Bộ 50 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán các tỉnh năm 2023-2024 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYẾN SINH LỚP 10 THPT
AN GIANG NĂM HỌC 2023 – 2024
Khóa ngày: 03/06/2023
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN CHUYÊN
(Đề thi gồm có 01 trang) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. (1,0 điểm)
Thực hiện phép tính: 7 1 2 14 7 2 2.
3 2 2 2 1
+
= − + −
− −
A
Câu 2. (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình 3 6 2 3
2
 + = −

+ =
x y
x y
Câu 3. (1,0 điểm)
Phương trình 2 0+ + =x ax b (với a; b là các số nguyên) có một nghiệm là 5 21+ . Tính nghiệm
còn lại.
Câu 4. (1,0 điểm)
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số ( ) 2=f x ax và
( ) = − +g x ax b (a; b là các số thực), điểm chung thứ nhất có hoành
độ bằng 1. Tìm hoành độ của điểm chung thứ hai của hai đồ thị.
Câu 5. (1,5 điểm)
Cho 3 3 189+ =x y và ( )( )( )1 1 270+ + + =x y x y . Tính
.+x y
Câu 6. (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, BH là đường cao kẻ từ B ( )∈H AC . Gọi D, E lần lượt là
trung điểm của AB và AC, F là điểm đối xứng của điểm H qua DE.
a. Chứng minh rằng tứ giác ABFH nội tiếp.
b. Chứng minh .=FBA EFH
c. Chứng minh rằng BF đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 7. (1,0 điểm)
Một nhà máy sản xuất ống thép khi xuất xưởng các ống thép
được bó lại tạo thành khối gồm 37 ống như hình vẽ. Biết các ống
có dạng hình trụ đường kính đáy bằng nhau và bằng 10 cm . Tính
độ dài của một sơi dây đai để buột các ống thép lại với nhau.
---------- Hết ----------
Số báo danh: ...................................................... ; Phòng thi số: ..........................................
Bộ 50 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán các tỉnh năm 2023-2024 (Có đáp án) - DeThiToan.net
LƯỢT GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH 10 AN GIANG
Môn: TOÁN CHUYÊN
Năm học: 2023 – 2024
Đặng Lê Gia Khánh – Mai Anh Khoa
Câu 1. (1,0 điểm)
Thực hiện phép tính:
7 1 2 14 7 2 2.
3 2 2 2 1
+
= − + −
− −
A
Lời giải
7 1 2 14 7 2 2.
3 2 2 2 1
+
= − + −
− −
A
( )
( )( )
( )( )2 14. 2 1 7 2 2 3 2 27 1
3 2 2 (3 2 2)2 1 2 1
− − −+
= − +
− −− −
7 1 2 14. 2 2 14 3 7 6 2 2 14 8
3 2 2 3 2 2 3 2 2
+ − − − +
= − +
− − −
( )3 3 3 29 6 2
3 2 2 3 3 2
−−
= =
− −
= 3.
Câu 2. (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình
3 6 2 3
2
 + = −

