giá trị của biểu thức A=a2(a+1)-b2(b-1)-11ab+2023 bằng
A. 2023.	B. 2059.	C. 2035.	D. 2027.
Câu 4: Phương trình m2-4x+m-2=0 vô nghiệm khi
A. m=-2.	B. m≠0.	C. m=2.	D. m≠2;m≠-2.
Câu 5: Cho hai đường thẳng d1:y=2x-3,d2:y=(m-2)x+13-m2. Giá trị của tham số m để d1⊥d2 là
A. m=0.	B. m=4.	C. m=52.	D. m=32.
Câu 6: Đồ thị hàm số y=ax+b là một đường thẳng đi qua hai điểm A(1;-1);B(-2;5). Khi đó tích ab bằng
A. -1.	B. -6.	C. -2.	D. 5.
Câu 7: Cho hàm số f(x)=ax+b đồng biến và đồ thị tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân có chu vi bằng 6+32. Đặt S=a+b2. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. -8≤S≤9.	B. S>9.	C. -9≤S≤-8.	D. S<-9.
Câu 8: Cho tam giác cân ABC tại A với AB=AC=8,BC=10, đường cao BK. Tỷ số AKAC bằng
A. 732.	B. 1233.	C. 2164.	D. 18.
Câu 9: Cho tam giác ABC với trọng tâm G và I là trung điểm của AG. Gọi K là điểm nằm trên cạnh AC sao cho ba điểm B,I,K thẳng hàng. Biết tam giác ABC có diện tích bằng 30. Diện tích của tam giác AIK bằng
A. 6.	B. 2.	C. 1.	D. 3.
Câu 10: Cho hình thoi ABCD có AB=a,ABC=60∘. Điểm G là trọng tâm tam giác ADC. Độ dài đoạn BG bằng
A. a.	B. a32.	C. a33.	D. 2a33.
Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết diện tích các tam giác ABH và ACH lần lượt là 54 cm2 và 96 cm2. Độ dài cạnh BC bằng
A. 24 cm.	B. 25 cm.	C. 20 cm.	D. 36 cm.
Câu 12: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=3,BC=4. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CD. Qua M hạ MP⊥AC,MP cắt BC tại Q sao cho B nằm giữa C,Q. Độ dài cạnh PQ=ab với a,b∈Z và ab là phân số tối giản. Giá trị a-2b bằng
A. 43.	B. 83.	C. 103.	D. 63.
Câu 13: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Tổng diện tích các mặt bên bằng 6a2. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. a336.	B. 3a332.	C. a332.	D. a334.
Câu 14: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Các tiếp tuyến của (O) tại B,C cắt nhau tại P. Gọi D,E tương ứng là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống các đường thẳng AB,AC. Diện tích tam giác ADE bằng
A. 273R28.	B. 273R216.	C. 93R216.	D. 93R28.
Câu 15: Cho đường tròn (O;5) và một điểm P thay đổi nhưng luôn nằm ở bên trong đường tròn đó. Qua P ta kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau. Tổng PA2+PB2+PC2+PD2 có giá trị bằng
A. 200.	B. 75.	C. 25.	D. 100.
Câu 16: Một chiếc đu quay có bán kính 75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m, thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?
A. 127,5 m.	B. 165 m.	C. 127 m.	D. 165,5 m.
B. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn 2x.x2=9y2+6y+16.
b) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n4-8n3+23n2-26n+10 là số chính phương.
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Giải phương trình 2x3+3x2+6x+16-4-x=23.
b) Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện: a3+b3+c3=3abc và a+b+c=1. Tính giá trị biểu thức P=5a+6b+2023c.
c) Cho P(x) là một đa thức bậc n với hệ số nguyên, n≥2. Biết P(1).P(2)=2023. Chứng minh rằng phương trình P(x)=0 không có nghiệm nguyên.
Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), gọi H là trung điểm của cạnh BC,M là điểm bất kỳ thuộc đoạn BH(M khác B ). Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho CN=BM. Gọi I là trung điểm của MN.
a) Chứng minh rằng bốn điểm O,M,H,I cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi P là giao điểm của OI và AB. Chứng minh rằng tam giác MNP đều.
c) Xác định vị trí điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.
Câu 4 (1,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T=3(b+c)2a+4a+3c3b+12(b-c)2a+3c
-----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh: 	 Số báo danh: 	
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐOAN HÙNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
Đáp án
D
C
B
A
D
C
B
A
Câu
9
10
11
12
13
14
15
16
Đáp án
C
D
B
A
C
B
D
A

