Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2022-2023 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2022-2023
Môn: TOÁN (không chuyên)
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2,0 điểm )
a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình: {
𝑥 + 3𝑦 = 1
2𝑥 − 𝑦 = 9.
b) Gọi 𝑥1 và 𝑥2 là hai nghiệm của phương trình: 𝑥
2 − 4𝑥 − 7 = 0.
Tính giá trị của biểu thức 𝑇 =
𝑥1
𝑥2
+
𝑥2
𝑥1
− 2.
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Xác định 𝑎 để Parabol (𝑃): 𝑦 = (2𝑎 + 1)𝑥2 đi qua điểm 𝑀(2; −1).
b) Cho Parabol (𝐶): 𝑦 = 𝑥2 và đường thẳng (△): 𝑦 = 2𝑚𝑥 − 4𝑚 + 5 ( 𝑚 là tham số). Tìm 𝑚 đề (Δ)
cắt (𝐶) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức 𝑃 =
𝑥
√𝑥+1
+ √𝑥 (
1
√𝑥+1
+
1
√𝑥+2
) +
2
√𝑥+2
, với 𝑥 ≥ 0.
b) Một tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7 cm, độ dài cạnh huyền bằng
17 cm. Tìm độ dài hai cạnh góc vuông đó.
a) Theo dự án công trình nông thôn mới, đoạn đường Nguyễn Viết Xuân cần được đầu tư
Câu 4: (2,0 điểm)
a) Theo dự án công trình thôn mới, đoạn đường Nguyễn Viết Xuân cần được đầu tư để làm 500m
cống thoát nước có dạng hình trụ. Nhà nước hỗ trợ 80% tổng kinh phí, phần còn lại là đóng góp của
người dân sinh sống trên đoạn đường đó. Biết
mỗi chiếc cống có chiều dài 1 m, bán kính
trong bằng 30 cm, độ dày bằng 10 cm (như
hình dưới). Biết giá thành để hoàn thiện 1 m3
bê tông là 900 000 đồng, tính số tiền người dân
phải trả thêm để làm cống ở đoạn đường trên?
(Làm tròn đến hàng triệu đồng).
b) Giải phương trình: √4𝑥 − 12
3
+ √6 − 𝑥 − 3 = 0.
Câu 5: (2,0 điểm)
Cho đường tròn (𝑂; 𝑅), lấy điểm 𝑀 nằm bên ngoài đường tròn sao cho 𝑂𝑀 = 2𝑅. Qua 𝑀 vẽ hai tiếp
tuyến 𝑀𝐴, 𝑀𝐵(𝐴, 𝐵 là hai tiếp điểm ) và cát tuyến không đi qua tâm 𝑂 cắt đường tròn tại 𝐶 và 𝐷(𝐶
nằm giữa 𝑀 và 𝐷).
a) Chứng minh tứ giác 𝑀𝐴𝑂𝐵 nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh △ 𝐷𝐴𝑀 ∪△ 𝐴𝐶𝑀.
c) Kẻ 𝐴𝐻 ⊥ 𝑂𝑀, chứng minh 𝐴𝐻 =
1
2
√𝐷𝑀. 𝐶𝑀.
----------HẾT----------
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2022-2023 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO 10 NǍM HỌC 2022 - 2023
MÔN TOÁN - GIA LAI
Câu 1 (2,0 điểm)
Cách giải:
a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình {
𝑥 + 3𝑦 = 1
2𝑥 − 𝑦 = 9
.
Ta có:
{
𝑥 + 3𝑦 = 1
2𝑥 − 𝑦 = 9
⇔ {
𝑥 + 3𝑦 = 1
𝑦 = 2𝑥 − 9
⇔ {
𝑥 + 3(2𝑥 − 9) = 1
𝑦 = 2𝑥 − 9
⇔ {
7𝑥 − 27 = 1
𝑦 = 2𝑥 − 9
⇔ {
7𝑥 = 28
𝑦 = 2𝑥 − 9
⇔ {
𝑥 = 4
𝑦 = −1
Vậy hệ phương trình có nghiệm (4; −1).
b) Gọi 𝑥1 và 𝑥2 là hai nghiệm của phương trình 𝑥
2 − 4𝑥 − 7 = 0.
Tính giá trị của biểu thức 𝑇 =
𝑥1
𝑥2
+
𝑥2
𝑥1
− 2
Phương trình có 𝑎𝑐 = −7 < 0 nên luôn có 2 nghiệm phân biệt 𝑥1, 𝑥2 trái dấu.
