Bộ 50 đề thi Toán Lớp 8 chất lượng cao cho học sinh giỏi (Có đáp án)

 Bộ 50 đề thi Toán Lớp 8 chất lượng cao cho học sinh giỏi (Có đáp án) - DeThiToan.net
 DeThiToan.net Bộ 50 đề thi Toán Lớp 8 chất lượng cao cho học sinh giỏi (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐỀ SỐ 1
 CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 1 ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM
 THCS: AN - ĐIỀN - PHÚ - THÁI Năm học: 2024 - 2025
 Môn: Toán 8
 Đề chính thức Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I. (4 điểm) 
 1 1 1 1 1
1) Thu gọn biểu thức: P 
 x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20
(với x 0; x 1; x 2; x 3; x 4; x 5 ). 
Tìm các giá trị của x nguyên để x.P đạt giá trị nguyên.
 x y y z z x 
2) Các số x; y; z khác 0 thỏa mãn x y z 1 và 2 .
 y x z y x z 
Tính giá trị của biểu thức: P x2023 y2023 z2023 .
Câu II. (4 điểm) 
 2x 5 2x 2 3
1) Tìm x , biết: (với x 4; x 1; x 2 )
 x2 5x 4 x2 2x 8 2
2) Cho đa thức f x ax3 bx2 cx d . Tìm a, b, c, d biết rằng khi chia đa thức f x lần lượt 
cho các đa thức x 1; x 2; x 3 đều có số dư là 6 và tại x 1 thì đa thức f x đó nhận giá 
trị bằng 18 .
Câu III. (4 điểm) 
 2
1) Tìm các số tự nhiên n để n2 8 36 là số nguyên tố.
2) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn 5 a3 b3 13 c3 d 3 . 
Chứng minh rằng: a b c d chia hết cho 6
Câu IV. (6 điểm) 
Cho hình vuông ABCD. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của AB và CD; O là giao điểm của 
AK và DE. Kẻ DM vuông góc với CE tại M.
1) Chứng minh rằng tam giác AKM vuông.
2) Gọi N là giao điểm của AK và BM. Chứng minh ADM cân và tính ·ANB .
3) Tia phân giác của D· CE cắt AD tại F. Chứng minh rằng: CF 2EF .
Câu V. (2 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab bc ca abc . 
 a b c
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
 bc a 1 ca b 1 ab c 1 
 ---------HẾT---------
 DeThiToan.net Bộ 50 đề thi Toán Lớp 8 chất lượng cao cho học sinh giỏi (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐÁP ÁN
 Câu Nội dung Điểm
 1) Với x 0; x 1; x 2; x 3; x 4; x 5 . Ta có:
 1 1 1 1 1
 P 
 x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 0,5
 1 1 1 1 1
 x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 0,25
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 x 1 x x 2 x 1 x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 4 0,25
 1 1 5
 x 5 x x x 5 0,25
 5 5
 Ta có x.P x. 
 x x 5 x 5 0,25
 Nên x.P đạt giá trị nguyên khi x 5 là ước của 5.
 Khi đó: x 5 1;1;5; 5 nên x 4;6;10;0 0,25
 Kết hợp với đề bài x 0; x 1; x 2; x 3; x 4; x 5 ta được: 
 0,25
 x 6;10 thì x.P nguyên.
 x y y z z x 
 2) 2
 Câu I y x z y x z 
(4 điểm) 1 1 1 1 1 1 0,25
 x y z 2
 y z z x x y 
 1 1 1 1 1 1 
 x 1 y 1 z 1 1
 y z z x x y 0,25
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 x y z 1
 y z x z x y x y z 
 0,25
 1 1 1 
 x y z 1
 x y z 
 1 1 1 1
 x y z x y z 0,25
 1 1 1 1
 y z x y z x
 y z x x y z 0,25
 yz x x y z 
 y z y z 
 yz x x y z 
 0,25
 DeThiToan.net Bộ 50 đề thi Toán Lớp 8 chất lượng cao cho học sinh giỏi (Có đáp án) - DeThiToan.net
 y z y z
 0
 yz x x y z 
 1 1 
 y z 0
 yz x x y z 0,25
 x x y z yz
 y z . 0
 xyz x y z 
 x y x z 
 y z . 0
 xyz x y z 
 0,25
 x y x z y z 0
 - Nếu x y 0 thay vào x y z 1 ta được z 1 và x y
 Khi đó: P x2023 y2023 z2023 y 2023 y2023 12023 1
 Tương tự y z 0 và x z 0 ta có P 1.
 Vậy P 1.
 1) Với x 4; x 1; x 2 . Ta có:
 2x 5 2x 2 3 0,25
 x2 5x 4 x2 2x 8 2
 2x 5 2x 2 3
 0,25
 x 1 x 4 x 2 x 4 2
 1 1 1 1 3 0,25
 x 1 x 4 x 2 x 4 2
 1 1 3
 0,25
 x 1 x 2 2
 x 2 x 1 3
 0,25
 x 1 x 2 2
 Câu II 3 3
 0,25
(4 điểm) x 1 x 2 2
 x 1 x 2 2 0,25
 x2 x 0
 x x 1 0 0,25
 x 0 hoặc x 1
 Vậy x 0 hoặc x 1.
 2) 0,5
 Từ đề bài ta suy ra được f x 6 chia hết cho x 1; x 2; x 3.
 Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên ta có: 
 f x 6 m. x 1 x 2 x 3 , trong đó m là hằng số khác 0.
 0,5
 DeThiToan.net Bộ 50 đề thi Toán Lớp 8 chất lượng cao cho học sinh giỏi (Có đáp án) - DeThiToan.net
 Lại có f 1 18 nên 18 6 m. 2 . 3 . 4 
 m 1 0,5
 Vậy f x 6 x 1 x 2 x 3 
 0,5
 Suy ra f x x3 6x2 11x
 Vậy a 1;b 6;c 11;d 0.
 2 2
 1) n2 8 36 n4 16n2 100 n2 10 36n2
 0,5
 n2 6n 10 n2 6n 10 
 2
 Để n2 8 36 là số nguyên tố thì: 0,5
 n2 6n 10 1 hoặc n2 6n 10 1
 - Nếu n2 6n 10 1 thì n 3 2 0 . Suy ra n 3 0,5
 2
 Khi đó n2 8 36 37 là số nguyên tố (thoả mãn)
 0,5
 - Nếu n2 6n 10 1 thì n 3 2 0 . 
 Suy ra n 3 (loại do n là số tự nhiên)
 Vậy n = 3 thoả mãn bài toán.
Câu III 2) Ta có: 5 a3 b3 13 c3 d 3 0,5
(4 điểm)
 a3 b3 c3 d 3 6 a3 b3 2c3 2d 3 
 Do 6 a3 b3 2c3 2d 3 chia hết cho 6 0,5
 nên a3 b3 c3 d 3 chia hết cho 6
 Xét hiệu a3 b3 c3 d 3 a b c d 
 0,5
 a3 a b3 b c3 c d 3 d 
 mà a3 a a a 1 a 1 là tích của ba số thự nhiên liên tiếp nên
 a3 a 3
 0,5
 Tương tự: b3 b 3 ; c3 c 3; d 3 d 3
 Mà a3 b3 c3 d 3 chia hết cho 6 nên a b c d chia hết cho 6.
 DeThiToan.net Bộ 50 đề thi Toán Lớp 8 chất lượng cao cho học sinh giỏi (Có đáp án) - DeThiToan.net
 0,5
 0,5
 1) Chứng minh được tứ giác AEKD là hình chữ nhật.
 Khi đó O là trung điểm của DE.
 DEM vuông tại M có MO là đường trung tuyến ứng với cạnh DE 
 1
 nên OM OD OE DE
 2 0,5
 mà DE = AK (tứ giác AEKD là hình chữ nhật)
 1
 nên OM AK
 2
 1
Câu IV AMK có MO là đường trung tuyến ứng với cạnh AK vàOM AK
 2 0,5
(6 điểm)
 Suy ra AMK vuông tại M.
 2) Gọi H là giao điểm của AK và DM.
 Chứng minh được tứ giác AECK là hình bình hành 0,25
 nên AK / /MC mà DM  MC . Suy ra AK  DM tại H.
 Xét DMC vuông tại M 
 có MK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền DC nên 0,25
 1
 KM KD KC DC
 2
 Khi đó DMK cân tại K có KH  DM 0,25
 nên AK là đường trung trực của DM.
 Do AK là đường trung trực của DM nên AD = AM. 0,25
 Khi đó ADM cân tại A.
 mà AD = AM và AM = AB nên ABM cân tại A.
 1800 M· AD 0,25
 Do ADM cân tại A nên ·AMD 
 2
 1800 M· AB
 Do ABM cân tại A nên ·AMB 
 2
 Suy ra 
 DeThiToan.net Bộ 50 đề thi Toán Lớp 8 chất lượng cao cho học sinh giỏi (Có đáp án) - DeThiToan.net
 0 · · 0,25
 1800 M· AD 1800 M· AB 360 MAD MAB 
 ·AMD ·AMB 
 2 2 2
 0,25
 3600 900
 ·AMD ·AMB 1350
 2
 0,25
 Khi đó H· MN 450 nên HMN vuông cân tại M
 Vậy ·ANB 450 .
 3) Qua E kẻ đường vuông góc với CF cắt CD tại Q.
 Do tứ giác AEKD là hình chữ nhật nên EK  KD 0,5
 nên EKQ vuông cân tại K.
 Xét EKQ và CDF có:
 0,5
 EK AD CD ; E· KQ C· DF 900 ; Q· EK F· CD (cùng phụ 
 E· QK )
 Suy ra EKQ CDF (cạnh góc vuông - góc nhọn kề) 0,5
 nên EQ CF
 ECQ có CF vừa là đường cao vừa là đường phân giác 
 nên ECQ cân tại C. Suy ra: CQ CE
 Xét CFQ và CFE có: 0,25
 CE CQ ; E· CF Q· CF ; FC chung
 Nên CFQ CFE (c-g-c)
 Khi đó: FE FQ nên FE FQ 2EF 0,25
 Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
 QE FE FQ 2EF mà EQ CF nên CF 2EF .
 1 1 1 0,5
 Do ab bc ca abc nên 1
 a b c
 4 1 1
 Chứng minh được với mọi m, n dương. 
 m n m n
 Dấu "=" xảy ra khi m = n. 
 Câu V Vận dung ta có: 
 a a a a 1 1 
(2 điểm) ; 0,5
 bc a 1 abc bc ab bc ca bc 4 ab bc ca bc 
 dấu " = " xảy ra khi b = c
 b b 1 1 
 Tương tự: dấu "=" xảy ra khi c = a
 ca b 1 4 ab ca bc ca 
 DeThiToan.net Bộ 50 đề thi Toán Lớp 8 chất lượng cao cho học sinh giỏi (Có đáp án) - DeThiToan.net
 c c 1 1 0,5
 dấu "=" xảy ra khi a = b
 ab c 1 4 ab bc ca ab 
 Suy ra:
 a b c
 bc a 1 ca b 1 ab c 1 
 a 1 1 b 1 1 c 1 1 
 4 ab bc ca bc 4 ab ca bc ca 4 ab bc ca ab 
 a b c
 bc a 1 ca b 1 ab c 1 
 1 1 1 1 1 1 0,5
 . a c . a b . b c 
 4 ab bc 4 bc ca 4 ca ab
 a b c 1 1 1 1 
 bc a 1 ca b 1 ab c 1 4 a b c 
 a b c 1
 bc a 1 ca b 1 ab c 1 4
 1
 Vậy GTLN của biểu thức bằng khi a = b = c = 3
 4
 DeThiToan.net Bộ 50 đề thi Toán Lớp 8 chất lượng cao cho học sinh giỏi (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐỀ SỐ 2
 UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2024-2025
 Môn: TOÁN - LỚP 8
 Thời gian làm bài: 150 phút
 (Đề này gồm 06 câu, 01 trang) 
Câu 1: (2,0 điểm).
 x2 y x3 y3
1) Rút gọn biểu thức: với x y; x y
 A 2 2 : 5 4 4 5
 x y x y x x y xy y
2) Cho a2 (b + c) = b2 (c + a) = 2025 với a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. 
