Bộ 9 Đề thi chuyên Toán Tin vào Lớp 10 Quảng Nam (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NAM
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
THPT CHUYÊN VÀ PTDTNT TỈNH NĂM HỌC 2024 - 2025
Môn thi: Toán (chuyên Tin học)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Khóa thi ngày: 04 - 06/6/2024
Câu 1. (1,5 điểm)
Cho biểu thức 3 3 1 2:
1 2 1
x xP
x x x x
với điều kiện 0, 1, 4x x x .
a) Rút gọn biểu thức .P
b) Tìm tất cả các giá trị của x để 3.P 
Câu 2. (1,5 điểm)
a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên ;x y của phương trình 6 3 2 8 0xy x y .
b) Cho 9 2024 . 2024 9A m n m n với m và n là hai số nguyên dương. Chứng minh
rằng nếu A chia hết cho 19 thì A có ít nhất một ước số là số chính phương khác 1 .
Câu 3. (1,5 điểm)
a) Giải hệ phương trình
3 1 5
1 3 .
x y
x y
b) Giải phương trình 2 2 2 1 1x x x x .
Câu 4. (1,0 điểm)
Trên cùng mặt phẳng toạ độ ,Oxy cho parabol 2:P y x và đường thẳng 1: 3 3y xd m .
Tìm tất cả các giá trị của m để P và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2;x x thoả
mãn 2 21 2 1 2 10.x x x x 
Câu 5. (3,5 điểm)
Cho tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối không song song và tứ giác đó nội tiếp đường tròn
 O có đường kính .AB Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AB và ,CD F là giao điểm của
hai đường thẳng AD và .BC Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại .I Qua I kẻ đường thẳng
vuông góc với đường thẳng AB và cắt đường thẳng AB tại .H
a) Chứng minh tứ giác BCIH nội tiếp một đường tròn.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF tại điểm
thứ hai là .M Chứng minh ba điểm , ,E M F thẳng hàng.
c) Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng CH và .BI Chứng minh . .BN DN IN BD BN 
Câu 6. (1,0 điểm)
Cho ba số dương , ,x y z thoả mãn 2 2 2 1x y z . Chứng minh rằng:
2 2 2
1
1 1 1
x y z
y x z y x z
.
---------- HẾT ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .. Số báo danh: .........
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ SỐ 1
Bộ 9 Đề thi chuyên Toán Tin vào Lớp 10 Quảng Nam (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Câu Nội dung Điểm
Câu 1.
Cho biểu thức 3 3 1 2:
1 2 1
x xP
x x x x
với điều kiện 0, 1, 4x x x .
a) Rút gọn biểu thức .P
b) Tìm tất cả các giá trị của x để 3.P 
1,5
1a 
3 3 1 1 1 2 2
:
1 2 1
x x x x x x
P
x x x x
0,25
3 1 4:
1 2 1
x x
x x x x
 0,25
 2 13 .
31
x x
x x
0,25
2x
x
 0,25
1b 2 13 3 2 3
2
xP x x x
x
 ( vì 0x ) 0,25
1
4
x . Kết hợp điều kiện ban đầu ta được: 10
4
x . 0,25
Câu 2.
a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên ;x y của phương trình 6 3 2 8 0xy x y .
b) Cho 9 2024 . 2024 9A m n m n với m và n là hai số nguyên dương. Chứng minh
rằng nếu A chia hết cho 19 thì A có ít nhất một ước số là số chính phương khác 1 .
1,5
2a 6 3 2 8 0 6 3 2 1 7 2 1 . 3 1 7xy x y xy x y y x 0,25
Kẻ bảng các trường hợp
3 1x 7 1 1 7
2 1y 1 7 7 1
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NAM
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
THPT CHUYÊN VÀ PTDTNT TỈNH
NĂM HỌC 2024 - 2025
(Hướng dẫn chấm có 06 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (CHUYÊN TIN)HDC CHÍNH THỨC
Bộ 9 Đề thi chuyên Toán Tin vào Lớp 10 Quảng Nam (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Giải các trường hợp trên với ;x y là cặp số nguyên, ta được các nghiệm của phương trình
đã cho là: 0;4 và 2;1 . 0,25
2b
Giả sử 9 2024 . 2024 9 19m n m n  
9 2024 19
2024 9 19
m n
m n


, vì 19 là số nguyên tố. 0,25
Trường hợp 1: 9 2024 19m n 
Vì 9 2024 2024 9 2033 19.107 19m n m n m n m n  nên 2024 9 19m n 
Do đó, 9 2024 . 2024 9 19.19m n m n  hay 219A .
