Bộ 53 Đề thi vào Lớp 10 chuyên Toán các tỉnh năm 2022-2023 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
	TỈNH AN GIANG	Năm học: 2022 - 2023
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
	Môn thi: TOÁN - CHUYÊN
	Thời gian làm bài: 150 phút
	(Không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (2,5 điểm)
Cho 
a) Tính giá trị biểu thức khi .
b) Tìm biết .
Bài 2. (2,0 điểm)
Cho Parabol và hai điểm , .
a) Vẽ đồ thị và hai điểm trên cùng hệ trục toạ độ.
b) Viết phương trình đường thẳng song song với và tiếp xúc với .
Bài 3. (2,0 điểm) 
Cho phương trình bậc hai ẩn là tham số: .
a) Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt .
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương.
Bài 4. (2,0 điểm) 
Cho tam giác vuông tại , . Biết rằng đường tròn qua ba điểm ( là trung điểm của ) cắt tại với là tia phân giác của góc .
a) Chứng minh .
b) Chứng minh .
c) Tính độ dài cạnh .
Bài 5. (1,0 điểm)
Một nông dân thu hoạch 100 trái dưa lưới có khối lượng trung bình là 1,5 kg. Trong 100 trái này có các trái dưa lưới nặng hơn 1,5 kg có khối lượng trung bình là 1,73 kg, các trái dứa lưới nhẹ hơn 1,5 kg có khối lượng trung bình 1,33 kg và các trái dưa lưới nặng đúng 1,5 kg.
a) Tìm biểu thức liên hệ giữa số trái dưa lưới theo khối lượng của chúng.
b) Có ít nhất bao nhiêu trái dưa lưới nặng đúng 1,5 kg?
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Hướng dẫn giải:
Bài 1. (2,5 điểm)
Cho 
a) Tính giá trị biểu thức khi .
b) Tìm biết .
Lời giải
Với điều kiện 
a) Với thì .
Suy ra .
Do .
b) Đặt . Biểu thức trở thành 
Do nên hoặc .
Với (nhận).
Với (nhận).
Vậy tìm được các giá trị là .
Bài 2. (2,0 điểm)
Cho Parabol và hai điểm , .
a) Vẽ đồ thị và hai điểm trên cùng hệ trục toạ độ.
b) Viết phương trình đường thẳng song song với và tiếp xúc với .
Lời giải
a) Vẽ đồ thị hàm số , ta có bảng sau:

-2
-1
0
1
2

-8
-2
0
-2
-8

b) Gọi là phương trình đường thẳng qua hai điểm .
Khi đó .
Phương trình đường thẳng có dạng ( là hằng số)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của .
 tiếp xúc nhau phương trình có nghiệm kép
Vậy là phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 3. (2,0 điểm) 
Cho phương trình bậc hai ẩn là tham số: .
a) Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt .
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương.
Lời giải
Phương trình là phương trình bậc hai ẩn nên .
a) Biệt thức .
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
Vậy với và thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt .
b) Do nguyên dương , tức là .
Từ câu 3 a thấy với , phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt .
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: và .
Dấu "=" xảy ra khi .
Bài 4. (2,0 điểm) 
Cho tam giác () nội tiếp trong đường tròn đường kính . Gọi là một điểm thuộc đoạn ( khác và ). Qua kẻ đường vuông góc với cắt tại và kéo dài tại . Gọi là điểm đối xứng của qua điểm .
a) Chứng minh rằng các tứ giác và nội tiếp.
b) Chứng minh .
Lời giải
Xét và có
 Tứ giác BMLA nội tiếp)
 (góc chung)
Nên hai tam giác CML, CAB đồng dạng
 (1).
a) là trung điểm 
.
Từ .
b) Từ (1) .
c) BL là tia phân giác 
Mà B, M, L, A cùng thuộc một đường tròn nên .
Từ câu .
Từ câu .
 vuông tại (2).
Từ vì .
Bài 5. (1,0 điểm)
Một nông dân thu hoạch 100 trái dưa lưới có khối lượng trung bình là 1,5 kg. Trong 100 trái này có các trái dưa lưới nặng hơn 1,5 kg có khối lượng trung bình là 1,73 kg, các trái dứa lưới nhẹ hơn 1,5 kg có khối lượng trung bình 1,33 kg và các trái dưa lưới nặng đúng 1,5 kg.
a) Tìm biểu thức liên hệ giữa số trái dưa lưới theo khối lượng của chúng.
b) Có ít nhất bao nhiêu trái dưa lưới nặng đúng 1,5 kg?
Lời giải
a) Gọi x, y, z lần lượt là số quả dưa nặng hơn 1,5 kg; bằng 1,5 kg; nhẹ hơn 1,5 kg. 
(trong đó x, y, z là các số nguyên dương).
Khi đó ta có (1) .
b) Theo cách gọi ở câu a), ta có: (2).
Từ (1), (2) .
Vì nên đặt . Từ đó suy ra
Vậy có ít nhất 20 trái dưa lưới nặng đúng 1,5 kg.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BÀ RỊA-VŨNG TÀU
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
Năm học: 2022 – 2023
ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Chuyên)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi:09/06/2022


