Đề thi thử Toán Chuyên Đại học Vinh 2015 (Có đáp án)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 1
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 21 1 11 (1),
3 2 3
y x m x mx m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 2.m 
b) Tìm m để hàm số (1) có cực đại là yCĐ thỏa mãn yCĐ
1 .
3
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình cos3 cos 2 3cos2 sin .x x x x 
b) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn 2 3 2 .z z i 
Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình 24 2 2log log 2 1 log 4 3 .x x x 
Câu 4 (1,0 điểm). Giải bất phương trình 2 3 25 4 1 2 4 .x x x x x 
Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân
6
1
3 1d .
2
xI x
x
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp đều .S ABC có 2 , .SA a AB a Gọi M là trung điểm cạnh BC.
Tính theo a thể tích khối chóp .S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng , .AM SB
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho hình chữ nhật ABCD có ACD với
1cos ,
5
 điểm H thỏa mãn điều kiện 2 ,HB HC K 
  
là giao điểm của hai đường thẳng AH và
.BD Cho biết 1 4; , 1; 0
3 3
H K 
và điểm B có hoành độ dương. Tìm tọa độ các điểm , , , .A B C D
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 3 0P x y z và đường
thẳng 2 1: .
1 2 1
x y zd 
Tìm tọa độ giao điểm của (P) và ;d tìm tọa độ điểm A thuộc d sao cho
khoảng cách từ A đến (P) bằng 2 3.
Câu 9 (0,5 điểm). Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 9 đội bóng tham dự, trong đó có 6 đội nước
ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C;
mỗi bảng có 3 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau.
Câu 10 (1,0 điểm). Giả sử x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn
 2 2 20 2.x y y z z x 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 4 4 434 4 4 ln ( ) .4
x y zP x y z x y z 
------------------ Hết ------------------
Đề thi thử Toán Chuyên Đại học Vinh 2015 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 1
Môn: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút
Câu Đáp án Điểm
a) (1,0 điểm)
Khi 2 m hàm số trở thành 3 21 1 12 .
3 2 3
 y x x x
10. Tập xác định: .D 
20. Sự biến thiên:
*) Chiều biến thiên: Ta có 2 2, .y x x x 
1 1
0 ; 0 ; 0 1 2.
2 2
x x
y y y x
x x
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 1) và (2; ); hàm số nghịch biến trên
khoảng ( 1; 2). 
*) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1,x yCĐ
3( 1)
2
 y ;
hàm số đạt cực tiểu tại 2, (2) 3.CTx y y 
*) Giới hạn tại vô cực:
3
2 3
1 1 2 1lim lim ;
3 2 3x x
y x
x x x 
3
2 3
1 1 2 1lim lim .
3 2 3x x
y x
x x x 
0,5
*) Bảng biến thiên:
30. Đồ thị:
0,5
b) (1,0 điểm)
Ta có 2 1 , ;y x m x m x 
1
0
x
y
x m
Hàm số có cực đại khi và chỉ khi 1.m 
0,5
Câu 1.
(2,0
điểm)
Xét hai trường hợp (TH) sau:
TH1. 1.m Hàm số đạt cực đại tại ,x m với yCĐ
3 2 1( ) .
6 2 3
m my m 
Ta có yCĐ
3 2 3( )1 1 1 3.
0 ( )3 6 2 3 3
m tmm m m
m ktm
TH2. 1.m Hàm số đạt cực đại tại 1,x với yCĐ
1( 1) .
2 2
my 
Ta có yCĐ
1 1 1 1 ( ).
3 2 2 3 3
m m tm
Vậy các giá trị cần tìm của m là 13, .
3
m m 
0,5
x
'y
y
1 2
3
2
3 
+ – 0 0 +
xO
3
2
y
2
3 
1 
Đề thi thử Toán Chuyên Đại học Vinh 2015 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
a) (0,5 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với
cos2 0
2cos2 cos 2 3cos2 sin
cos 3 sin
x
x x x x
x x
 4 2 .
6
kx
k
x k
 0,5
b) (0,5 điểm)
Câu 2.
(1,0
điểm)
Đặt , ( , ).z a bi a b Từ giả thiết ta có
 2 3 2 3 3 2a bi a bi i a bi i 
3 3 1
2 2
a a
b b
Vậy số phức z có phần thực bằng 1, phần ảo bằng 2. 
0,5
Câu 3.