+ =
x y
x y
Lời giải
( )
( )
3 6 2 3 1
2 2
 + = −

+ =
x y
x y
Trừ (1) và (2) theo vế ta được:
( ) ( )23 1 4 2 3 3 1 3 1− = − = − ⇒ = −y y
Thay vào (2) được ( )2 2 3 1 3 3.= − = − − = −x y
Vậy hệ đã cho có nghiệm ( ) ( ); 3 3; 3 1 .= − −x y
Bộ 50 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán các tỉnh năm 2023-2024 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Câu 3. (1,5 điểm)
Phương trình 2 0+ + =x ax b (với a; b là các số nguyên) có một nghiệm là 5 21+ . Tính nghiệm
còn lại.
Lời giải
Gọi 1 2;x x là hai nghiệm của phương trình 
2 0+ + =x ax b (1).
Không mất tính tổng quát, giả sử 1 5 21= +x và 2x là nghiệm còn lại.
Thay 1 5 21= = +x x vào (1) ta được:
( ) ( )25 21 5 21 0+ + + + =a b
46 10 21 5 21 0⇔ + + + + =a a b
( ) ( )10 21 5 46 0⇔ + + + + =a a b
Vì a; b là các số nguyên nên ta có hệ:
10 0 10 10
5 46 0 46 5 4
 + = = − = − ⇔ ⇔  + + = = − − = 
a a a
a b b a b
Suy ra phương trình (1) là 2 10 4 0.− = =x x
Theo hệ thức Vi-ét, ta được:
( )1 2 2 210 5 21 10 5 21+ = ⇒ + + = ⇒ = −x x x x .
Vậy nghiệm còn lại là 5 21= −x .
Câu 4. (1,0 điểm)
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số ( ) 2=f x ax và ( ) = − +g x ax b (a; b là các số thực), điểm chung
thứ nhất có hoành độ bằng 1. Tìm hoành độ của điểm chung thứ hai của hai đồ thị
Lời giải
Hình vẽ cho biết 0>a .
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:
( )2 2 0 *= − + ⇔ + − =ax ax b ax ax b .
Gọi nghiệm còn lại của (*) là 0x . Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
0 01 1 2+ = − = − ⇔ = −
ax x
a
Vậy hoành độ của điểm chung thứ hai là 2.= −x
Câu 5. (1,5 điểm)
Bộ 50 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán các tỉnh năm 2023-2024 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Cho 3 3 189+ =x y và ( )( )( )1 1 270+ + + =x y x y . Tính .+x y
Lời giải
Ta có biến đổi:
( ) ( )33 3 189 3 189+ = ⇔ + − + =x y x y xy x y
( )( )( ) ( )( )1 1 270 1 270+ + + = ⇔ + + + + =x y x y x y x y xy
Đặt ;= + =a x y b xy . , điều kiện bài toán trở thành:
( )
( )
( )
3 3
2
3 189 3 189 1
1 270 3 3 3 810 2
 − = − = ⇔ + + = + + = 
a ab a ab
a a b a ab a
Cộng (1) và (2) theo vế, ta được:
( )33 23 3 999 1 1000 1 10 9+ + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =a a a a a a .
Vậy 9.+ = =a y a
Câu 6, (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, BH là đường cao kẻ từ B ( )∈H AC . Gọi D, E lần lượt
là trung điểm của AB và AC, F là điểm đối xứng của điểm H qua DE.
a. Chứng minh rằng tứ giác ABFH nội tiếp.
b. Chứng minh .=FBA EFH
c. Chứng minh rằng BF đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải
a) Xét ∆AHB vuông cân tại H có D là trung điểm ⇒ = =AB DA DB DH (1).
OF
ED
H
A
B
C
Bộ 50 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán các tỉnh năm 2023-2024 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên =DH DF (2).
Từ (1) và (2) ⇒ = = =DA DH DB DF .
Suy ra bốn điểm A, H, B, F cùng thuộc được tròn đường kính AB.
Vậy tứ giác ABFH nội tiếp.
b) Tứ giác ABFH nội tiếp (câu 6a) ⇒ =FBA FHE (3).
Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên .=EH EF
Suy ra ∆EHF cân tại E ⇒ =FHE EFH (4).
Từ (3), (4) .⇒ =FBA EFH
c) Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên
 ( )1 5
2
=FDE HDF
Từ câu 6a, có A, H, B, F thuộc đường tròn tâm D đường kính AB nên
 ( )1 6
2
=HAF HDF .
Từ (5), (6) .⇒ = =FDE HAF EAF
Suy ra tứ giác FDAE nội tiếp. (7)
Xét đường tròn (O) tâm O ngoại tiếp ∆ABC có
D là trung điểm dây AB 090⇒ =ODA
E là trung điểm dây AC 090⇒ =OEA
Xét tứ giác ODAE có:
0180+ =ODA OEA
Nên tứ giác ODAE nội tiếp đường tròn đường kính AO. (8)
Kết hợp (7), (8) , , , , ⇒ A D F O E cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
090⇒ = =AFO ADO (cùng chắn cung AO).
Mặt khác: 090=AFB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)
Suy ra: 0180+ =AFO AFB , nghĩa là B, F, O thẳng hàng.
Vậy BF đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp .∆ABC
Câu 7. (3,5 điểm)
Một nhà máy sản xuất ống thép khi xuất xưởng các ống thép được bó lại tạo thành khối gồm 37
ống như hình vẽ. Biết các ống có dạng hình trụ đường kính đáy bằng nhau và bằng 10 cm . Tính độ dài
của một sơi dây đai để buột các ống thép lại với nhau.
Lời giải
Bộ 50 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán các tỉnh năm 2023-2024 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Đặt ( ), d r cm lần lượt là đường kính và bán kính của các ống thép
10 ; / 2 5 .⇒ = = =d cm r d cm
Ký hiệu các điểm như hình minh họa bên.
Trong đó:
A, B, M, N, H là các tiếp điểm giữa dây đai với các ống thép.
D, C, E, F, O là tâm của một số ống thép.
Giả sử các ống thép tiếp xúc khít nhau và dây đai buộc chính xác.
Dễ thấy ABCD là hình chữ nhật.
( ) ( )3 3.10 30 1⇒ = = = =AB CD d cm
Nên hiển hiên các điểm A, D, H, E thẳng hàng.
Xét ∆DEF có:
( ) ( )22 2 22 2 2 2 2 3 10 3 = = − = − = =DE DH OD OH r r r cm
Tương tự cũng tính được ( )10 3 =DF cm và ( )10 3 .=EF cm
Như vậy ( )10 3 = = =DE EF DF cm nên ∆DEF là tam giác đều 060 .⇒ =EDF
Suy ra 060= =ADM EDF (đối đỉnh).
Chiều dài cung AM bằng
( ) ( ).5.60 5 2
180 3
π π= cm
Từ hình vẽ, kết hợp (1) và (2) ta tính được chiều dài dây đai là:
( )56. 6.30 180 10 .
3
π π= + = +l cm
---------- Hết ----------
HÌNH VẼ
Bộ 50 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán các tỉnh năm 2023-2024 (Có đáp án) - DeThiToan.net
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU
.
NĂM HỌC 2023 – 2024
ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi môn TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 07/06/2023
Câu 1 (3 điểm):
a) Rút gọn biểu thức:
3 2 1:
12 3 2 1
x x x xP
xx x x x
 − −
= − 
−− − − + 
, với 0; 1; 9.x x x≥ ≠ ≠
b) Giải phương trình: 32 6 2 8x x x− + = +
c) Giải hệ phương trình:
2 2
2
2 2 0
1 1
y x xy y x
x y x y
 − − − + =

