Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2019-2020 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2019-2020
Môn: TOÁN (không chuyên)
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (2, 0 điểm )
a) Không sử dụng máy tính bỏ túi, giải hệ phương trình: {
2𝑥 + 𝑦 = 4
3𝑥 − 2𝑦 = −1
b) Rút gọn biểu thức 𝑃 =
𝑎−4
√𝑎+2
:
𝑎−4√𝑎+4
2√𝑎−4
, với 𝑎 ≥ 0, 𝑎 ≠ 4
Câu 2. (2, 0 điểm)
a) Cho đường thẳng (𝑑): 𝑦 = 2𝑥 − 1. Xác định giá trị của 𝑎 và 𝑏 để đường thẳng (Δ): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 đi
qua điểm 𝐴(1; −2) và song song với đường thẳng (𝑑).
b) Giải phương trình: √𝑥2 + 3 = 5 − 3𝑥
Câu 3. (2, 0 điểm)
Cho phương trình 𝑥2 + 2(𝑚 − 2)𝑥 + 𝑚2 − 3𝑚 − 1 = 0, với 𝑚 là tham số.
a) Giải phương trình đã cho khi 𝑚 = 1.
b) Xác định của giá trị của 𝑚 để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho 𝑥1
2 − 𝑥1𝑥2 +
𝑥2
2 = 9
Câu 4. (1,0 điểm)
Quãng đường 𝐴𝐵 dài 180 km. Cùng một lúc, hai ô tô khởi hành từ 𝐴 đến 𝐵. Mỗi giờ ô tô thứ nhất
chạy nhiều hơn ô tô thứ hai 10 km nên ô tô thứ nhất đến 𝐵 trước ô tô thứ hai 36 phút. Tính vận tốc
trung bình của mỗi ô tô.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho đường tròn (𝑂) và điểm 𝐴 nằm ngoài (𝑂). Đường thẳng 𝐴𝑂 cắt đường tròn (𝑂) tại hai điểm 𝐵
và 𝐶(𝐴𝐵 < 𝐴𝐶). Qua 𝐴 vẽ một đường thẳng không đi qua điểm 𝑂, cắt đường tròn (𝑂) tại hai điểm
𝐷 và 𝐸 (𝐴𝐷 < 𝐴𝐸). Đường thẳng vuông góc với 𝐴𝑂 tại 𝐴 cắt đường thẳng 𝐶𝐸 tại 𝐹.
a) Chứng minh tứ giác 𝐴𝐵𝐸𝐹 nội tiếp đường tròn.
b) Gọi 𝑀 là giao điểm của đường thẳng 𝐹𝐵 và đường tròn (𝑂) ( 𝑀 không trùng 𝐵 ). Chứng minh 𝐴𝐶
là đường trung trực của đoạn thẳng 𝐷𝑀.
c) Chứng minh 𝐶𝐸. 𝐶𝐹 + 𝐴𝐷. 𝐴𝐸 = 𝐴𝐶2.
----------HẾT----------
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Chữ ký của giám thị 1: .......................................... : Chữ ký của giám thị 2:
................................................................................
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2019-2020 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Không sử dụng máy tính bỏ túi, giải hệ phương trình: {
2𝑥 + 𝑦 = 4
3𝑥 − 2𝑦 = −1
Lời giải
{
2𝑥 + 𝑦 = 4
3𝑥 − 2𝑦 = −1
⇔ {
4𝑥 + 2𝑦 = 8
3𝑥 − 2𝑦 = −1
⇔ {
7𝑥 = 7
2𝑥 + 𝑦 = 4
⇔ {
𝑥 = 1
2𝑥 + 𝑦 = 4
⇔ {
𝑥 = 1
2.1 + 𝑦 = 4
⇔ {
𝑥 = 1
𝑦 = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (𝑥; 𝑦) = (1; 2)
b) Rút gọn biểu thức 𝑃 =
𝑎−4
√𝑎+2
:
𝑎−4√𝑎+4
2√𝑎−4
, với 𝑎 ≥ 0, 𝑎 ≠ 4
Lời giải
𝑃 =
𝑎 − 4
√𝑎 + 2
:
𝑎 − 4√𝑎 + 4
2√𝑎 − 4
𝑃 =
𝑎 − 4
√𝑎 + 2
.
