Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2021-2022 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
GIA LAI
NĂM HỌC 2021-2022

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (2,0 điểm)
	a) Giải phương trình .
	b) Cho phương trình , với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn .
Câu 2: (2,0 điểm)
	a) Cho hàm số . Xác định hệ số a, b biết đồ thị của hàm số đã cho là một đường thẳng song song với đường thẳng và đi qua điểm M(5; 1).
	b) Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d): và parabol (P):. Tìm m để (d) và (P) có một điểm chung.
Câu 3: (2,0 điểm). 
Rút gọn biểu thức , với x > 0 và x # 1.
Giải phương trình . 
Câu 4: (2,0 điểm). 
Một hình chữ nhật có chu vi bằng 68cm. Nếu tăng chiều rộng 6cm và giảm chiều dài 10cm thì được một hình vuông có cùng diện tích với hình chữ nhật ban đầu. Tìm kích thước của hình chữ nhật ban đầu.
Một lọ thủy tinh hình trụ có đường kính đáy bằng 15cm ( độ dày của thành lọ và đáy lọ không đáng kể) chứa nước. Người ta thả chìm hoàn toàn 10 viên bi dạng khối cầu có cùng đường kính bằng 4cm vào lọ, biết nước trong lọ không tràn ra ngoài. Tính chiều cao của lượng nước dâng lên so với mực nước ban đầu (kết quả lấy đến một chữ số sau dấu phẩy).
Câu 5: (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại .
Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp một đường tròn.
Chứng minh EF vuông góc OA.
ĐÁP ÁN :
BÀI
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
Bài 1
a)
Giải phương trình: 
 hoặc 
 hoặc .
Vậy phương trình có tập nghiệm .

b)
Cho phương trình , với m là tham số.
Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn .
, với m là tham số.
 .
Suy ra pt có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Theo vi-et ta có : 
Theo đề, ta có : 
Giải hệ pt 
Thay vào , ta được:
Phương trình có dạng .
Suy ra hoặc .
Vây giá trị cần tìm là hoặc .

Bài 2
a)
+ Đt cần tìm song song với đường thẳng có dạng (b#0).
+ Đt cần tìm đi qua điểm M(5;1) nên ta có:
 ( nhận).
Vậy đt cần tìm có pt: .

b)
+ Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d): và parabol (P): là:
 (1)
+ Đường thẳng (d): và parabol (P): có một điểm chung thì pt (1) có 1 nghiệm kép.
Suy ra 
.
Vậy giá trị cần tìm là .

Bài 3
a)
 , với x > 0 và x # 1.
.
Vậy .

b)
 
 hoặc .
Vậy pt có tập nghiệm .

Bài 4
a)
+ Nửa chu vi hcn ban đầu là (cm).
+ Gọi chiều dài hcn ban đầu là (cm); . Suy ra chiều rộng hcn ban đầu là (cm).
+ Chiều dài hcn sau khi giảm 10(cm) là (cm). Chiều rộng hcn sau khi tăng 6(cm) là (cm).
+ Theo đề, sau khi giảm chiều dài 10(cm) và tăng chiều rộng 6(cm) ta được hình vuông nên ta có phương trình:
 (nhận).
+Vậy chiều dài hcn ban đầu là 25(cm). 
 Chiều rộng hcn ban đầu là (cm).

b)
+ Thể tích 10 viên bi dạng khối cầu đường kính 4(cm) là:
 (cm3).
+ Thể tích nước dâng lên trong lọ thủy tinh hình trụ đường kính 15(cm) bằng thể tích 10 viên bi dạng khối cầu đường kính 4(cm).
+ Suy ra chiều cao mực nước dâng lên là :
 (cm).
Vậy chiều cao lượng nước dâng lên so với mực nước ban đầu là 1,9(cm).

