Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2018-2019 (Có đáp án)

Bài 1: (2,0 điểm)
1. Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình
2 1
.
2 4
x y
x y
− = 
− = − 
2. Gọi 1 2,x x là hai nghiệm của phương trình 
2 2 11 0x x− − = . Không giải phương trình hãy
tính giá trị biểu thức 2 21 1 2 2T x x x x= − + .
Bài 2: (2,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức: 
1 1
2 :
1 1 1 1
A
x x
= − 
 + − + + 
, với 0.x 
2. Cho hai đường thẳng ( )1 : 1d y x= + và ( )2 : 2d y mx m= + − (với m là tham số, 1m ). Gọi
( )0 0;I x y là giao điểm của ( )1d với ( )2 .d Tính giá trị biểu thức 
2 2
0 0 .T x y= +
Bài 3: (2,0 điểm)
1. Một hình chữ nhật có diện tích bằng ( )2360 .m Nếu tăng chiều rộng lên ( )3 m và giảm chiều
dài đi ( )10 m thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban
đầu. Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu.
2. Giải phương trình 1 7 6 15x x− + − = .
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho điểm S cố định ở bên ngoài đường tròn ( ).O Vẽ tiếp tuyến SA của đường tròn ( )O
(với A là tiếp điểm) và cát tuyến SCB không qua tâm ,O điểm O nằm trong góc ,ASB
điểm C nằm giữa S và .B Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng .CB
1. Chứng minh rằng tứ giác SAOH nội tiếp một đường tròn.
2. Chứng minh rằng 2 . .SA SB SC=
3. Gọi MN là đường kính bất kỳ của đường tròn ( )O sao cho ba điểm , , S M N không thẳng
hàng. Xác định vị trí của MN để diện tích tam giác SMN lớn nhất.
Bài 5: (1,0 điểm)
Giả sử hai số tự nhiên có ba chữ số abc và xyz có cùng số dư khi chia cho 11. Chứng
minh rằng abcxyz chia hết cho 11.
-----Hết-----
Họ và tên thí sinh:.; SBD..; Phòng thi số..
Chữ ký của giám thị 1:; Chữ ký của giám thị 2:..
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2018 - 2019
Môn thi: Toán (Không chuyên)
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2018-2019 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
(Hướng dẫn chấm có 04 trang)
I. Hướng dẫn chung.
❖ Nếu học sinh giải cách khác hướng dẫn chấm nhưng đúng thì vẫn được điểm tối đa.
❖ Điểm toàn bài của thí sinh không làm tròn.
II. Đáp án – Thang điểm.
Bài Nội dung Điểm
Bài 1
(2 điểm)
1.
2 1 4 2 2
2 4 2 4
x y x y
x y x y
− = − = 
− = − − = − 
0,25
3 6
2 4
x
x y
= 
− = − 
0,25
2
4
2
x
x
y
= 
 +
= 
0,25
2
3
x
y
= 
= 
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( ); 2;3x y = . 
0,25
2. Theo định lý Viet ta có 1 2
1 2
2
. 11
x x
x x
+ = 
= − 
0,25
( )
22 2
1 1 2 2 1 2 1 23T x x x x x x x x= − + = + − 0,25
( )22 3 11= − − 0,25
37.= 0,25
Bài 2
(2 điểm)
1.
( )
2
1 1 1 1 1 1
2 : 2 :
1 1 1 1 1 1
x x
A
x x x
 + + − + +
= − = 
 + − + + + − 
0,25
1 1 1 1 2
2 : 2 :
1 1
x x
x x
 + + − + +
 = =
 + −
0,25
2.
2
x
=
0,25
.x= 0,25
2. Phương trình hoành độ giao điểm
1 2x mx m+ = + − 0,25
( )1 1 1m x m x − = − = 0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2018 - 2019
Môn thi: Toán (Không chuyên)
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2018-2019 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Suy ra ( )1 1 2 1;2y I= + = 0,25
2 2 2 2
0 0 1 2 5.T x y= + = + = 0,25
Bài 3
(2 điểm)
1. Gọi ( )x m là chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu, 0x 
Khi đó chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là ( )
360
.m
x
0,25
Ta có phương trình
( )
360
3 10 360x
x
+ − = 
0,25
2
9
10 30 1080 0
12
x
x x
x
= 
 − − + = = − 
Loại 12x = −
0,25
Do đó hình chữ nhật ban đầu có chiều rộng là ( )9 m và chiều dài là ( )40 m
Suy ra chu vi hình chữ nhật ban đầu là ( ) ( )9 40 .2 98 .m+ = 0,25
2. Điều kiện: 1 6x 
1 7 6 15x x− + − = ( )
2
1 7 6 225x x− + − =
0,25
( )2 2 27 7 6 24 34 49 7 6 576 1632 1156x x x x x x x − + − = − − + − = − +
0,25
2
2
625 1975 1450 0 29
25
x
x x
x
= 
 − + = 
 =
(thỏa điều kiện).
