Bộ 9 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Tuyên Quang (Có đáp án)

 Bộ 9 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThiToan.net
 DeThiToan.net Bộ 9 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐỀ SỐ 1
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
 TUYÊN QUANG Năm học 2025 – 2026
 Môn thi: Toán (Chuyên)
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (2,0 điểm)
 2 3 1 13 4 3
1. Rút gọn biểu thức A .
 29 12 5 2 5
2. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 2xy = x + y. Chứng minh rằng:
a) xy ≥ 1; 
b) x2 1 y2 1 x y 2 8.
Câu 2. (2,5 điểm)
1. Cho phương trình x2 – (m + 1) + m – 4 = 0 (1), với m là tham số.
a) Giải phương trình (1) với m = 1.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
 2 2
 x1 mx1 m x2 mx2 m 2.
 x2 8y2 12
2. Giải hệ phương trình .
 3 2
 x 2xy 12y 0
Câu 3. (3,0 điểm) 
Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp (O). Kẻ đường kính AD của (O); AD cắt BC ở E; 
đường cao AH của tam giác ABC cắt (O) ở F khác A. Gọi K là hình chiếu của D trên BC; 
FK cắt (O) ở I khác F.
a) Chứng minh rằng FH = DK.
b) Gọi J là giao điểm của AK và EI. Chứng minh rằng JE.JI = JA.JK.
c) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC ở S. Chứng minh rằng SD, EI và (O) cùng đi qua một 
điểm.
Câu 4. (1,5 điểm)
1. Cho hai hộp đựng thẻ: hộp I gồm 5 thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, 5; hộp II gồm 5 thẻ được 
đánh số 6, 7, 8, 9, 10 (các thẻ khác nhau được đánh số khác nhau). Rút ngẫu nhiên ở mỗi hộp 
một thẻ, tính xác suất để tích hai số trên các thẻ rút được là số chẵn.
2. Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Mỗi lần thay đa thức này bởi một trong hai đa thức cx2 + 
bx + a hoặc (a b c)x2 (2a b)x a. Nếu cho đa thức F(x) = x2 + 4x + 3 thì sau một số lần 
thay đổi có được đa thức g(x) = x2 + 10x + 9 không? Vì sao?
 DeThiToan.net Bộ 9 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThiToan.net
Câu 5. (1,0 điểm) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng:
a) A = 4p – 3p – 1 chia hết cho 3p.
b) A = 4p – 3p – 1 chia hết cho 39p. 
 ---------HẾT---------
 DeThiToan.net Bộ 9 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐÁP ÁN
 2 3 1 13 4 3
1. Rút gọn biểu thức A .
 29 12 5 2 5
 Hướng dẫn
Ta có:
 13 4 3 12 4 3 1 2 3 1.
 29 12 5 20 12 5 9 2 5 3.
 2 3 1 13 4 3 2 3 1 2 3 1 12 1 11
A .
 29 12 5 2 5 2 5 3 2 5 3 3
2. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 2xy = x + y. Chứng minh rằng:
a) xy 1;
b) x2 1 y2 1 x y 2 8.
 Hướng dẫn
a) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 2xy x y 2 xy.
Vì x, y 0 nên xy 1 xy 1.
b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
x2 y2 2 2 x2 1 y2 1 (x y)2 8 2 x2 y2 x2 y2 1 6 2xy.
Nếu 6 2xy 0 thì bất đẳng thức đúng, ngược lại thì
x2 y2 x2 y2 1 3 xy 2 x2 y2 6xy 8 0 x y 2 4xy 8 0
 (xy)2 xy 2 0 xy 1 xy 2 0, luôn đúng vì xy 1.
Câu 2 (2,5 điểm)
1. Cho phương trình x2 (m 1)x m 4 0 (1), với m là tham số.
a) Giải phương trình (1) với m 1.
b) Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
 2 2
 x1 mx1 m x2 mx2 m 2. 