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: {
𝑥1 + 𝑥2 = 4
𝑥1𝑥2 = −7
.
Khi đó ta có:
𝑇 =
𝑥1
𝑥2
+
𝑥2
𝑥1
− 2
𝑇 =
𝑥1
2 + 𝑥2
2
𝑥1𝑥2
− 2
𝑇 =
(𝑥1 + 𝑥2)
2 − 2𝑥1𝑥2
𝑥1𝑥2
− 2
𝑇 =
16 + 14
−7
− 2
𝑇 = −
30
7
− 2
𝑇 = −
44
7
Vậy 𝑇 = −
44
7
.
Câu 2 (2,0 điểm)
Cách giải:
a) Xác định a để Parabol (𝑃): 𝑦 = (2𝑎 + 1)𝑥2 đi qua điểm 𝑀(2; −1).
Để Parabol (𝑃): 𝑦 = (2𝑥 + 1)𝑥2 đi qua điểm 𝑀(2; −1) thì thay 𝑥 = 2, 𝑦 = −1 vào 𝑦 = (2𝑎 + 1)𝑥2
ta có:
−1 = (2𝑎 + 1).4 ⇔ 2𝑎 + 1 = −
1
4
⇔ 2𝑎 = −
5
4
⇔ 𝑎 = −
5
8
.
Vậy 𝑎 = −
5
8
.
b) Cho Parabol (𝐶): 𝑦 = 𝑥2 và đường thẳng (Δ): 𝑦 = 2𝑚𝑥 − 4𝑚 + 5 (m là tham số). Tìm m để
(Δ) cắt (𝐶) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
Xét phương trình hoành độ giao điểm 𝑥2 = 2𝑚𝑥 − 4𝑚 + 5 ⇔ 𝑥2 − 2𝑚𝑥 + 4𝑚 − 5 = 0 (∗)
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2022-2023 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Để (Δ) cắt (𝐶) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình (*) có 2 nghiệm dương
phân biệt
⇒ {
Δ′ > 0
𝑆 > 0
𝑃 > 0
⇔ {
𝑚2 − 4𝑚 + 5 > 0
2𝑚 > 0
4𝑚 − 5 > 0
⇔ {
𝑚 > 0
𝑚 >
5
4
⇔ 𝑚 >
5
4
.
(𝑚2 − 4𝑚 + 5 = (𝑚 − 2)2 + 1 > 0∀𝑚)
Vậy 𝑚 >
5
4
.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cách giải:
a) Rút gon biểu thức: 𝑃 =
𝑥
√𝑥+1
+ √𝑥 (
1
√𝑥+1
+
1
√𝑥+2
) +
2
√𝑥+2
với 𝑥 ≥ 0
Với 𝑥 ≥ 0, ta có:
P =
𝑥
√𝑥 + 1
+ √𝑥 (
1
√𝑥 + 1
+
1
√𝑥 + 2
) +
2
√𝑥 + 2
=
𝑥
√𝑥 + 1
+
√𝑥
√𝑥 + 1
+
√𝑥
√𝑥 + 2
+
2
√𝑥 + 2
=
𝑥 + √𝑥
√𝑥 + 1
+
√𝑥 + 2
√𝑥 + 2
=
√𝑥(√𝑥 + 1)
√𝑥 + 1
+ 1
= √𝑥 + 1
Vậy 𝑃 = √𝑥 + 1 với 𝑥 ≥ 0.
b) Một tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 𝟕 𝐜𝐦, độ dài cạnh huyền
bằng 𝟏𝟕 𝐜𝐦.
Tính độ dài hai cạnh góc vuông dó.
Gọi độ dài cạnh thứ nhất của tam giác vuông là x(cm ) (điều kiện: x > 0 )
Khi đó độ dài cạnh thứ hai của tam giác vuông là: x + 7( cm)
Áp dụng định lý Py - ta - go, ta có phương trình:
𝑥2 + (𝑥 + 7)2 = 172
⇔ 𝑥2 + 𝑥2 + 14𝑥 + 49 = 289
⇔ 2𝑥2 + 14𝑥 − 240 = 0
⇔ 𝑥2 + 7𝑥 − 120 = 0
Ta có: Δ = 72 − 4. (−120) = 529 > 0, √Δ = 23 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
[
𝑥 =
−7 + 23
2
= 8 (tm)
𝑥 =
−7 − 23
2
= −15 (ktm)
Vậy độ dài cạnh thứ nhất của hình vuông là 8 cm, độ cạnh thứ hai của hình vuông là 15 cm.
Câu 4 (2,0 điểm)
Cách giải:
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2022-2023 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
a) Theo dự án công trình thôn mới, đoạn đường Nguyễn Viết Xuân cần được đầu tư để làm
500m cống thoát nước có dạng hình trụ. Nhà nước hỗ trợ 80% tổng kinh phí, phần còn lại là
đóng góp của người dân sinh sống trên đoạn đường đó. Biết mỗi chiếc cống có chiều dài 𝟏 𝐦,
bán kính trong bằng 𝟑𝟎 𝐜𝐦, độ dày bằng 𝟏𝟎 𝐜𝐦 (như hình dưới). Biết giá thành để hoàn thiện
𝟏 𝐦𝟑 bê tông là 900 000 đồng, tính số tiền người dân phải trả thêm để làm cống ở đoạn đường
trên? (Làm tròn đến hàng triệu đồng).
Thể tích phần bê tông để làm 1 chiếc cống là 𝑉 = 𝜋. 0, 42. 1 − 𝜋. 0, 32. 1 = 0,07𝜋(m3).
Giá thành để hoàn thiện 1 chiếc cống là 0,07𝜋. 900000 ≈ 63000𝜋 (đồng)
Để làm 500 m cống thoát nước, mỗi chiếc cống có chiều dài 1 m thì cần 500 chiếc cống.
⇒ Giá thành để hoàn thiện cống ở đoạn đường trên là: 63000𝜋. 500 = 31500000𝜋 (đồng)
Vì Nhà nước hỗ trợ 80% kinh phí nên số tiền người dân phải trả thêm để làm cống ở đoạn đường
trên là:
31500000𝜋. 20% = 6300000𝜋 (đồng) ≈ 20 (triệu đồng)
Đáp số: 20 triệu đồng.
b) Giải phương trình: √4𝑥 − 12
3
+ √6 − 𝑥 − 3 = 0.
ĐКХĐ: 6 − 𝑥 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≤ 6.
Đặt {
𝑢 = √4𝑥 − 12
3
𝑣 = √6 − 𝑥 ≥ 0
ta có {𝑢
3 = 4𝑥 − 12
𝑣2 = 6 − 𝑥
⇒ 𝑢3 + 4𝑣 = 12.
Ta có hệ phương trình
{
𝑢 + 𝑣 − 3 = 0
𝑢3 + 4𝑣2 = 12
⇔ {
𝑣 = 3 − 𝑢
𝑢3 + 4(3 − 𝑢)2 = 12
⇔ {
𝑣 = 3 − 𝑢
𝑢3 + 4(𝑢2 − 6𝑢 + 9) = 12
⇔ {
𝑣 = 3 − 𝑢
𝑢3 + 4𝑢2 − 24𝑢 + 24 = 0
⇔ {
𝑣 = 3 − 𝑢
𝑢3 − 8 + 4𝑢2 − 24𝑢 + 32 = 0
⇔ {
𝑣 = 3 − 𝑢
(𝑢 − 2)(𝑢2 + 2𝑢 + 4) + 4(𝑢2 − 6𝑢 + 8) = 0
⇔ {
𝑣 = 3 − 𝑢
(𝑢 − 2)(𝑢2 + 2𝑢 + 4) + 4(𝑢 − 2)(𝑢 − 4) = 0
⇔ {
𝑣 = 3 − 𝑢
(𝑢 − 2)(𝑢2 + 2𝑢 + 4 + 4𝑢 − 16) = 0
⇔ {
𝑣 = 3 − 𝑢
(𝑢 − 2)(𝑢2 + 6𝑢 − 12) = 0
⇔ {
𝑣 = 3 − 𝑢
[
𝑢 = 2
𝑢2 + 6𝑢 − 12 = 0
TH1: 𝑢 = 2 ⇒ 𝑣 = 3 − 2 = 1(tm) ⇒ √6 − 𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = 5(tm)
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2022-2023 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
TH2: 𝑢2 + 6𝑢 − 12 = 0.
Ta có: Δ′ = 32 + 12 = 21 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
[
𝑢 = −3 + √21 ⇒ 𝑣 = 6 − √21 (tm)
𝑢 = −3 − √21 ⇒ 𝑣 = 6 + √21 (tm)
⇒ [√6 − 𝑥 = 6 − √21
√6 − 𝑥 = 6 + √21
⇔ [6 − 𝑥 = 57 − 12√21
6 − 𝑥 = 57 + 12√21
⇔ [𝑥 = −51 + 12√21
𝑥 = −51 − 12√21
(tm)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 𝑆 = {5; −51 ± 12√21}.
Câu 5 (2,0 điểm)
Cách giải:
Cho đường tròn (𝑶; 𝑹), lấy diểm 𝑴 nằm bên ngoài đường tròn sao cho 𝑶𝑴 = 𝟐𝑹. Qua 𝑴 vẽ
hai tiếp tuyến 𝑴𝑨, 𝑴𝑩(𝑨, 𝑩 là hai tiếp điểm) và cát tuyến không di qua tâm 𝑶 cắt đường tròn
tại C và D (C nằm giữa 𝑴 và 𝑫 ).
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp một đường tròn.
MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) ⇒ ∠𝑂𝐴𝑀 = 90∘ (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)
MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) ⇒ ∠𝑂𝐵𝑀 = 90∘ (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)
Tứ giác MAOB có: ∠𝑂𝐴𝑀 + ∠𝑂𝐵𝑀 = 90∘ + 90∘ = 180∘ mà hai góc này đối nhau
⇒ 𝑀𝐴𝑂𝐵 là tứ giác nội tiếp (dhnb).
b) Chứng minh △ 𝐷𝐴𝑀 ∼△ 𝐴𝐶𝑀.
Xét đường tròn (O) có:
∠𝐴𝐷𝐶 = ∠𝑀𝐴𝐶 (góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC )
⇒ ∠𝐴𝐷𝑀 = ∠𝑀𝐴𝐶
Xét △ 𝐷𝐴𝑀 và △ 𝐴𝐶𝑀 có:
∠𝐴𝑀𝐷 chung
∠𝐴𝐷𝑀 = ∠𝑀𝐴𝐶(cmt)
} ⇒△ 𝐷𝑀𝐴 ∼△ 𝐴𝐶𝑀 (g.g)
c) Kẻ 𝐴𝐻 ⊥ 𝑂𝑀, chứng minh 𝐴𝐻 =
1
2
√𝐷𝑀. 𝐶𝑀
△ 𝐷𝑀𝐴 ∼△ 𝐴𝐶𝑀(cmt) ⇒
𝑀𝐴
𝑀𝐷
=
𝑀𝐶
𝑀𝐴
⇒ 𝑀𝐴2 = 𝑀𝐶. 𝑀𝐷 (1)
△ 𝑂𝐴𝑀 vuông tại 𝐴, theo định lý Py − ta - go ta có:
𝑂𝑀2 = 𝑂𝐴2 + 𝐴𝑀2
⇔ 𝐴𝑀2 = 𝑂𝑀2 − 𝑂𝐴2
⇔ 𝐴𝑀2 = (2𝑅)2 − 𝑅2
⇔ 𝐴𝑀2 = 3𝑅2
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2022-2023 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
△ 𝑂𝐴𝑀 vuông tại 𝐴, đường cao 𝐴𝐻, ta có:
1
𝐴𝐻2
=
1
𝑂𝐴2
+
1
𝐴𝑀2
⇔
1
𝐴𝐻2
=
1
𝑅2
+
1
3𝑅2
⇔
1
𝐴𝐻2
=
4
3𝑅2
⇔ 𝐴𝐻2 =
3𝑅2
4
=
𝐴𝑀2
4
⇔ 𝐴𝑀2 = 4𝐴𝐻2 (2)
Từ (1) và (2), suy ra 4𝐴𝐻2 = 𝑀𝐶. 𝑀𝐷 ⇒ 𝐴𝐻 =
1
2
√𝐷𝑀. 𝐶𝑀 (vì độ dài của các cạnh là các số dương)
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
----------HẾT----------
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2022-2023 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
Họ và tên thí sinh:.....; SBD.
Câu 1: (2,0 điểm)
a) Xác định tọa độ giao điểm của parabol ( ) 2: 3P y x= và đường thẳng ( ) : 2 8d y x= + .
b) Cho
1 1 1 1
1 3 3 5 5 7 2021 2023
A = + + + +
+ + + +

và 2023 2 2022 . 2 5 6 20
4
B −= + − + .
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy chứng tỏ A B> .
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Tìm một đa thức bậc ba ( )P x với hệ số nguyên nhận
32 4
3
x += là một nghiệm và
( )1 6P = − .
b) Tìm nghiệm tất cả các số nguyên ,x y thỏa mãn:
2 2 2 2 22 3 4 4 2 4 1 0.x y x y x xy x y y− + + − + − − =
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình 4 3 1 4 3 1 11x x x x x+ − + − − ++ = − .
b) Giải hệ phương trình 2 2 2
8 14 4 0
7 20 2 08
xy x y
y xyx y
− − + =

+ − + =
.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O , kẻ ba