2√𝑎 − 4
𝑎 − 4√𝑎 + 4
𝑃 =
(√𝑎 − 2)(√𝑎 + 2)
√𝑎 + 2
.
2(√𝑎 − 2)
(√𝑎 − 2)2
𝑃 = 2
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Cho đường thẳng (𝑑): 𝑦 = 2𝑥 − 1. Xác định giá trị của 𝑎 và 𝑏 để đường thẳng (Δ): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 đi
qua điểm 𝐴(1; −2) và song song với đường thẳng (𝑑).
Lời giải
(Δ) ∥ (𝑑) ⇔ {
𝑎 = 2
𝑏 ≠ −1
⇒ (Δ): 𝑦 = 2𝑥 + 𝑏(𝑏 ≠ −1)
Vì đường thẳng (Δ): 𝑦 = 2𝑥 + 𝑏 đi qua điểm 𝐴(1; −2) nên ta có:
−2 = 2.1 + 𝑏 ⇔ −2 = 2 + 𝑏 ⇔ 𝑏 = −4 (thỏa mãn)
Vậy phương trình đường thẳng (Δ) là: 𝑦 = 2𝑥 − 4
b) Giải phương trình: √𝑥2 + 3 = 5 − 3𝑥
Lời giải
Ta có: 𝑥2 + 3 > 0 với mọi 𝑥 ∈ ℝ
Điều kiện: 5 − 3𝑥 > 0 ⇔ 3𝑥 < 5 ⇔ 𝑥 <
5
3
√𝑥2 + 3 = 5 − 3𝑥 ⇔ 𝑥2 + 3 = (5 − 3𝑥)2
⇔ 𝑥2 + 3 = 25 − 30𝑥 + 9𝑥2
⇔ 9𝑥2 − 𝑥2 − 30𝑥 + 25 − 3 = 0
⇔ 8𝑥2 − 30𝑥 + 22 = 0
⇔ 4𝑥2 − 15𝑥 + 11 = 0(∗)
Phương trình ( ∗ ) có 𝑎 = 4; 𝑏 = −15; 𝑐 = 11
⇒ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 4 + (−15) + 11 = 0
Phương trình ( ∗) có 2 nghiệm phân biệt:
𝑥1 = 1 (thỏa mãn) 𝑥2 =
11
4
(không thỏa mãn)
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2019-2020 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Vậy tập nghiệm của phương trình là: 𝑆 = {1}
Câu 3. (2, 0 điểm)
Cho phương trình 𝑥2 + 2(𝑚 − 2)𝑥 + 𝑚2 − 3𝑚 − 1 = 0, với 𝑚 là tham số.
a) Giải phương trình đã cho khi 𝑚 = 1.
b) Xác định của giá trị của 𝑚 để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho 𝑥1
2 − 𝑥1𝑥2 +
𝑥2
2 = 9
Lời giải
a) Giải phương trình đã cho khi 𝑚 = 1.