 Hướng dẫn
 2 2 x 1
a) Với m 1 thì (1) trở thành x 1 1 x 1 4 0 x 2x 3 0 
 x 3
Vậy với m 1 thì phương trình có tập nghiệm S 1;3.
b) (1) là phương trình bậc hai có 
 (m 1)2 4(m 4) m2 6m 17 (m 3)2 8 0.
 DeThiToan.net Bộ 9 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThiToan.net
Suy ra (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
Ta có x2 (m 1)x m 4 0 x2 mx x m 4 x2 mx m x 4.
 2
 x1 mx1 m x1 4
Do x , x là nghiệm của (1) nên .
 1 2 2
 x2 mx2 m x2 4
Thay lại yêu cầu bài toán ta được
 x1 4 x2 4 2 x1x2 4 x1 x2 16 2 x1x2 4 x1 x2 14 0 (2)
Theo định lí Viète ta có x1 x2 m 1 và x1x2 m 4.
 14
Thay vào (2) ta được m 4 4(m 1) 14 0 m .
 5
 14
Vậy m .
 5
 x2 8y2 12
2. Giải hệ phương trình .
 3 2
 x 2xy 12y 0
 Hướng dẫn
Thế 12 x2 8y2 vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình
x3 2xy2 12y 0 x3 2xy2 x2 8y2 y 0
 x3 x2 y 2xy2 8y3 0 (1).
Với y 0 ta nhận thấy không thỏa hệ. Với y 0 ta biến đổi phương trình (1) ta có
 3 2
 x x x 
 2 8 0
 y y y 
 x
Đặt t ta được phương trình t3 t 2 2t 8 0 (t 2)(t 2 t 4) 0.
 y
 2
 2 1 15
Nhận xét: t t 4 t 0 . 
 2 4
Do đó t 2 hay x 2y.
Thế x 2y vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có 12y2 12 y 1.
Với y 1 thì x 2.
Với y 1 thì x 2.
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm S 2;1 ; 2; 1 .
Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp (O). Kẻ đường kính AD của (O); 
AD cắt BC ở E; đường cao AH của tam giác ABC cắt (O) ở F khác A. Gọi K là hình chiếu 
của D trên BC; FK cắt (O) ở I khác F.
a) Chứng minh rằng FH = DK.
b) Gọi J là giao điểm của AK và EI. Chứng minh rằng JE.JI JA.JK.
 DeThiToan.net Bộ 9 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThiToan.net
c) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC ở S. Chứng minh rằng SD, EI và (O) cùng đi qua một 
điểm.
 Hướng dẫn
a) Ta có ·AFD 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 
Mặt khác FH  HK, DK  HK nên FHKD là hình chữ nhật.
Suy ra FH = DK.
b) Từ ý a) ta có FD // HK, suy ra I·KC I·FD (đồng vị) I·AD (góc nội tiếp)  I·AE do đó IAEK nội 
tiếp.
Suy ra E· AK E· IK hay E· AJ K· IJ. 
Mặt khác ·AJE I·JK (đối đỉnh) nên hai tam giác EAJ và KIJ đồng dạng.
 JA JE
Suy ra hay JE.JI JA.JK.
 JI JK
c) Gọi M là giao điểm của EI với (O).
Vì SA là tiếp tuyến nên SA  AD suy ra SAKD nội tiếp, do đó
·ADS ·AKS  ·AKE ·AIE (tứ giác AIKE nội tiếp)  ·AIM ·ADM (góc nội tiếp).
Suy ra S, M, D thẳng hàng hay SD, EI và (O) cùng đi qua điểm M.
Câu 4 (1,5 điểm)
1. Cho hai hộp đựng thẻ: hộp I gồm 5 thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, 5; hộp II gồm 5 thẻ được 
đánh số 6, 7, 8, 9, 10 (các thẻ khác nhau được đánh số khác nhau). Rút ngẫu nhiên ở mỗi hộp 
một thẻ, tính xác suất để tích hai số trên các thẻ rút được là số chẵn.
 Hướng dẫn
Vì mỗi số được chọn ở hộp I thì có tương ứng 5 số có thể chọn ở hộp II nên ta có 
n() 5.5 25.
Gọi A là biến cố tích hai số trên các thẻ rút được là số chẵn. Nếu tích hai số rút được là số lẻ 
thì cả hai lần đều phải rút được số lẻ.
Ở hộp I có 3 số lẻ, mỗi số lẻ này có tương ứng 2 số lẻ có thể chọn ở hộp II nên ta có 3.2 6 
cách rút ra hai thẻ có tích các số ghi trên đó là số lẻ.
 19
Do đó n(A) 25 6 19. Vậy xác suất của biến cố A là P(A) .
 25
 DeThiToan.net Bộ 9 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThiToan.net
2. Cho đa thức f (x) ax2 bx c. Mỗi lần thay đa thức này bởi một trong hai đa thức 
cx2 bx a hoặc (a b c)x2 (2a b)x a. Nếu cho đa thức f (x) x2 4x 3 thì sau một số lần 
thay đổi có được đa thức g(x) x2 10x 9 không? Vì sao?
 Hướng dẫn
Với mỗi đa thức f (x) ax2 bx c, ta xét đại lượng b2 4ac.
Đa thức cx2 bx a có b2 4ac.
Đa thức (a b c)x2 (2a b)x a có 
 (2a b)2 4a(a b c) 4a2 4ab b2 4a2 4ab 4ac b2 4ac.
Suy ra sau các bước biến đổi thì không đổi.
Mà đa thức f x x2 4x 3 có 42 4.3 4
Đa thức g x x2 10x 9 có 102 4.9 64 4
Do đó từ đa thức đã cho không thể biến đổi về đa thức g x x2 10x 9.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng:
a) A 4 p 3p 1 chia hết cho 3p.
b) A 4 p 3p 1 chia hết cho 39 p.
 Hướng dẫn
a) Ta có A 4 p 3p 1 1p 0 1 mod3  0 mod3 suy ra A3. (1)
+) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 4, p 3, p 1. Áp dụng định lý Fermat ta có:
4 p 1 1 mod p ; 3p 1 1 mod p A 4 p 3p 1  4 3 1 mod p  0 mod p 
Hay A p. (2)
Từ (1) và (2) suy ra A 4 p 3p 1 chia hết cho 3p.
b) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p 3k i, i 1;2.
Suy ra 3p 33k i 3i.33k 3i.27k  3i.1k mod13  3i mod13 1 mod13 
Do đó 3p 1 không chia hết cho 13. (3)
Khi đó A. 3p 1 1 3p 4 p 3p 1  1 3p 9 p 3p 1 mod13 
 3
 9 p 3p 1 1 3p mod13 1 3p mod13 1 27 p mod13  0 mod13 .
Hay A. 3p 1  0 mod13 (4)
Từ (3) và (4) suy ra A  0 mod13 hay A13. (5)
Nếu ( p,13) 1 thì theo (1), (2), (5) suy ra A39 p.
Nếu p 13 thì ta có 413 313 1 65514540 chia hết cho 39 p 507.
 DeThiToan.net Bộ 9 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐỀ SỐ 2
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
 TUYỂN QUANG NĂM HỌC 2024 - 2025
 Môn thi: Toán (Chuyên)
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức với .
b) Cho ba số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Câu 2. (3,0 điểm)
1. Cho phương trình (1), với là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi .
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
2. Giải hệ phương trình .
Câu 3. (3,0 điểm). 
Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Đường thẳng AO cắt BC tại E. Trên đoạn AO lấy điểm D sao cho . Đường đi thẳng 
qua D, vuông góc với BC cắt BC, AC, AB lần lượt tại X, Y, Z. Đường tròn ngoại tiếp tam 
giác AYZ cắt lại (O) tại điểm T ≠ A. Chứng minh rằng:
a) Tam giác OXE là tam giác cân.
b) Bốn điểm C, X, Y, T cùng thuộc một đường tròn.
c) Hai đoạn thẳng BX và CE có độ dài bằng nhau.
d) Đường thẳng AT song song với đường thẳng BC.
Câu 4. (1,0 điểm) Trong hình chữ nhật (H) kích thước 6cm x 4 cm cho 5 điểm phân biệt A1, 
A2, A3, A4, A5. Chứng minh rằng:
a) Trong 5 điểm A1, A2, A3, A4, A5 luôn tồn tại 3 điểm cùng thuộc một hình tròn bán kính 2,5 
cm. 
b) Tồn tại một hình tròn đường kính 0,99 cm nằm trong (H) và không có điểm chung với bất 
kì hình tròn nào trong năm hình tròn tâm đường kính 1 cm (với ).
Câu 5. (1,0 điểm) Cho 10 số nguyên dương phân biệt và là một ước 
nguyên tố bất kì của . Chứng minh rằng:
a) chia hết cho .
b) là một hợp số.
 ---------HẾT---------
 DeThiToan.net Bộ 9 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐÁP ÁN
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức với 
Ta biến đổi biểu thức trong căn thứ hai:
Khi đó: .
Vì .
Vậy .
b) Tìm giá trị lớn nhất của 
Vì , ta thay số 3 vào biểu thức:
+ Áp dụng bất đẳng thức:
+ Tương tự cho các căn thức còn lại:
- Cộng vế theo vế: .
- Dấu " " xảy ra khi .
Câu 2. (3,0 điểm)
1. Cho phương trình (1)
Điều kiện: . Khi đó (1) tương đương: 
 0 (*).
a) Khi : Phương trình trở thành . Vì 
 , nghiệm là (loại) và (nhận).
b) Có hai nghiệm phân biệt: Phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt .
2. Giải hệ phương trình:
- Phương trình (1): 
 .
 DeThiToan.net Bộ 9 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThiToan.net
+ TH1: . Thế vào (2): hoặc 
1/3.
+ TH2: . Thế vào (2): . Bình phương hai vế với điều kiện 
 . Giải tìm được (thì ) hoặc (loại).
Câu 3. (3,0 điểm)
a) Tam giác cân: 
Gọi M là trung điểm . 
Vì nên . 
Theo định lý Thales và giả thiết , ta chứng minh được là trung điểm , từ đó 
 là trung trực của , suy ra (cân tại ).
b) Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn: 
Đây là bài toán sử dụng tính chất phương tích và trục đẳng phương. 
Ta chứng minh (hoặc bù nhau) thông qua các tứ giác nội tiếp liên quan.
c) : Từ tính chất tam giác cân ở câu a và vị trí điểm , 
ta có . 
Vì là trung điểm nên . 
Từ đó .
d) : Đường thẳng là trục đẳng phương của và đường tròn ngoại tiếp . 
Chứng minh góc tạo bởi và dây cung bằng góc so le trong với .
Câu 4. (1,0 điểm)
a) Trong 5 điểm đã cho, luôn tồn tại 3 điểm cùng thuộc một hình tròn bán kính 2,5 cm 
(đpcm)
b) Tồn tại hình tròn đường kính : Sử dụng phương pháp diện tích hoặc bao phủ. 
Tổng diện tích các hình tròn tâm bán kính không đủ phủ kín hình chữ nhật nếu 
tính đến phần lùi vào từ biên.
Câu 5. (1,0 điểm)
a) chia hết cho p:
Theo định lý Fermat nhỏ: .
Do đó . 
Suy ra 
b) C là hợp số:
- Ta có là ước của . Theo định lý Fermat nhỏ, .
 .
Vậy .
Vì C là tổng các số nguyên dương lớn hơn p nên C chia hết cho p và C > p, suy ra C là hợp 
số.
 DeThiToan.net