0,25
Trường hợp 2: 2024 9 19m n  , tương tự ta cũng thu được
 29 2024 . 2024 9 19m n m n 
Vậy nếu A chia hết cho 19 thì A có ít nhất một ước số là số chính phương khác 1.
0,25
Câu 3.
a) Giải hệ phương trình
3 1 5
1 3 .
x y
x y
b) Giải phương trình 2 2 2 1 1x x x x .
1,5
3a
Điều kiện:
0
1 0
x
y
.
Khi đó
3 1 5 2 2
1 31 3
x y x
x yx y
0,25
1
1 2
x
y
0,25
1 1
1 4 3
x x
y y
( thoả điều kiện).
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm ;x y duy nhất là 1;3 .
0,25
3b Điều kiện: 1 0x . (*)
2 2
2
2
2 2 1 1 2 1 2 1 2
2 1 1 2 1 1 2
1 2 1 1
x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
0,25
 2 21 2 1 1 0 1 1 0 1 1x x x x x x x x 0,25
Bộ 9 Đề thi chuyên Toán Tin vào Lớp 10 Quảng Nam (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
 2 2
11 0 1
00
3 01 1
3
xx x
xx
x xx x
x
( thoả điều kiện (*)).
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất 0x .
0,25
Câu 4.
Trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol 2:P y x và đường thẳng 1: 3 3y xd m .
Tìm tất cả các giá trị của m để P và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2;x x thoả
mãn 2 21 2 1 2 10.x x x x 
1,0
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 23 3 1 3 3 1 0x x m x x m (1)
để P và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì điều kiện là phương trình (1) phải có hai
nghiệm phân biệt 1 2;x x , hay 2 133 4 3 1 0 12 13 0 12m m m .
0,25
Khi đó, theo định lí Vi-ét ta có:
1 2
1 2
3 (2)
. 3 1 (3) .
x x
x x m
Theo đề, 22 21 2 1 2 1 2 1 2 1 210 2 10x x x x x x x x x x (4)
0,25
Thay (2) và (3) vào (4) ta được:
 23 2 3 1 3 1 10 3 1 6 1m m m m 
0,25
116 1 0 66 23 1 6 1 03 0 9
3 1 6 1 29 2
9
mm m
m m mmm
m m m m
.
So sánh điều kiện ta được 2
9
m là giá trị cần tìm.
0,25
Bộ 9 Đề thi chuyên Toán Tin vào Lớp 10 Quảng Nam (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Câu 5.
Cho tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối không song song và tứ giác đó nội tiếp đường tròn
 O có đường kính .AB Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AB và ,CD F là giao điểm của
hai đường thẳng AD và .BC Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại .I Qua I kẻ đường thẳng
vuông góc với đường thẳng AB và cắt đường thẳng AB tại .H
a) Chứng minh tứ giác BCIH nội tiếp một đường tròn.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF tại điểm
thứ hai là .M Chứng minh ba điểm , ,E M F thẳng hàng.
c) Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng CH và .BI Chứng minh . .BN DN IN BD BN 
3,5
5a
Hình vẽ phục vụ giải câu 5a): 0,5
0,5
Ta có: 90IHB  ( vì IH AB )
 90ICB  ( vì C thuộc nửa đường tròn O )
0,25
0,25
Tứ giác BCIH có 90 90 180IHB ICB    nên nội tiếp được đường tròn. 0,25
5b DMC AFB ( cùng chắn cung DC của đường tròn ngoại tiếp tam giác DFC )
 CME ABF ( cùng bù với CBE )
 FMD DCF ( cùng chắn cung DF của đường tròn ngoại tiếp tam giác DFC )
và DCF FAB ( cùng bù với DCB )
Suy ra FMD FAB 
0,25
0,25
0,25
Bộ 9 Đề thi chuyên Toán Tin vào Lớp 10 Quảng Nam (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Có: 180FME FMD DMC CME FAB AFB ABF  ( tổng ba góc trong của tam
giác)
Nên , ,E M F thẳng hàng.
0,25
5c Ta có: ICH DBA ( cùng chắn cung IH của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCIH )
 DCA DBA ( cùng chắn cung AD của đường tròn O ) 
0,25
Suy ra DCA ICH . Do đó, CI là đường phân giác trong của tam giác CDN . 0,25
Vì CI CB nên CB là đường phân giác ngoài của tam giác CDN . 0,25
Từ đó, ta có ID BD CD
IN BN CN
 . 0,25
Suy ra
. . . .
. . . .
ID BD BD IN BN ID BD IN BN DN IN
IN BN
BN DN BD IN BN IN BN DN IN BD BN
0,25
Câu 6.
Cho ba số dương , ,x y z thoả mãn 2 2 2 1x y z . Chứng minh rằng:
2 2 2
1
1 1 1
x y z
y x z y x z
.
1,0
Từ giả thiết suy ra 0 1, 0 1, 0 1x y z .
Ta có:
22 22
2 2 2 3
1 1 1
1
1 1 1
x y x x y x y xx x y x x x y x
y x y x y x
(vì 21 1 y x )
Tương tự:
2
2 2 3
1
y y y z y
z y
2
2 2 3
1
z z z x z
x z
0,25
Do đó:
2 2 2
3 3 3 2 2 2 1
1 1 1
x y z x y z x y y z z x
y x z y x z
(vì 2 2 2 1x y z ).
0,25
Bộ 9 Đề thi chuyên Toán Tin vào Lớp 10 Quảng Nam (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương, ta có:
3 3 3 3 3 3 233 3x x y x x y x y 
Tương tự: 3 3 3 23y y z y z 
3 3 3 23z z x z x 
0,25
Suy ra 3 3 3 2 2 23 3 3 3 3 3x y z x y y z z x 
3 3 3 2 2 2
3 3 3 2 2 2 0
x y z x y y z z x
x y z x y y z z x
Vậy
2 2 2
1
1 1 1
x y z
y x z y x z
. Dấu “=” xảy ra khi 3
3
x y z .
0,25
...........HẾT...........
* Lưu ý:
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng đúng thì vẫn cho đủ
số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
* Cách 2 câu 3b.
Giải phương trình 2 2 2 1 1x x x x . 0,75
Đặt 1, 0t x t thì 2 21 1t x x t . Phương trình đã cho trở thành
 22 2 2
4 2 3
1 1 2 2 1 1
3 4 2 4
t t t t
t t t t
4 3 22 3 4 4 0t t t t (1)
0,25
3 2 2
2 2
1 3 4 0 1 1 4 4 0
1
1 2 0
2
t t t t t t t
t
t t
t
So sánh điều kiện 0t ta được 1t là nghiệm của phương trình (1) .
0,25
Với 1t thì 1 1 1 1 0x x x là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 0,25
Bộ 9 Đề thi chuyên Toán Tin vào Lớp 10 Quảng Nam (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NAM
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
THPT CHUYÊN, PTDTNT TỈNH
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn thi: Toán (chuyên Tin học)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Khóa thi ngày: 06-08/6/2023
Câu 1. (1,5 điểm)
Cho biểu thức
2 7 2:
9 3 3
x x xA
x x x x x
với 0, 9x x .
Rút gọn biểu thức A và tìm tất cả các giá trị của x để 2A .
Câu 2. (1,5 điểm)
Cho tổng 2 2 221 1 2S n n n n , n .
a) Chứng minh S là số tự nhiên chẵn. Tìm tất cả các giá trị của n để 10S là số chính
phương.
b) Chứng minh rằng nếu
2
S là số nguyên tố thì n chia cho 3 dư 1 .
Câu 3. (1,5 điểm)
a) Giải phương trình 2 23 3 2x x x x .
b) Giải hệ phương trình
2 2
2
4 4 0
2 4 0
x y x y
x xy
.
Câu 4. (1,0 điểm)
Cho hàm số 22y x có đồ thị P và đường thẳng : 2d y mx m ( m là tham số,
0m ). Tìm tất cả các giá trị của m để P cắt d tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2,x x
thỏa mãn 1 20x x và 2 21 2 5x x .
Câu 5. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC AB BC CA nội tiếp đường tròn O . Các tiếp tuyến của
đường tròn O tại ,B C cắt nhau tại M . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM cắt tia đối
của tia BM tại N . Tia NA cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là D . Kẻ BE CN
 E CN , đường thẳng BO cắt CN tại F .
a) Chứng minh 2.NA ND NB .
b) Chứng minh tứ giác ADFE nội tiếp.
c) Chứng minh 2.NAE CNB .
Câu 6. (1,0 điểm)
Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn 6a b c .
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S ab bc ca .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 24