Câu 1 (3,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức với .
b) Giải phương trình: .
c) Giải hệ phương trinh: .
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm 
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình.
 Câu 3 (1,0 điểm).
Với các số thực dương thỏa mãn .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm và có ba đường cao cắt nhau tại . Gọi lần lượt là trung điểm của và .
a) Chứng minh rằng vuông góc với và song song với .
b) Gọi lần lượt là giao điểm của với và . Chứng minh rằng .
c) Đường thẳng chứa tia phân giác của cắt lần lượt tại và . Tia phân giác của cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm khác . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho tam giác cố định có diện tích . Đường thẳng thay đổi đi qua trọng tâm của tam giác cắt các cạnh lần lượt tại , Gọi lần lượt là diện tích các tam giác và . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
--------------HẾT-------------
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức với .
b) Giải phương trình: .
c) Giải hệ phương trinh: .
Lời Giải:
a) .
b) Điều kiện : .
Phương trình .
 (không thỏa mãn điều kiện).
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là .
c) Cộng hai phương trình đã cho theo vế được .
Trường hợp thay vào phương trình sau của hệ thu được
Trường hợp thay vào phương trình sau của hệ thu được
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm 
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình.
Lời Giải:
a) Phương trình đã cho . 
Ta có và 
Giả sử phương trình này vô nghiệm, khi đó cả hai phương trình (1), (2) đều vô nghiệm. Tức là .
 Lúc này theo giả thiết thì . 
Tuy nhiên điều này vô lý do .
Vậy với điều kiện đề cho thì pt luôn có nghiệm
b/ Đặt 
Khi đó 
Ta có 	
Nếu 
 (loại)
Nếu 
*)
 (nhận)
*)
 (loại)
Vậy thỏa mãn pt đã cho
 Câu 3 (1,0 điểm).
Với các số thực dương thỏa mãn .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời Giải:
Ta có : 
.
Do đó : .
Đẳng thức xảy ra . 
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là .
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm và có ba đường cao cắt nhau tại . Gọi lần lượt là trung điểm của và .
a) Chứng minh rằng vuông góc với và song song với .
b) Gọi lần lượt là giao điểm của với và . Chứng minh rằng .
c) Đường thẳng chứa tia phân giác của cắt lần lượt tại và . Tia phân giác của cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm khác . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Lời Giải:
a) 
là đường trung trực của .
Kẻ đường kính của 
 là hình bình hành 
 là trung điểm của .
b) Các tứ giác là các tứ giác nội tiếp nên ta có 
và do là phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác . 
Đến đây theo tính chất đường phân giác thì .
c) Ta có 
 cân tại 
là đường kính của 
.
 Gọi là giao điểm của và là giao điểm của . 
Khi đó tứ giác là hình bình hành
 nên đi qua trung điểm của . 
Đến đây sử dụng định lý Talet và tính chất đường phân giác ta được 
.
 Tuy nhiên hai tam giác đồng dạng nên . 
Cho cắt tại 
sử dụng định lý Talet thì 
. 
Vậy ba điểm thẳng hàng.
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho tam giác cố định có diện tích . Đường thẳng thay đổi đi qua trọng tâm của tam giác cắt các cạnh lần lượt tại , Gọi lần lượt là diện tích các tam giác và . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Lời Giải:
Gọi là trung điểm và là trọng tâm tam giác .
Ta có : 
Mà 
.
Đẳng thức xảy ra .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là , đạt được khi và chỉ khi .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG
NĂM HỌC 2022 - 2023
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 06/6/2022
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu I (5,0 điểm).
1) Cho biểu thức với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm tất cả các giá trị của để 
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn 
Câu II (4,0 điểm).
1) Cho đa thức và số Tính 
2) Giải phương trình 
Câu III (4,0 điểm). 
1) Tìm ba số nguyên thỏa mãn 
2) Cho chín số nguyên dương đều không có ước số nguyên tố nào khác 3; 5 và 7. Chứng minh rằng trong chín số đã cho luôn tồn tại hai số mà tích của hai số này là một số chính phương.
Câu IV (6,0 điểm). Cho nửa đường tròn đường kính . Gọi là một điểm thuộc nửa đường tròn đã cho, là hình chiếu của trên . Đường thẳng qua và song song với cắt tiếp tuyến tại của nửa đường tròn tại điểm 
1) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
2) Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các đường thẳng và . Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.
3) Gọi lần lượt là trung điểm của và . Xác định vị trí của điểm để diện tích tứ giác đạt giá trị lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm). Cho ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng
----------------HẾT----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.................................................................................... Số báo danh:.........................................................
Cán bộ coi thi số 1 (Họ tên và chữ ký):................................................................................................................................. 
Cán bộ coi thi số 2 (Họ tên và chữ ký):.................................................................................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
HDC CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG
NĂM HỌC 2022 - 2023
NGÀY THI: 06/6/2022
MÔN THI: TOÁN
 (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)
Lưu ý khi chấm bài:
Dưới đây chỉ là sơ lược các bước giải. Lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ hợp logic. Nếu học sinh làm cách khác mà giải đúng thì cho điểm tối đa.
Đối với câu IV, học sinh không vẽ hình thì không chấm. 
Điểm toàn bài không làm tròn.

Câu
Hướng dẫn giải
Điểm
Câu I

(5,0 đ)

Phần 1,a
(2,0 điểm)

0,5
 
0,5
 
0,5
Vậy với 
0,5
Phần 1,b
(1,0 điểm)
+ Với ta có : không thỏa mãn
+ Với ta có: 
0,5

Kết hợp với điều kiện của