0,25
Thử lại ta có 2x = là nghiệm của phương trình đã cho. 0,25
Lưu ý: Thí sinh chỉ cần vẽ đúng hình với các giả thiết đầu tiên cho 0,25.
0,25
1. Chứng minh rằng tứ giác SAOH nội tiếp đường tròn .
O
F
N
M
H
B
C
S
A
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2018-2019 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Bài 4
(3 điểm)
Ta có SA ⊥ OA 090SAO = ( Tính chất tiếp tuyến ) 0,25
OH ⊥ CB 090SHO = ( Đường kính đi qua trung điểm của dây không
đi qua tâm của đường tròn)
0,25
Do đó 0180SAO SHO+ = . 0,25
Vậy tứ giác SAOH nội tiếp một đường tròn . 0,25
2. Chứng minh rằng 2 .SA SB SC=
Xét SAC và SBA có:
S chung
0,25
SAC ABS= (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung
AC)
0,25
 SAC đồng dạng với SBA (g.g). Do đó: 2 .
SA SC
SA SB SC
SB SA
= = 0,25
3. Xác định vị trí của MN để diện tích tam giác SMN lớn nhất.
Dựng đường cao SF của tam giác SMN . Ta có 
1
.
2
MNS S MS F N = 0,25
Vì độ dài đường kính MN không đổi nên MNSS lớn nhất khi SF lớn nhất . 0,25
Mà SF SO ( không đổi) 0,25
Do đó SF lớn nhất SF SO= MN ⊥ SO
Vậy MN ⊥ SO thì diện tích tam giác SMN lớn nhất.
0,25
Bài 5
(1 điểm)
Giả sử abc và xyz chia cho 11 có cùng số dư là ,1 10n N n 
có nghĩa là 11.abc k n= + và 11.xyz l n= + với , ,k l n N 
0,25
Khi đó
( )1000 11. 11.abcxyz k n l n= + + + 0,25
( )11. 1000 1001k l n= + + 0,25
Ta có ( )11. 1000 11k l+ và 1001 11 1001 11n suy ra 11abcxyz 0,25
------Hết------
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2018-2019 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Bài 1: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình 2 3 4 2x x x+ = − .
2. Rút gọn biểu thức: 
1 1 1 1
.
1 1 1
x x x
P
x x x x x
 + − 
= − − − + + + 
với 0x và 1.x 
Bài 2: (2,0 điểm)
1. Tìm m để phương trình 212 2 3 0x mx+ − = có hai nghiệm phân biệt 1,x 2x thỏa mãn
1 24 0x x+ = .
2. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình ( )2 2 0.x y x y− − + =
Bài 3: (2,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình
( )
( )
22 2
2 2
19
.
7
x xy y x y
x xy y x y
 + + = − 
− + = − 
2. Chứng minh rằng ( )3 3 3 3 31 2 3 ... 2017 2018 2019.+ + + + +
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Trên các cạnh AB, AC, BC lần lượt lấy các điểm H,
I, K sao cho tứ giác AHKI nội tiếp đường tròn. Trên tia AK lấy điểm D (K nằm giữa A
và D) sao cho KA.KD = KB.KC.
1. Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn.
2. Chứng minh 
HI IK
BC CD
= .
3. Chứng minh
2
2
'
4.
S HI
S AK
 , trong đó S và 'S lần lượt là diện tích của hai tam giác ABC và
.HIK
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho , ,a b c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng
( )
3 3 3 3 3 3
2 .
a b b c c a
a b c
ab bc ca
+ + +
+ + + +
-----Hết-----
Họ và tên thí sinh:.; SBD..; Phòng thi số..
Chữ ký của giám thị 1:; Chữ ký của giám thị 2:..