Thay 𝑚 = 1 vào phương trình 𝑥2 + 2(𝑚 − 2)𝑥 + 𝑚2 − 3𝑚 − 1 = 0, ta được:
𝑥2 + 2(1 − 2)𝑥 + 12 − 3.1 − 1 = 0
⇔ 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0(∗)
Phương trình ( ∗) có 𝑎 = 1; 𝑏 = −2; 𝑐 = −3
⇒ 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 1 − (−2) + (−3) = 0
Phương trình (∗) có 2 nghiệm phân biệt: 𝑥1 = −1; 𝑥 = 3
b) Xác định của giá trị của 𝑚 để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho 𝑥1
2 − 𝑥1𝑥2 +
𝑥2
2 = 9
Phương trình: 𝑥2 + 2(𝑚 − 2)𝑥 + 𝑚2 − 3𝑚 − 1 = 0 (I)
Δ′ = (𝑚 − 2)2 − (𝑚2 − 3𝑚 − 1)
Δ′ = 𝑚2 − 4𝑚 + 4 − (𝑚2 − 3𝑚 − 1)
Δ′ = 𝑚2 − 4𝑚 + 4 − 𝑚2 + 3𝑚 + 1
Δ′ = −𝑚 + 5
Phương trình (I) có 2 nghiệm phân biệt khi Δ′ > 0 ⇔ −𝑚 + 5 > 0
⇔ 𝑚 < 5
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: {
𝑥1 + 𝑥2 = −2(𝑚 − 2) = 4 − 2𝑚
𝑥1𝑥2 = 𝑚
2 − 3𝑚 − 1
Theo đề bài: 𝑥1
2 − 𝑥1𝑥2 + 𝑥2
2 = 9
⇔ (𝑥1
2 + 𝑥2
2) − 𝑥1𝑥2 = 9
⇔ (𝑥1 + 𝑥2)
2 − 2𝑥1𝑥2 − 𝑥1𝑥2 = 9
⇔ (𝑥1 + 𝑥2)
2 − 3𝑥1𝑥2 = 9
⇒ (4 − 2𝑚)2 − 3(𝑚2 − 3𝑚 − 1) = 9
⇔ 16 − 16𝑚 + 4𝑚2 − 3𝑚2 + 9𝑚 + 3 = 9
⇔ 𝑚2 − 7𝑚 + 19 = 9
⇔ 𝑚2 − 7𝑚 + 19 − 9 = 0
⇔ 𝑚2 − 7𝑚 + 10 = 0
⇔ 𝑚2 − 5𝑚 − 2𝑚 + 10 = 0
⇔ 𝑚(𝑚 − 5) − 2(𝑚 − 5) = 0
⇔ (𝑚 − 5)(𝑚 − 2) = 0
⇔ 𝑚 = 5 = 0 hoặc 𝑚 − 2 = 0
⇔ 𝑚 = 5 (không thỏa mãn )hoặc 𝑚 = 2 (thỏa mãn)
Vậy 𝑚 = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4. (1,0 điểm)
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2019-2020 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Quãng đường 𝐴𝐵 dài 180 km. Cùng một lúc, hai ô tô khởi hành từ 𝐴 đến 𝐵. Mỗi giờ ô tô thứ nhất
chạy nhiều hơn ô tô thứ hai 10 km nên ô tô thứ nhất đến 𝐵 trước ô tô thứ hai 36 phút. Tính vận tốc
trung bình của mỗi ô tô.
Lời giải
36 phút =
36
60
ℎ =
3
5
ℎ
Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhiều hơn ô tô thứ hai 10 km, nghĩa là vận tốc của ô tô thứ nhất lớn hơn
vận tốc của ô tô thứ hai là 10 km/h.
Gọi vận tốc trung bình của ô tô thứ nhất là 𝑥(𝑘𝑚/ℎ), 𝑥 > 10
Khi đó, vận tốc trung bình của ô tô thứ hai là: 𝑥 − 10( km/h)
Thời gian ô tô thứ nhất chạy từ 𝐴 đến 𝐵 là: 
180
𝑥
(ℎ)
Thời gian ô tô thứ hai chạy từ 𝐴 đến 𝐵 là: 
180
𝑥−10
(ℎ)
Vì ô tô thứ nhất đến 𝐵 trước ô tô thứ hai 36 phút nên ta có:
180
𝑥 − 10
−
180
𝑥
=
3
5
⇔
180.5𝑥
5𝑥(𝑥 − 10)
−
180.5(𝑥 − 10)
5𝑥(𝑥 − 10)
=
3𝑥(𝑥 − 10)
5𝑥(𝑥 − 10)
⇒ 180.5𝑥 − 180.5(𝑥 − 10) = 3𝑥(𝑥 − 10)
⇔ 900𝑥 − 900𝑥 + 9000 = 3𝑥2 − 30𝑥
⇔ 3𝑥2 − 30𝑥 = 9000
⇔ 3𝑥2 − 30𝑥 − 9000 = 0
⇔ 𝑥2 − 10𝑥 − 3000 = 0
⇔ 𝑥2 − 60𝑥 + 50𝑥 − 3000 = 0
⇔ 𝑥(𝑥 − 60) + 50(𝑥 − 60) = 0
⇔ (𝑥 − 60)(𝑥 + 50) = 0
⇔ 𝑥 − 60 = 0 hoặc 𝑥 + 50 = 0
⇔ 𝑥 = 60 (thỏa mãn) hoặc 𝑥 = −50 (không thỏa mãn)
Vậy vận tốc trung bình của ô tô thứ nhất là: 60 km/h; vận tốc trung bình của ô tô thứ hai là: 50 km/h.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho đường tròn (𝑂) và điểm 𝐴 nằm ngoài (𝑂). Đường thẳng 𝐴𝑂 cắt đường tròn (𝑂) tại hai điểm 𝐵
và 𝐶(𝐴𝐵 < 𝐴𝐶). Qua 𝐴 vẽ một đường thẳng không đi qua điểm 𝑂, cắt đường tròn (𝑂) tại hai điểm
𝐷 và 𝐸 (𝐴𝐷 < 𝐴𝐸). Đường thẳng vuông góc với 𝐴𝑂 tại 𝐴 cắt đường thẳng 𝐶𝐸 tại 𝐹.
a) Chứng minh tứ giác 𝐴𝐵𝐸𝐹 nội tiếp đường tròn.
b) Gọi 𝑀 là giao điểm của đường thẳng 𝐹𝐵 và đường tròn (𝑂) ( 𝑀 không trùng 𝐵). Chứng minh 𝐴𝐶
là đường trung trực của đoạn thẳng 𝐷𝑀.
c) Chứng minh 𝐶𝐸. 𝐶𝐹 + 𝐴𝐷. 𝐴𝐸 = 𝐴𝐶2.
Lời giải
a) Chứng minh tứ giác 𝐴𝐵𝐸𝐹 nội tiếp đường tròn.
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2019-2020 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Vì đường thẳng 𝐴𝑂 cắt đường tròn (𝑂) tại hai điểm 𝐵 và 𝐶 nên 𝐵𝐶 là đường kình của đường tròn
(𝑂)
⇒ 𝐵𝐸�̂� = 90∘ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ 𝐵𝐸�̂� = 90∘
Vì 𝐴𝑂 ⊥ 𝐴𝐹 nên 𝐵𝐴�̂� = 90∘
Xét tứ giác 𝐴𝐵𝐸𝐹 có: 𝐵𝐴�̂� + 𝐵𝐸�̂� = 90∘ + 90∘ = 180∘
Mà 𝐵𝐴�̂�; 𝐵𝐸�̂� là hai góc đối nhau.
Suy ra: Tứ giác 𝐴𝐵𝐸𝐹 là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi 𝑀 là giao điểm của đường thẳng 𝐹𝐵 và đường tròn (𝑂) ( 𝑀 không trùng 𝐵 ). Chứng minh 𝐴𝐶
là đường trung trực của đoạn thẳng 𝐷𝑀.
Gọi 𝐼 = 𝐵𝐶 ∩ 𝑀𝐷
Vì tứ giác 𝐵𝑀𝐸𝐷 là tứ giác nội tiếp nên ta có:
𝐵𝑀�̂� = 𝐷𝐸�̂� (Hai góc nội tiếp cùng chắn 𝐷𝐵⏜ ) ⇒ 𝐼𝑀�̂� = 𝐷𝐸�̂� (1)
Ta lại có: 𝐴𝐸�̂� = 𝐴𝐹�̂� (Hai góc nội tiếp cùng chắn 𝐴𝐵⏜ )
⇒ 𝐷𝐸�̂� = 𝐴𝐹�̂� (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 𝐼𝑀�̂� = 𝐴𝐹�̂�
Mặt khác: 𝐼𝐵�̂� = 𝐴𝐵�̂� (Hai góc đối đỉnh)
⇒ 𝐼𝑀�̂� + 𝐼𝐵�̂� = 𝐴𝐹�̂� + 𝐴𝐵�̂� = 90∘ (vì △ 𝐴𝐵𝐹 vuông tại 𝐴 )
⇒ 𝑀𝐼�̂� = 90∘
⇒ 𝑀𝐷 ⊥ 𝐵𝐶 tại 𝐼.
⇒ 𝐼 là trung điểm của 𝑀𝐷.
Do đó: 𝐴𝐶 là đường trung trực của đoạn thẳng 𝐷𝑀.
c) Chứng minh 𝐶𝐸. 𝐶𝐹 + 𝐴𝐷. 𝐴𝐸 = 𝐴𝐶2.
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2019-2020 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Xét △ 𝐸𝐶𝐵 và △ 𝐴𝐶𝐹 có:
𝐸𝐶�̂� là góc chung;
𝐵𝐸�̂� = 𝐹𝐴�̂� = 90∘
Do đó: △ 𝐸𝐶𝐵 ∼△ 𝐴𝐶𝐹( g.g)
⇒
𝐸𝐶
𝐴𝐶
=
𝐶𝐵
𝐶𝐹
⇒ 𝐸𝐶. 𝐶𝐹 = 𝐴𝐶. 𝐶𝐵
Vì tứ giác 𝐵𝑀𝐸𝐷 nội tiếp nên 𝐴𝐷�̂� = 𝐵𝑀�̂�(3)
Mà 𝐵𝑀�̂� = 𝐵𝐶�̂� (Hai góc nội tiếp cùng chắn 𝐵𝐸⏜ ) hay 𝐵𝑀�̂� = 𝐴𝐶�̂� (4)
Từ (3) và (4) suy ra: 𝐴𝐷�̂� = 𝐴𝐶�̂�
Xét △ 𝐴𝐷𝐵 và △ 𝐴𝐶𝐸 có:
𝐸𝐴�̂� là góc chung;
𝐴𝐷�̂� = 𝐴𝐶�̂�(cmt)
Do đó: △ 𝐴𝐷𝐵 ∼△ 𝐴𝐶𝐸(𝑔. 𝑔)
⇒
𝐴𝐷
𝐴𝐶
=
𝐴𝐵
𝐴𝐸
⇒ 𝐴𝐷. 𝐴𝐸 = 𝐴𝐵. 𝐴𝐶
{
𝐸𝐶. 𝐶𝐹 = 𝐴𝐶. 𝐶𝐵
𝐴𝐷. 𝐴𝐸 = 𝐴𝐵. 𝐴𝐶
⇒ 𝐸𝐶. 𝐶𝐹 + 𝐴𝐷. 𝐴𝐸 = 𝐴𝐶. 𝐶𝐵 + 𝐴𝐵. 𝐴𝐶
⇒ 𝐸𝐶. 𝐶𝐹 + 𝐴𝐷. 𝐴𝐸 = 𝐴𝐶. (𝐴𝐵 + 𝐵𝐶)
⇒ 𝐸𝐶. 𝐶𝐹 + 𝐴𝐷. 𝐴𝐸 = 𝐴𝐶. 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶2
Vậy 𝐶𝐸. 𝐶𝐹 + 𝐴𝐷. 𝐴𝐸 = 𝐴𝐶2
----------HẾT----------
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2019-2020 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Câu 1: (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức
2
4 2 3 6 2 5
5 3
A = + + − +
+
.
b) Tính thể tích của một hình cầu, biết diện tích mặt cầu bằng 236 cm .
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Cho parabol 2( ) :P y x= và đường thẳng : 2 2d y x m= + − , với m là tham số. Xác
định giá trị của m để d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 23 2 2 10 4 0x y xy x y− + − − + = .
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình 1 5 2 2 ( 1)(5 )x x x x− + − − = − − .
b) Giải hệ phương trình
2 2
2 2
( ) ( 2) 4( 2)
( 2)( 2) 4( 2)
x y x y y
x y y