(0,5
điểm)
*) Điều kiện:
1 .
2
x 
Khi đó phươngtrình đã cho tương đương với
 2 2 2log log 2 1 log 4 3x x x 22 2log 2 log 4 3x x x 
2 2
1
2 4 3 2 5 3 0 2
3
x
x x x x x
x
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình đã cho là 3.x 
0,5
*) Điều kiện: 3 2
1 5
2 4 0
1 5 0.
x
x x x
x
Bất phương trình đã cho tương đương với 2 22 4 3 4 2 4 x x x x x x . (1)
Xét hai trường hợp sau đây:
TH1. Với 1 5 0x . Khi đó 2 2 4 0x x và 3 0x . Hơn nữa hai biểu thức
2 2 4x x và 3x không đồng thời bằng 0. Vì vậy
 2 22 4 3 0 4 2 4 x x x x x x .
Suy ra 1 5 0x thỏa mãn bất phương trình đã cho.
0,5
Câu 4.
(1,0
điểm)
TH2. Với 1 5.x Khi đó 2 2 4 0x x . Đặt 2 2 4 0, 0x x a x b .
Bất phương trình trở thành 2 23 4 3 0 3a b ab a b a b b a b 
2
2
2
4 0 1 17 7 652 4 3 ,
2 27 4 0
x x
x x x x x
x x
thỏa mãn.
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm 1 5 0x ; 1 17 7 65 .
2 2
x 
0,5
Đặt 3 .x t Ta có 1 2; 6 3;x t x t 2 3x t và d 2 d . x t t
Khi đó
3 3
2
2 2
1 2 d 2 d
1 1
t tI t t t
t t
0,5
Câu 5.
(1,0
điểm)
3 3
22
12 1 2 ln 1
1
dt t t
t
2 1 ln 2 . 0,5
Đề thi thử Toán Chuyên Đại học Vinh 2015 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
*) Từ giả thiết suy ra ABC đều và
SA SB SC . 
Hạ SO ABC O( ) là tâm tam
giác đều ABC.
Ta có
2 3
4ABC
aAB a S và
3
2
aAM 2 3
3 3
aAO AM 
2 2 33 .
3
aSO SA AO 
Suy ra
3
.
1 11. .
3 12
 S ABC ABC
aV SO S
0,5
Câu 6.
(1,0
điểm)
*) Kẻ Bx // AM mp ( , )S Bx // AM
 ( , ) , ( , ) , ( , )d AM SB d AM S Bx d O S Bx (1)
Hạ , .OK Bx OH SK  Vì ( )Bx SOK nên ( , )Bx OH OH S Bx  (2)
Ta có OMBK là hình chữ nhật nên .
2
aOK MB 
Vì SOK vuông tại O nên 2 2 2 2
1 1 1 47 517
11 47
aOH
OH OK OS a
 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra 517( , ) .
47
ad AM SB OH
0,5
Từ giả thiết suy ra H thuộc cạnh BC và 2 .
3
BH BC 
Vì BH // AD nên 2 2
3 3
KH BH HK KA
KA AD
 . Suy ra
5
2
HA HK 
  1 4 5 2 4 5 10; . ; ;
3 3 2 3 3 3 3A A
x y 
(2; 2).A 
Vì ACD vuông tại D và 1cos cos
5
 ACD nên
2 , 5 .AD CD AC CD 
0,5
Câu 7.
(1,0
điểm)
Đặt
4( 0) 2 , .
3
CD a a AD a AB a BH a 
Trong tam giác vuông ABH ta có 2 2 2 225 125 5.
9 9
AB BH AH a a 
Suy ra 4 55, .
3
AB HB (*)
Giả sử ( ; )B x y với 0,x từ (*) ta có
2 2
2 2
( 2) ( 2) 5 3, 0
1 81 4 80 , ( )
5 53 3 9
x y x y
x y ktmx y
Suy ra (3; 0).B Từ 3 1; 2 .
2
BC BH C 
  
Từ 2; 0 .AD BC D 
  
0,5
Câu 8.