II. PHẦN TỰ LUẬN
Lưu ý khi chấm bài
- Hướng dẫn chấm (HDC) dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic;
- Thí sinh làm bài theo cách khác với HDC mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của HDC;
- Điểm bài thi là tổng điểm các bài không làm tròn số.
Hướng dẫn chấm tự luận
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n4-8n3+23n2-26n+10 là số chính phương.
b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn 2x.x2=9y2+6y+16.
Ý
Đáp án
Điểm
a) 
(1,0 điểm)
Ta có
n4-8n3+23n2-26n+10 
=n2-12-8n(n-1)2+9(n-1)2 
=(n-1)2(n-3)2+1
Do đó n4-8n3+23n2-26n+10 là số chính phương khi (n-1)2=0 hoặc (n-3)2+1 là số chính phương.
0,25
Trường hợp 1:(n-1)2=0⇔n=1.
Trường hợp 2:(n-3)2+1 là số chính phương.
Khi đó (n-3)2+1=k2⇔k2-(n-3)2=1⇔(k-n+3)(k+n-3)=1
Vì n,k∈Z nên (k-n+3)(k+n-3)=1⇔k-n+3=1k+n-3=1k-n+3=-1k+n-3=-1
0,25
+) k-n+3=1k+n-3=1⇔k=1n=3
+k-n+3=-1k+n-3=-1⇔k=-1n=3
Vây n=1;n=3
0,25
b) 
(2,0 điểm)
Ta có 2x.x2=9y2+6y+16⇔2x.x2=(3y+1)2+15
0,25
Nhận thấy (3y+1)2+15≡1(mod3) nên 2x.x2≡1(mod3)
0,25
Mà x2 là số chính phương nên x2≡1(mod3) hoặc x2≡0(mod3)
0,25
Do đó 2x.x2≡1(mod3) khi 2x≡1(mod3), suy ra x chẵn ⇒x=2k.
0,25
Ta được 22k.(2k)2=(3y+1)2+15⇔2k.k-3y-12k.k+3y+1=15
Do y;k∈N nên 2k.k+3y+1>2k.k-3y-1
Từ 2k.k-3y-12k.k+3y+1=15 ta được
0,25
Trường hợp 1:
2k.k-3y-1=12k.k+3y+1=15⇔2k.2k=83y+1=7 ( Không có k∈N thỏa mãn)
0,25
Truờng hợp 2:
2k.k-3y-1=32k.k+3y+1=5⇔2k.2k=43y+1=1⇔k=1y=0
Vậy x=2;y=0.
0,5

Câu 2 (4,0 điểm).
a) Giải phương trình 2x3+3x2+6x+16-4-x=23.
b) Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện: a3+b3+c3=3abc và a+b+c=1. Tính giá trị biểu thức P=5a+6b+2023c.
c) Cho P(x) là một đa thức bậc n với hệ số nguyên, n≥2. Biết P(1).P(2)=2023. Chứng minh rằng phương trình P(x)=0 không có nghiệm nguyên.
Ý
Đáp án
Điểm
a) 
(1,5 điểm)
Điều kiện: 2x3+3x2+6x+16≥04-x≥0⇔x≥-2x≤4⇔-2≤x≤4
0,25
(*)⇔2x3+3x2+6x+16-33+3-4-x=0
⇔2x3+3x2+6x-112x3+3x2+6x+16+33+x-13+4-x=0
0,5
⇔(x-1)2x2+5x+112x3+3x2+6x+16+33+x-13+4-x=0
0,25

0,25
∀x∈[-2;4], Ta có: 2x2+5x+11=2x+542+638>0
⇒2x2+5x+112x3+3x2+6x+16+33+13+4-x>0,∀x∈[-2;4]
⇒(1) vô nghiệm.
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất x=1.
0,25
b) 
(1,5 điểm)
Ta có a3+b3+c3=3abc⇔(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=0
⇔(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=0
⇔(a+b+c)3-3(a+b).c.(a+b+c)-3ab(a+b+c)=0
⇔(a+b+c)a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
0,5
⇔a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
⇔(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
⇔a=b=c
Mà a+b+c=1 nên ⇔a=b=c=13
0,5
Vậy P=5a+6b+2023c=5+6+20233=20343=678.
0,5
c)
(1,0 điểm)
Giả sử P(x)=0 có nghiệm nguyên a∈Z
Khi đó P(x)=(x-a)Q(x) với Q(x) là đa thức với hệ số nguyên.
0,25
Ta có P(1).P(2)=(1-a).(2-a).Q(1).Q(2)
0,25
Nhận thấy (1-a);(2-a) là 2 số nguyên liên tiếp nên (1-a).(2-a) ⋮ 2.
0,25
Mà P(1).P(2)=(1-a).(2-a).Q(1).Q(2)=2023 không chia hết cho 2.
Vậy giả sử sai hay P(x)=0 không có nghiệm nguyên.
0,25

Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), gọi H là trung điểm của cạnh BC,M là điểm bất kỳ thuộc đoạn BH(M khác B). Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho CN=BM. Gọi I là trung điểm của MN.
a) Chứng minh rằng bốn điểm O,M,H,I cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi P là giao điểm của OI và AB. Chứng minh rằng tam giác MNP đều.
c) Xác định vị trí điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.
Ý
Đáp án
Điểm
a) 
(1,5 điểm)


a) Do H là trung điềm của BC nên OH⊥BC.
0,25
Ta có △OBM=△OCN(c-g-c) nên △OMN cân tại M.
Mà I là trung điểm của MN nên OI⊥MN.
0,5
Vậy bốn điểm O,I,H,M cùng thuộc đường tròn đường kính OM.
0,25
b) 
(1,5 điểm)
Do △OBM=△OCN(c-g-c) nên BOM=CON
Suy ra MON=MOC+CON=MOC+BOM=BOC=120∘.
0,5
Khi đó PON=360∘-MON2=120∘
0,25
Ta được PAN+PON=60∘+120∘=180∘ nên tứ giác APON nội tiếp.
Do đó OPN=OAN=30∘.
0,25
Chứng minh tương tự OPM=30∘ do đó MPN=60∘.
0,25
Mặt khác P thuộc trung trực của MN nên PM=PN.
0,25
c)
(1,0 điểm)
Theo phần a ta có IHC=IOM=60∘=ABC nên IH∥AB. Suy ra đường thẳng
IH cố định. Gọi K là trung điểm của AC, ta có 3 điểm H,I,K thẳng hàng ( do
cùng nằm trên đường thẳng song song với AC ).
0,25
Lấy điểm T đối xứng với A qua HI⇒T là 1 điểm cố định.
Ta có AI+BI+AB=IT+IB+AB≥BT+AB
Do đó chu vi tam giác AIB nhỏ nhất bằng BT+AB, đạt được khi 3 điểm
B,I,T thẳng hàng.
0,25
Khi đó I là trung điểm của BT cố định (theo tính chất đường trung bình
của tam giác BAT ).
0,25
Suy ra tứ giác BMTN là hình bình hành và TN ∥ BC. 
0,25
Lại có BH = KT, BK = HT nên tứ giác BHKT là hình bình hành và KT ∥ BC. 
Vậy N ≡ K ⇒ M ≡ H.
0,25

Câu 4 (1,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T=3(b+c)2a+4a+3c3b+12(b-c)2a+3c
Ý
Đáp án
Điểm
(1,0 điểm)
Ta có T+5=3b2a+2a3b+2a3b+2a2a+3c2a+3c3b+12(b-c)2a+3c+4
=3b2a+2a3b+(2a+3c)12a+13b+4(2a+3b)2a+3c
0,25
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 3a2b+2b3a≥23a2b.2b3a=2.
0,25
Áp dụng BĐT 1x+1y≥4x+y với x,y>0 ta có 12a+13b≥42a+3b.
0,25
Suy ra T+5≥2+42a+3c2a+3b+2a+3b2a+3c≥2+4.2=10.
Vậy T≥5.
Dấu " = " xảy ra khi 2a=3b=3c. Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 5.
0,25

ĐỀ SỐ 2
UBND HUYỆN THANH SƠN
PHÒNG GD& ĐT
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Môn: Toán
(Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM. (8,0 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng rồi ghi vào tờ giấy thi.
Câu 1. Biểu thức P=x+2xx-1+xx+x+1+11-x:x-12 với x≥0,x≠1. Rút gọn được kết quả bằng
A. 2x+1.	B. 2xx+x+1.	C. 2x+x+1.	D. x+21-x.
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 điểm A(-1;3) và B(3;5). Phương trình đường trung trực của AB là
A. y=x+3.	B. y=2x+2.	C. y=-2x+6.	D. y=12x+74.
Câu 3. Cho biểu thức: M=2x-9x-5x+6-x+3x-2-2x+13-