Đề thi minh họa tốt nghiệp THPT 2015 môn Toán (Có đáp án)

 Đề thi minh họa tốt nghiệp THPT 2015 môn Toán (Có đáp án) - DeThiToan.net
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
 Môn: TOÁN
 Thời gian làm bài: 180 phút.
 2x − 1
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y = .
 x + 1
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
 b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp điểm có hoành độ x = 1.
Câu 2.(1,0 điểm)
 π 3 tan α
 a) Cho góc α thỏa mãn: < α < π và sin α = . Tính A = .
 2 5 1 + tan2 α
 b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (1 + i)z + (3 − i)z = 2 − 6i. Tính môđun của z.
Câu 3.(0,5 điểm) Giải phương trình: log3 (x + 2) = 1 − log3 x.
Câu 4.(1,0 điểm) Giải bất phương trình: x2 + x + x − 2 ≥ 3(x2 − 2x − 2).
 2
Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân: I = ∫ (2x3 + ln x)dx.
 1
Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2a, 
ACB = 30o ,
Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và SH = 2a. Tính theo
a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Câu 7.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác OAB có các đỉnh A và B thuộc
đường thẳng ∆ : 4x + 3y − 12 = 0 và điểm K(6; 6) là tâm đường tròn bàng tiếp góc O. Gọi C là điểm
nằm trên ∆ sao cho AC = AO và các điểm C, B nằm khác phía nhau so với điểm A. Biết điểm C có
 24
hoành độ bằng , tìm tọa độ của các đỉnh A, B.
 5
Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0) và B(1; 1; −1). Viết
phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB và phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc
với (P).
Câu 9.(0,5 điểm) Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí
sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình
thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác định
câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, tính xác suất để 3
câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn là giống nhau.
Câu 10.(1,0 điểm) Xét số thực x. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
 3(2x2 + 2x + 1) 1 1
 P = + + .
 3 2x2 + (3 − 3)x + 3 2x2 + (3 + 3)x + 3
 ----------- HẾT -----------
 DeThiToan.net Đề thi minh họa tốt nghiệp THPT 2015 môn Toán (Có đáp án) - DeThiToan.net
 b) (1đ,i0 ểm)
 1
 T ung độ y của tiếpđ i ểm là: y = y(1) = . 0,25
 0 0 2
 3
 Suy ra hệ số góc k của tiếp tuyến là: k = y '(1) = . 0,25
 4
 3 1
 Do đó, phương trình của tiếp tuyến là: y = (x − 1) + ; 0,25
 4 2
 3 1
 hay y = x − . 0,25
 4 4
 Câu 2 a) (0đ,i5 ểm)
 tan α 3
(1,0 điểm) Ta có: A = = tan α.cos2 α = sin α.cos α = cosα. (1) 0,25
 1 + tan2 α 5
  32 16
 cos2 α = 1 − sin 2 α = 1 −   = . (2)
  5 25
 π  4
 Vì α ∈  ; π  nên cos α < 0. Do đó, từ (2) suy ra cos α = − . (3) 0,25
  2  5
 12
 Thế (3) vào (1), ta được A = − .
 25
 b) (0đ,i5 ểm)
 Đặt z = a + bi, ( a, b ∈ » ); khi đó z = a − bi . Do đó, kí hiệu (∗) là hệ thức cho
 trong đề bài, ta có:
 0,25
 (∗) ⇔ (1 + i)(a + bi) + (3 − i)(a − bi) = 2 − 6i
 ⇔ (4a − 2b − 2) + (6 − 2b)i = 0
 4a − 2b − 2 = 0 a = 2
 ⇔ ⇔
 {6 − 2b = 0 {b = 3.
 0,25
 Do đó | z | = 22 + 32 = 13.
 Câu 3 ● Điều kiện xác định: x > 0. (1)
 ● Vớiđ i ều kiệnđ ó, ký hiệu (2) là phươnđg trình ã cho, ta có:
(0,5 điểm) 0,25
 (2) ⇔ log3 (x + 2) + log3 x = 1 ⇔ log3 (x(x + 2)) = log3 3
 ⇔ x2 + 2x − 3 = 0 ⇔ x = 1 (do (1)). 0,25
 Câu 4 ● Điều kiện xác định: x ≥ 1 + 3. (1)
(1,0 điểm) ● Vớiđ i ều kiệnđ ó, ký hiệu (2) là bất phươnđg trình ã cho, ta có: 0,25
 (2) ⇔ x2 + 2x − 2 + 2 x(x + 1)(x − 2) ≥ 3(x2 − 2x − 2)
 ⇔ x(x − 2)(x + 1) ≥ x(x − 2) − 2(x + 1)
 ⇔ ( x(x − 2) − 2 (x + 1) )( x(x − 2) + (x + 1) ) ≤ 0. (3)
 0,50
 Doớ v i mxọiỏ th a mãn (1), ta có x(x − 2) + (x + 1) > 0 nên
 ⇔(3) x(x − 2) ≤ 2 (x + 1)
 ⇔ x2 − 6x − 4 ≤ 0
 ⇔ 3 − 13 ≤ x ≤ 3 + 13. (4)
 0,25
 Kết hợp (1) và (4), ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
  
 1 + 3 ; 3 + 13.
 DeThiToan.net Đề thi minh họa tốt nghiệp THPT 2015 môn Toán (Có đáp án) - DeThiToan.net
 Câu 7
(1,0 điểm)
 Trên ∆, lấy điểm D sao cho BD = BO và D, A nằm khác phía nhau so với B.
 Gọi E là giao điểm của các đường thẳng KA và OC; gọi F là giao điểm của các
 đường thẳng KB và OD.
 Vì K là tâm đường tròn bàng tiếp góc O của ∆OAB nên KE là phân giác của góc
 O
AC. Mà OAC là tam giác cân tại A (do AO = AC, theo gt) nên suy ra KE cũng
 là đường trung trực của OC. Do đó E là trung điểm của OC và KC = KO.
 Xét tương tự đối với KF, ta cũng có F là trung điểm của OD và KD = KO. 0,50
 Suy ra ∆CKD cân tại K. Do đó, hạ KH ⊥ ∆, ta có H là trung điểm của CD.
 Như vậy:
 + A là giao của ∆ và đường trung trực d1 của đoạn thẳng OC; (1)
 + B là giao của ∆ và đường trung trực d2 của đoạn thẳng OD, với D là điểm đối
 xứng của C qua H và H là hình chiếu vuông góc của K trên ∆. (2)
 24
 Vì C ∈ ∆ và có hoành độ x = (gt) nên gọi y là tung độ của C, ta có:
 0 5 0
 24 12
 4. + 3y − 12 = 0. Suy ra y = − .
 5 0 0 5
 12 6 
 Từ đó, trung điểm E của OC có tọa độ là  ; −  và đường thẳng OC có
  5 5 
 phương trình: x + 2y = 0. 0,25
 Suy ra phương trình của d1 là: 2x − y − 6 = 0.
 Do đó, theo (1), tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:
 4x + 3y − 12 = 0
 {2x − y − 6 = 0.
 Giải hệ trên, ta được A = (3; 0).
 DeThiToan.net Đề thi minh họa tốt nghiệp THPT 2015 môn Toán (Có đáp án) - DeThiToan.net
 Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, với mỗi số thực x, xét các điểm A(x; x + 1) ,
(1,0 điểm)  3 1   3 1 
 B ; −  và C  − ; − .
  2 2   2 2  0,25
 OA OB OC
 Khi đó, ta có P = + + , trong đó a = BC, b = CA và c = AB.
 a b c
 Gọi G là trọng tâm ∆ABC, ta có:
 OA.GA OB.GB OC.GC 3  OA.GA OB.GB OC.GC 
 P = + + =  + +  ,
 a.GA b.GB c.GC 2  a.ma b.mb c.mc  0,25
 trong đó ma , mb và mc tương ứng là độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A,
 B, C của ∆ABC.
 Theo bất đẳng thức Cô si cho hai số thực không âm, ta có
 1 2 2 2 2
 a.ma = . 3a (2b + 2c − a )
 2 3
 2 2 2 2
 1 3a + (2b + 2c − a ) a2 + b2 + c2
 ≤ . = .
 2 3 2 2 3 0,25
 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2
 Bằng cách tương tự, ta cũng có: b.m ≤ và c.m ≤ .
 b 2 3 c 2 3
 3 3
 Suy ra P ≥ (OA.GA + OB.GB + OC.GC). (1)
 a2 + b2 + c2
      
 Ta có: OA.GA + OB.GB + OC.GC ≥ OA.GA + OB.GB + OC.GC. (2)
      
 OA.GA +OB.GB + OC .GC    
 = (OG + GA).GA + (OG + GB).GB + (OG + GC).GC
    
 = OG.(GA + GB + GC) + GA2 + GB2 + GC 2
 2 2 2 0,25
 4 2 2 2 a + b + c
 = (ma + mb + mc ) = . (3)
 9 3
 Từ (1), (2) và (3), suy ra P ≥ 3.
 Hơn nữa, bằng kiểm tra trực tiếp ta thấy P = 3 khi x = 0.
 Vậy min P = 3.
 DeThiToan.net