(1,0
điểm)
*) Giả sử ( ).M d P  Vì M d nên ( 2; 2 1; ).M t t t 
Mặt khác ( )M P nên suy ra ( 2) ( 2 1) ( ) 3 0 1.t t t t 
Suy ra (1; 1; 1).M
0,5
S
O M
C
B
K
H
A
x
A B
C
H
K
D
Đề thi thử Toán Chuyên Đại học Vinh 2015 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
*) Ta có A d nên ( 2; 2 1; ).A a a a 
Khi đó 
2 2 2
( 2) ( 2 1) ( ) 3
, ( ) 2 3 2 3
1 1 1
a a a
d A P
2
1 3
4.
a
a
a
Suy ra (4; 5; 2)A hoặc ( 2; 7; 4).A 
0,5
Câu 9.
(0,5
điểm)
+) Tổng số kết quả 9 đội bóng bốc thăm ngẫu nhiên vào 3 bảng , ,A B C là 3 3 39 6 3 .C C C 
+) Số kết quả bốc thăm ngẫu nhiên có 3 đội bóng Việt Nam nằm ở ba bảng khác nhau là
2 2 2
6 4 23! .C C C 
Suy ra xác suất cần tính là
2 2 2
6 4 2
3 3 3
9 6 3
3! 9 0,32.
28
C C CP
C C C
0,5
Từ giả thiết suy ra 0 , , 1x y z và 2 2 2 1.x y z 
Xét hàm số  ( ) 4 3 1, 0; 1 .tg t t t Ta có '( ) 4 ln 4 3.tg t 
Suy ra 4 0 0
3( ) 0 log ; ( ) 0
ln 4
g t t t g t t t và 0( ) 0 .g t t t 
Vì 31 4,
ln 4
 nên 00 1.t 
Suy ra bảng biến thiên
Suy ra ( ) 0g t với mọi  0; 1 , t hay 4 3 1t t với mọi  0; 1 .t 
Mặt khác, do 0 , , 1 x y z nên 4 4 4 2 2 2 1.x y z x y z 
Từ đó ta có 4 4 4 433 3( ) ln ( )4P x y z x y z x y z 
433 3( ) ( ) .
4
x y z x y z 
Đặt ,x y z u khi đó 0u và 433 3 .
4
P u u 
0,5
Câu 10.
(1,0
điểm)
Xét hàm số 4
3( ) 3 3
4
f u u u với 0.u 
Ta có 3( ) 3 3f u u và ( ) 0 1.f u u 
Suy ra bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có
21( )
4
f u với mọi 0.u Suy ra 21,
4
P dấu đẳng thức
xảy ra khi 1, 0x y z hoặc các hoán vị.
Vậy giá trị lớn nhất của P là 21.
4
0,5
( )f u
'( )f u
u 1
0 + –
0 
21
4
( )g t
'( )g t
t 1
0 +–
0 0t
0 0
Đề thi thử Toán Chuyên Đại học Vinh 2015 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 2
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 2 .
1
xy
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị H của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của H biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc 1.k 
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Biết rằng số thực thỏa mãn tan 2. Tính giá trị của biểu thức
3
3
sin 2cos .
cos 2sin
A 
b) Tìm số phức z thỏa mãn 2z và 2
1
z
i
là số thực.
Câu 3 (0,5 điểm). Giải bất phương trình 2 218 .2 2 .xx x 
Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình 22 4 3 234 2 4 4 1 1 .x x x x x x 
Câu 5 (1,0 điểm). Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ln 3 1 ,y x x 
trục hoành và hai đường thẳng 0, 1.x x 
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có 0102 , , ' , 120 .
2
aAB a AC a AA BAC 
Hình chiếu vuông góc của 'C lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối
lăng trụ . ' ' 'ABC A B C theo a và tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và ( ' ').ACC A
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm 2 2; ,
3 3
G 
tâm đường tròn ngoại tiếp (1; 2),I điểm (10; 6)E thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ A và
điểm (9; 1)F thuộc đường thẳng BC. Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết B có tung độ bé hơn 2.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho điểm ( 2; 1; 0)M và đường thẳng
2 1 1: .
1 1 2
x y z 
Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M và chứa . Tìm tọa độ điểm N thuộc 
sao cho 11.MN 
Câu 9 (0,5 điểm). Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh
được đánh số từ 1 đến 5, có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được
đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp đó. Tính xác xuất để hai viên bi được lấy vừa
khác màu vừa khác số.
Câu 10 (1,0 điểm). Giả sử , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn 1.xy yz zx Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
 2 2 2 2 2 2
1 1 1 5 1 1 1 .
2
P x y z
x y y z z x
------------------ Hết ------------------
Đề thi thử Toán Chuyên Đại học Vinh 2015 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN