Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2016-2017 (Có đáp án)

ĐỀ THI VÀO 10 MÔN TOÁN KHÔNG CHUYÊN
SỞ GIÁO DỤC GIA LAI NĂM 2016
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lớp: . . . . . . .
Câu 1. Cho biểu thức P =
(x+ 1) (x+
√
x)√
x
− x−√x, với x > 0.
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức P bằng 2.
Lời giải.
a) Với x > 0, ta có:
P =
(x+ 1)
√
x (
√
x+ 1)√
x
− x−√x
= (x+ 1)
(√
x+ 1
)− x−√x
= x
√
x+ x+
√
x+ 1− x−√x
= x
√
x+ 1.
b) Với x > 0, theo câu 1), ta P = 2 khi:
x
√
x+ 1 = 2⇔ x√x = 1⇔ x3 = 1⇔ x = 1.
Vậy P = 2 khi x = 1.
Câu 2. Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị là Parabol (P ) và đường thẳng d có phương trình
y = 5x− 2m2, với m là tham số.
a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và Parabol (P ) khi m = 1.
b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d cắt Parabol (P ) tại hai điểm phân biệt.
Lời giải.
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2016-2017 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
a) Khi m = 1, phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và Parabol (P ) l
2x2 − 5x+ 2 = 0⇔ x = 2 hoặc x = 1
2
.
Với x = 2 suy ra y = 8 và với x =
1
2
suy ra y =
1
2
. Vậy đường thẳng d cắt (P ) tại hai
điểm A(2; 8), B
(
1
2
;
1
2
)
.
b) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và Parabol (P ) l
2x2 − 5x+ 2m2 = 0. (*)
Để đường thẳng d cắt Parabol (P ) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có
hai nghiệm phân biệt, hay ∆ = 25− 16m2 > 0, tức là:
m2 <
25
16
⇔ |m| ≤ 5
4
⇔ −5
4
< m <
5
4
.
Vậy −5
4
< m <
5
4
.
Câu 3.
a) Giáo viên bộ môn toán lớp 10A muốn chia học sinh của lớp thành các nhóm học
tập. Nếu mỗi nhóm có 5 học sinh thì thừa 4 học sinh, nếu mỗi nhóm có 6 học sinh
thì thiếu 2 học sinh. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu học sinh (giả thiết rằng số học sinh
trong lớp 10A không vượt quá 60 em).
b) Giả sử phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
x21 + x
2
2 = 2x1x2. Chứng minh rằng biệt thức ∆ của phương trình đã cho không phụ
thuộc vào các hệ số a, b, c.
Lời giải.
a) Nếu mỗi nhóm có 5 học sinh thì thừa 4 học sinh, nếu mỗi nhóm có 6 học sinh thì
thiếu 2 học sinh, do đó ta có phương trình:
5x+ 4 = 6y − 2⇔ 5x = 6y − 6⇔ x = 6y − 6
5
(x, y ∈ N∗).
Khi y = 1 thì x = 0, loại.
Khi y = 2, y = 3, y = 4, y = 5 thì x không nguyên nên loại.
Khi y = 6 thì x = 6, suy ra số học sinh của lớp là 34 (thỏa mãn).
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2016-2017 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Khi y = 7, y = 8, y = 9, y = 10 thì x không nguyên nên loại.
Khi y ≥ 11 thì số học sinh vượt quá 60 nên loại.
Vậy số học sinh của lớp 10A là 34.
b) Ta có
x21 + x
2
2 = 2x1x2 ⇔ x21 + x22 − 2x1x2 = 0
⇔ (x1 − x2)2 = 0⇔ x1 − x2 = 0⇔ x1 = x2.
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm kép. Do dó ∆ = 0.
Câu 4. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp
tuyến AM và AN với đường tròn (M , N là các tiếp điểm); B là điểm thay đổi trên cung
nhỏ MN (B khác M và N ; tia AB không đi qua O). Gọi C là giao điểm thứ hai của tia
AB với (O) (C khác B), D là trung điểm của BC, K là giao điểm của BC và MN .
a) Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh KA.KD = KB.KC.
c) Khi điểm B di động trên cung nhỏ MN . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp
tam giác MKD luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Lời giải.
O
M
N
B
A
C
D
K
H I
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2016-2017 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
a) Ta có D là trung điểm của dây BC không đi qua O nên ’ADO = 90◦. Do AM , AN
là các tiếp tuyến của (O) nên ’AMO = 90◦ và ’ANO = 90◦. Suy ra ’AMO = ’ANO =’ADO = 90◦. Do đó tứ giác AMDN nội tiếp đường tròn đường kính AO.
b) Xét 4KBM và 4KNC có: ’BMK = ’KCN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung B˜N
của (O)), ’BKM = ’NKC (đối đỉnh) Do đó 4KBM v 4KNC (g.g). Suy ra
KM
KC
=
KB
KN
⇒ KB.KC = KM.KN. (1)
Xét 4KND và 4KAM có: ’KND = ’KAM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung M¯D của
đường tròn đường kính AO), ’AKM = ’NKD (đối đỉnh). Do đó 4KND v 4KAM
(g.g). Suy ra
KN
KA
=
KD
KM
⇒ KA.KD = KM.KN . (2)
Từ (1) và (2) suy ra KA.KD = KB.KC.
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDK, vẽ IH ⊥ MK (H ∈ MK).
Tam giác IMK cân tại I (vì IM = IK) suy ra IH là phân giác của góc ’MIK.
Suy ra ’MIH = 1
2
’MIK. Mà ÷MDK = 1
2
’MIK (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn
cung M¯K của đường tròn ngoại tiếp tam giác MDK) nên ’MIH = ÷MDK. Tam
giác MHI vuông tại H nên: ’MIH + ’HMI = 90◦. Suy ra ÷MDK + ’HMI = 90◦ hay÷MDK + ’KMI = 90◦. (3)
Mặt khác: ’MDA = ’ANM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung M˜A của đường tròn
đường kính AO), ’AMN = ’ANM (do AM , AN là hai tiếp tuyến của (O)). Suy ra’MDA = ’AMN hay ÷MDK = ’AMK. (4)
Từ (3) và (4) suy ra ’AMI = ’AMK + ’KMI = 90◦. Suy ra AM là tiếp tuyến của
đường tròn ngoại tiếp tam giác MDK. Do A và (O) cố định nên đường thẳng AM
cố định. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Câu 5. Giải hệ phương trình
 x (x+ 4) +
√
x+ 2 + 3 = 4y (y − 1) +√2y − 1
y2 = x+ 6.
Lời giải.
Điều kiện x ≥ −2, y ≥ 1
2
. Ta có:
x (x+ 4) +
√
x+ 2 + 3 = 4y (y − 1) +
√
2y − 1
⇔(x+ 2)2 +√x+ 2 = (2y − 1)2 +
√
2y − 1
⇔(x+ 2)2 − (2y − 1)2 +√x+ 2−
√
2y − 1 = 0
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2016-2017 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
⇔(x− 2y + 3)
Å
(x+ 2) + (2y − 1) + 1√
x+ 2 +
√
2y − 1
ã
= 0.
Vì x+ 2 ≥ 0, 2y − 1 ≥ 0 nên
(x+ 2) + (2y − 1) + 1√
x+ 2 +
√
2y − 1 > 0.
Suy ra x = 2y − 3. Do đó
 x = 2y − 3y2 = x+ 6 ⇔
 y = −1;x = −5
y = 3;x = 3.
Vậy nghiệm (x; y) của hệ phương trình là (−1;−5), (3; 3).
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2016-2017 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN, VÒNG 2
CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI 2016
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lớp: . . . . . . . . . .
Câu 1. Không sử dụng máy tính:
a) Tính tổng S = 1− 22 + 32 − 42 + 52 − 62 + · · · − 20142 + 20152.
b) Tính giá trị của biểu thức P = (5x3 − 30x+ 21)2016 với x =
√
3 + 2
√
2−
√
3− 2√2.
Lời giải.
a) Ta có:
S = 1− 22 + 32 − 42 + 52 − 62 + · · · − 20142 + 20152
= 1 +
(
32 − 22)+ (52 − 42)+ · · ·+ (20152 − 20142)
= 1 + (3− 2) (2 + 3) + (5− 4) (4 + 5) + · · ·+ (2015− 2014) (2014 + 2015)
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · ·+ 2014 + 2015
=
(1 + 2015) 2015
2
= 2031120.
Vậy S = 2031120.
b) Ta có »
3 + 2
√
2 =
Ä√
2 + 1
ä2
=
√
2 + 1;»
3− 2
√
2 =
Ä√
2− 1
ä2
=
√
2− 1.
Do đó x =
Ä√
2 + 1
ä
−
Ä√
2− 1
ä
= 2.
Như vậy P = (5.23 − 30.2 + 21)2016 = 12016 = 1.
Câu 2.
a) Tìm các số nguyên x, y sao cho x3y − x3 − 1 = 2x2 + 2x+ y.
b) Chứng minh rằng (22m+1 + 52n) chia hết cho 3, với mọi m,n ∈ N∗.
Lời giải.
a) Ta có
x3y − x3 − 1 = 2x2 + 2x+ y
⇔(x3 − 1)y = x3 + 1 + 2x(x+ 1)
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2016-2017 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
⇔(x− 1)(x2 + x+ 1)y = (x+ 1)(x2 − x+ 1) + 2x(x+ 1)
⇔(x− 1)(x2 + x+ 1)y = (x+ 1)(x2 + x+ 1). (1)
Vì x2 + x+ 1 =
Å
x+
1
2
ã2
+
3
4
> 0,∀x ∈ Z nên (1)⇔ (x− 1)y = x+ 1. (2)
Ta thấy x = 1 không thỏa phương trình (2). Xét x ∈ Z và x 6= 1. Khi đó:
(2)⇔ y = x+ 1
x− 1 = 1 +
2
x− 1 .
Ta có y ∈ Z khi và chỉ khi (x− 1) là ước của 2. Do đó x − 1 = 2 hoặc x − 1 = −2 hoặc
x− 1 = 1 hoặc x− 1 = −1. Như vậy x = 3 hoặc x = −1 hoặc x = 2 hoặc x = 0. Vậy các
cặp (x; y) với x, y là những số nguyên cần tìm là (0;−1), (−1; 0), (2; 3), (3; 2).
b) Ta có 22m+1 = 2.22m = 2.4m = 2(3 + 1)m = 2(3k + 1) = 6k + 2, k ∈ N∗ Suy ra 22m+1 chia
cho 3 dư 2, với mọi m ∈ N∗. (1)
Mặt khác 52n = 25n = (24 + 1)n = (3.8 + 1)n = 3p+ 1, p ∈ N∗. Suy ra 52n chia cho 3 dư 1,
với mọi n ∈ N∗. (2)
Từ (1), (2) suy ra (22m+1 + 52n) chia hết cho 3.
Câu 3.
a) Cho phương trình x2 − (2m+ 1)x + m2 + m = 0. Tìm m để phương trình đã cho có hai
nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2 ≤ x1 < x2 ≤ 5.
b) Giải phương trình: 2 +
√
2 +
√
x = x.
Lời giải.
a) Ta có ∆ = (2m+ 1)2 − 4 (m2 +m) = 1 > 0,∀m ∈ R. Suy ra phương trình có hai nghiệm
x1 < x2 là:
x1 =
2m+ 1− 1
2
= m, x2 =
2m+ 1 + 1
2
= m+ 1.
Từ giả thiết bài toán suy ra 2 ≤ m < m+ 1 ≤ 5 ⇔ 2 ≤ m ≤ 4.
Vậy 2 ≤ m ≤ 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Phương trình đã cho trở thành :»
2 +
√
x = x− 2⇔
®
x ≥ 2 (1)
2 +
√
x = x2 − 4x+ 4. (2)
Ta có:
(2)⇔ x2 − 4x− (√x− 2) = 0
⇔ x(x− 4)− x− 4√
x+ 2
= 0
⇔(x− 4)
Å
x− 1√
x+ 2
ã
= 0. (3)
Vì x ≥ 2 nên x − 1√
x+ 2
> 0. Do đó (3) ⇔ x − 4 = 0 ⇔ x = 4. Vậy phương trình có
nghiệm duy nhất x = 4.
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2016-2017 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Câu 4. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định. M và N là hai điểm thay đổi trên
đường tròn sao cho ÷MAN = 30◦ (M , N nằm về hai phía của AB). Đường thẳng MB cắt tia
AN tại F , đường thẳng NB cắt tia AM tại E. Gọi I là trung điểm của EF .
a) Chứng minh tứ giác MNFE nội tiếp một đường tròn.
b) Tính OI.EF theo R.
c) Giả sử diện tích của tứ giác MNFE là S. Tìm giá trị lớn nhất của S theo R.
Lời giải.
a) M và N thuộc đường tròn đường kính AB nên ÷AMB = ’ANB = 90◦. Suy ra ÷EMF =’FNE = 90◦. Do đó tứ giác MNFE nội tiếp đường tròn đường kính EF .
A B
O
M
N F
E
I
P
H
K
Q
b) Do I là trung điểm của EF nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EMNF . Ta có
IM = IN và OM = ON nên đường thẳng OI là đường trung trực của đoạn MN đồng
thời là đường phân giác của các góc ’MIN và ÷MON . Ta có ÷MON và ÷MAN là góc ở tâm
và góc nội tiếp cùng chắn cung MN của (O), suy ra ’MOI = 1
2
÷MON = ÷MAN = 30◦.
Tam giác ENA vuông tại N nên’AEN = 90◦ −’EAN = 90◦ − 30◦ = 60◦.
Hay ÷MEN = 60◦ ⇒ ’MIN = 120◦ (÷MEN và ’MIN là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng
chắn cung MN của (I)), suy ra ’MIO = 1
2
’MIN = 60◦.
Tam giác MOI có ’MOI + ’MIO = 30◦ + 60◦ = 90◦ ⇒’OMI = 90◦.
Suy ra: MI =
OM√
3
=
R√
3
; EF = 2.MI =
2R√
3
.
Ta có: OI =
√
MO2 +MI2 =
R2 +
R2
3
=
2R√
3
= EF .
Vậy OI.EF =
2R√
3
· 2R√
3
=
4
3
R2.
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2016-2017 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
c) Đặt S1;S2;S