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2018-2019
Môn thi: Toán (Chuyên)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2018-2019 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
(Hướng dẫn chấm có 05 trang)
I. Hướng dẫn chung.
❖ Nếu học sinh giải cách khác hướng dẫn chấm nhưng đúng thì vẫn được điểm tối đa.
❖ Điểm toàn bài của thí sinh không làm tròn.
II. Đáp án – Thang điểm.
Câu Nội dung Điểm
Bài 1
1. Điều kiện 2 3 0x x+ 0,25
( )
22 23 4 2 3 4 2x x x x x x+ = − + = − 0,25
2 2 2
1
3 16 16 4 15 19 4 0 4
15
x
x x x x x x
x
= 
 + = − + − + = 
 =
( thỏa điều kiện)
0,25
Thử lại ta có 1x = là nghiệm của phương trình. 0,25
2.
( )( )
( )( )
( )( ) ( ) ( )
1 11 1
.
1 1 1 1 1 1
x xx x x
P
x x x x x x x x
 − −+ = − −
 − + − + + +
0,25
( )( ) ( )
1
.
1 1 1
x x x
x x x x
+ −
=
− + +
0,25
( )
1
.
1 1
x x
x x x
−
=
− +
0,25
1
.
1x
−
=
+
0,25
Bài 2
1. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ' 0 
2 36 0m + , đúng với mọi m . 0,25
Theo Vi-et, ta có 1 2
6
m
x x+ = − , 1 2
1
.
4
x x = − . 
0,25
Kết hợp 1 24 0x x+ = và 1 2
6
m
x x+ = − ta tìm được 1 2
2
,
9 18
m m
x x= − = . 
0,25
Thay 1 2
2
,
9 18
m m
x x= − = vào 1 2
1
.
4
x x = −
ta được phương trình 2
9
81 2
94
2
m
m
m
= 
= 
 = −
( thỏa mãn)
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2018 - 2019
Môn thi: Toán (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2018-2019 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Vậy 
9
2
m = và 
9
2
m = − .
2. Ta có
( ) ( )( )2 22 0 2 1 *x y x y x x y x− − + = + = −
Với 1x = từ ( )* suy ra 3 0= (vô lý) nên 1x = không phải là nghiệm của
phương trình.
0,25
Với 1x ( ) ( )
2 2 3
* 3 1
1 1
x x
y x
x x
+
 = = + +
− −
0,25
( )3 1y x − với  1 3; 3;1; 1 4; 2;2;0x x x − − − − 0,25
Thay x vào ( )1 ta tính được
4 8
2 0
2 8
0 0
x y
x y
x y
x y
= = 
 = − =
 = =
= = 
Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là ( ) ( ) ( ) ( )4;8 , 2;0 , 2;8 , 0;0 .−
0,25
Bài 3
1. Hệ phương trình đã cho tương đương với
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
3 19 6
7 7 7
x y xy x y xy x y
x y xy x y x y x y
 − + = − = − 
− + = − − = − 
0,25
( )
2 0
6
0
0
6
1
1
xy
xy x y
x y
x y
xy
x y
x y
 = 
 = − 
− = − = = − = − = 
0,25
Với
0 0
0 0
xy x
x y y
= = 
− = = 
0,25
Với
. 6 3
1 2
x y x
x y y
= = 
− = = 
hoặc
2
3
x
y
= − 
= − 
Vây hệ phương trình có các nghiệm là ( ) ( ) ( )0;0 , 3;2 , 2; 3 .− −
0,25
2. Ta có 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 2 3 ... 2018 1 2018 2 2017 ... 1009 1010+ + + + = + + + + + + 0,25
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 10091 2018 2 2017 3 2016 ... 1009 1010a a a a= + + + + + + + + 0,25
( )
1 2 3 1009
1 2 3 1009
2019 2019 2019 ... 2019
2019 ...
a a a a
a a a a
= + + + + =
= + + + + 0,25
Vì 1 2 3 1009, , ,...,a a a a nên ( )1 2 3 10092019 ... 2019.a a a a+ + + + 0,25
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2018-2019 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Bài 4
1. Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn.
Xét AKB và CKD có:
KA KC
KB KD
= ( do KA.KD = KB.KC)
0,25
AKB CKD= ( đối đỉnh) 0,25
 AKB đồng dạng CKD (c.g.c) ABC CDA= 0,25
Vậy tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn. 0,25
2. Chứng minh 
HI IK
BC CD
= .
Ta có: CBD CAD=