Bài 5
a)

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp một đường tròn:
+ Ta có : ( CF là đường cao trong )
 ( BE là đường cao trong )
+ Suy ra điểm E và điểm F nằm trên đường tròn đường kính AH.
 Hay tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH (đpcm).

b)
b) Chứng minh EF vuông góc OA :
+ Từ A kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn tâm O ( x ở cùng hướng với điểm B so với OA).
+ Ta có ( CF là đường cao trong )
 ( BE là đường cao trong )
 Suy ra điểm E và điểm F nằm trên đường tròn đường kính BC.
 Hay tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
 (tổng hai góc đối của tứ giác BFEC nội tiếp một đường tròn).
Mà ( kề bù)
 (cùng bù ).
 Laị có : ( góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, cùng chắn cung AB của đường tròn tâm O).
(cùng bằng ). 
 Hai góc này nằm ở vị trí so le trong, suy ra Ax song song FE.
Ta lại có: Ax vuông góc với AO( Ax là tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại tiếp điểm A).
Suy ra: FE vuông góc AO (đpcm).


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
(Đề thi có 01 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2021-2022
Môn: Toán (Chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (2,0 điểm)
	Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức 
Tìm tất cả giá trị của để là số nguyên 
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho phương trình với là tham số. Tìm tất cả các giá trị để phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên thỏa mãn 
Cho đa thức Tìm biết chia hết cho chia hết cho và nhận giá trị bằng 2 khi 
Câu 3. (2,0 điểm)
Giải phương trình : 
Giải hệ phương trình 
Câu 4. (3,0 điểm)
	Cho đường tròn có đường kính cố định, là một điểm thuộc đoạn khác O), qua kẻ đường thẳng vuông góc với và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt và Gọi là điểm thuộc cung lớn và là giao điểm của với 
Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn
Chứng minh và 
Gọi lần lượt là hình chiếu của lên đường thẳng Xác định vị trí điểm trên đường tròn sao cho độ dài đoạn thẳng lớn nhất
Câu 5. (1,0 điểm) Cho hai số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
TỈNH GIA LAI NĂM 2021-2022
Câu 1. (2,0 điểm)
	Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức 
Ta có :
Tìm tất cả giá trị của để là số nguyên 
Ta có : với 
Vậy 
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho phương trình với là tham số. Tìm tất cả các giá trị để phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên thỏa mãn 
(với mọi m)
Vì là hai nghiệm nguyên của phương trình 
Ta có : 
Suy ra mà nên 
Thay vào ta được 
Ta được 
+)Với 
+)Với 
+)Với 
+)Với 
Vậy có hai giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán 
Cho đa thức Tìm biết chia hết cho chia hết cho và nhận giá trị bằng 2 khi 
Vì chia hết cho nên 
Lập luận tương tự ta có 
Mà nhận giá trị bằng 2 khi 
Từ ta có hệ 
Vậy 
Câu 3. (2,0 điểm)
Giải phương trình : 
Điều kiện : 
Vậy phương trình có nghiệm 
Giải hệ phương trình 
Từ (1)
*)Thay vào (2) ta được:
Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình (3)
Với ,	Với 
*)Thay vào (2) ta được :
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm 
Câu 4. (3,0 điểm)
Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn
Ta có : (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính 
(giả thiết)
Tứ giác có 
Vậy tứ giác nội tiếp một đường tròn 
Chứng minh và 
Theo giả thiết tại I suy ra là điểm chính giữa của cung nhỏ 
Xét và có :
chung,(vì 
Suy ra 
Xét tam giác vuông tại I, suy ra 
Xét tam giác vuông tại M có đường cao 
Suy ra 
Từ (1), (2), (3)	
Gọi lần lượt là hình chiếu của lên đường thẳng Xác định vị trí điểm trên đường tròn sao cho độ dài đoạn thẳng lớn nhất
Tứ giác có nên tứ giác nội tiếp 
Suy ra (cùng bù với 
Ta có : (cùng chắn cung 
Từ (a) và (b)
Ta có : (cùng chắn cung 
(cùng chắn cung 
Từ 
Từ và 
Do đó Dấu xảy ra khi 
Ta có là tứ giác nội tiếp (vì có hai đỉnh nhìn đoạn dưới 1 góc vuông). Suy ra (cùng chắn cung 
Tứ giác nội tiếp (vì 
Suy ra là đường kính của đường tròn (O)
Vậy C đối xứng với M qua O
Câu 5. Cho hai số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Từ giả thiết bài toán ta có :
Vì không âm nên :
Vậy 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC 
(Đề thi có 01 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2021-2022
Môn: Toán (Chuyên tin)
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (2,0 điểm)
	Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức 
Tính giá trị của biểu thức khi 
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho phương trình là tham số. Tìm để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 
Trong quá trình truy vết phòng dịch Covid – 19 của 3 ca (tiếp xúc gần với người đã nhiễm bệnh) có tên là Lâm, Thanh, Vân; đã đi bằng 3 phương tiện khác nhau gồm: Xe ô tô cá nhân, xe khách và tàu hỏa, đến 3 địa phương khác nhau là : Hà Nội, Đà Nẵng và Gia Lai. Đội thu thập thông tin đã thu thập được các thông tin sau :
Lâm không có ô tô cá nhân và đi đến Gia Lai
Xe khách không đi Hà Nội mà chỉ đến Đà Nẵng và Gia Lai
:Thanh đến Đà Nẵng và không đi Hà Nội 
:Tàu hỏa không đến Gia Lai mà chỉ đến Hà Nội
:Ba người đi trên ba phương tiện và đến ba địa phương khác nhau 
Hỏi mỗi người đi bằng phương tiện gì và đến địa phương nào ? Vì sao ?
Câu 3. (2,0 điểm)
Giải phương trình 
Bảng G vòng loại World Cup khu vực châu Á môn bóng đá có 5 đội bóng tham gia. Các đội thi đấu theo thể thức như sau: Mỗi đội đều thi đấu với tất cả các đội khác hai trận; trong mỗi trận đội thắng được 3 điểm, hòa mỗi đội được 1 điểm và đội thua 0 điểm. Kết quả xếp hạng từ 1 đến 5 của bảng đấu dựa trên tổng số điểm của mỗi đội đạt được từ cao xuống thấp, nếu các đội bằng điểm thì sẽ được xếp hạng bẳng cách so sánh thêm các chỉ số phụ. Hỏi sau khi kết thúc bảng đấu, đội đứng thứ năm có thể thắng ít nhất 4 trận hay không ? Vì sao ?
Câu 4. (3,0 điểm) 
	Cho điểm nằm ngoài đường tròn Qua vẽ hai tiếp tuyến là tiếp điểm) và cát tuyến nằm giữa A và E, tia nằm giữa hai tia và Gọi là trung điểm của đoạn là giao điểm của và 
Chứng minh năm điểm nằm trên một đường tròn
Chứng minh 
Gọi là điểm đối xứng của qua AO. Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Câu 5. (1,0 điểm) Cho hai số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
ĐÁP ÁN
Câu 1.
Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức 
Ta có :
Tính giá trị của biểu thức khi 
Khi 
Câu 2. 
 Cho phương trình là tham số. Tìm để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 
Theo định lý Vi-et ta có : 
Mà 
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán
Trong quá trình truy vết phòng dịch Covid – 19 của 3 ca (tiếp xúc gần với người đã nhiễm bệnh) có tên là Lâm, Thanh, Vân; đã đi bằng 3 phương tiện khác nhau gồm: Xe ô tô cá nhân, xe khách và tàu hỏa, đến 3 địa phương khác nhau là : Hà Nội, Đà Nẵng và Gia Lai. Đội thu thập thông tin đã thu thập được các thông tin sau :
Lâm không có ô tô cá nhân và đi đến Gia Lai
Xe khách không đi Hà Nội mà chỉ đến Đà Nẵng và Gia Lai
:Thanh đến Đà Nẵng và không đi Hà Nội 
:Tàu hỏa không đến Gia Lai mà chỉ đến Hà Nội
:Ba người đi trên ba phương tiện và đến ba địa phương khác nhau 
Hỏi mỗi người đi bằng phương tiện