− − + + =
Câu 2 (1,5 điểm):
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ),x y thỏa mãn đẳng thức:
3 2 22 2 2 2 1 0x x y xy x y y+ − + − + + =
b) Cho 31 điểm bất kì nằm bên trong hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 12 . Chứng minh rằng tồn tại một hình
tròn có bán kính bằng 1 nằm bên trong hình vuông ABCD và không chứa điểm nào trong 31 điểm đã cho.
Câu 3 (2,0 điểm):
a) Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn điều kiện: 4 1
4
b c
a
−
≥ . Chứng minh rằng phương trình 2 0ax bx c+ + = có
ít nhất một nghiệm âm
b) Với các số thực dương , ,a b c thay đổi thoả mãn 1abc = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2
3 3 3 3 3 31 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8
a b cP
a b b c c a
= + +
+ + + + + +
Câu 4 (2,5 điểm): Cho đường tròn ( );O R và điểm A sao cho 2OA R> . Từ A vẽ hai tiếp tuyến ,AB AC của (O) (B,
C là hai tiếp điểm). Vẽ dây cung CD của (O) song song với AB. Đường thẳng AD cắt (O) tại E khác A và cắt BC tại G.
Qua G vẽ đường thẳng vuông góc với OG lần lượt cắt hai đường thẳng AB, AC tại M và N.
a) Chứng minh tam giác OMN cân
b) Gọi I là trung điểm của DE, OA cắt BC tại K. Chứng minh: 2IE IA IG= ⋅
c) Tia BE cắt AC ở H . Chứng minh CE đi qua trung điểm của HG.
Bộ 50 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán các tỉnh năm 2023-2024 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Câu 5 (1,0 điểm): Cho đường tròn (O) bán kính 1. Ba điểm phân biệt A, B, C thay đổi nằm trên đường tròn (O) sao
cho điểm O nằm bên trong tam giác ABC . Các đường thẳng OA, OB, OC lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
OBC, OCA, OAB tại M, N, P khác O. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2S OM ON OP= + +
.HẾT 
Bộ 50 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán các tỉnh năm 2023-2024 (Có đáp án) - DeThiToan.net
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Câu 1 (3 điểm):
a) Rút gọn biểu thức: 3 2 1:
12 3 2 1
x x x xP
xx x x x
 − −
= − 
−− − − + 
, với 0; 1; 9.x x x≥ ≠ ≠
b) Giải phương trình: 2 36 2 8x x x− + = +
c) Giải hệ phương trình:
2 2
2
2 2 0
1 1
y x xy y x
x y x y
 − − − + =

− − + + =
Giải :
a)
2
( 3) 2 1 ( 1) 2 1: :
1( 1)( 3) ( 1) ( 1)( 1) 1
x x x x x x xP
xx x x x x x
 − − − − −
= − = 
−+ − − − + − 
( 1) ( ( 1))
( 1)( 1)
x xP x x
x x
− +
⇒ = ⋅ − − =
− +
b) Điều kiện: 2x ≥ − . Phương trình ( ) ( )2 22 4 ( 2) 2 ( 2) 2 4 0x x x x x x⇔ − + + + −