Tính giá trị của biểu thức c2(a + b).
Câu 2: (2,0 điểm).
1) Giải phương trình: (3x + 1)(x – 1)2(3x – 7) = 0
2) Biết rằng đa thức f(x) chia cho x - 2 dư 11, chia cho x + 2 dư (-1), chia cho x2 - 4 được 
thương là 3x và còn dư. Tính f(2025) + f(-2025).
Câu 3: (2,0 điểm).
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn y2 2 x2 1 2y x 1 
2) Tìm các số tự nhiên n để (n2 – 8)2 + 36 là số nguyên tố.
Câu 4: (2,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi AD là tia phân giác của 
góc BAC. Từ D kẻ DM  AB, DN  AC (M AB, N AC). Gọi E là giao điểm của BN và 
DM, F là giao điểm của CM và DN.
1) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và EF // BC
2) Chứng minh ANB đồng dạng với NFA.
3) Gọi P là điểm trên đoạn thẳng AN, Q là điểm trên đoạn thẳng AM sao cho 
AP = MQ. Tìm vị trí của P và Q để diện tích tứ giác MQPN đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5: (0,5 điểm). Cho 33 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và nằm trong 
tam giác đều có diện tích bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có ba đỉnh là 
 1
ba điểm trong 33 điểm đã cho có diện tích nhỏ hơn .
 16
 b2 1
Câu 6: (1,0 điểm). Cho hai số a, b 0 thỏa mãn 2a 2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá 
 4 a 2
trị nhỏ nhất của biểu thức Q ab 2024. 
 ---------HẾT---------
 DeThiToan.net Bộ 50 đề thi Toán Lớp 8 chất lượng cao cho học sinh giỏi (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐÁP ÁN
Câu Ý Nội dung Điểm
 2 3 3
 x y x y với x y; x y
 A 2 2 : 5 4 4 5
 x y x y x x y xy y 0.25
 x2 y x3 y3
 A 2 2 : 5 4 4 5
 x y x y x x y xy y
 x2 y (x5 x4 y) (xy4 y5 ) 0.25
 .
 2 2
 (x y)(x y) x y (x y)(x xy y )
 x2 y(x y) x4 (x y) y4 (x y)
 1 . 2 2
 (x y)(x y) (x y)(x y) (x y)(x xy y ) 0.25
 x2 xy y2 (x4 y4 )(x y)
 .
 (x y)(x y) (x y)(x2 xy y2 )
 x2 xy y2 (x2 y2 )(x y)2
 .
 (x y)(x y) (x y)(x2 xy y2 ) 0.25
 x2 y2
 A x2 y2 với x y; x y
 1 Ta có 
 a2 b c b2 c a 
 a2b a2c b2c ab2 0 0.25
 ab(a b) c(a b)(a b) 0
 (a b)(ab bc ca) 0
 0.25
 Mà a b 0 , suy ra: 
 ab bc ca 0
 2
 bc a b c
 0.25
 abc a2 b c 2025 (1)
 ab bc ca 0
 ab c a b 
 0.25
 abc c2 a b .(2)
 Từ (1) và (2) ta được c2 a b 2025.
 (3x 1)(x 1)2 (3x 7) 7 0
 Nhân 2 vế của phương trình với 9 ta được
 2
 2 1 (3x 1)(3x 3) (3x 7) 63 0
 0.25
 (9x2 18x 7)(9x2 18x 9) 63 0
 Đặt y 9x2 18x 7 ta được
 DeThiToan.net