Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2023-2024 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn: TOÁN (không chuyên)
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Họ và tên thí sinh: ............................................................................ Số báo danh: ...................................
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình:
4 5 23
3 7
x y
x y
 + =
− = − 
.
b) Gọi 
1 2
,x x là hai nghiệm phân biệt của phương trình :
2
3 2 0x x− − = .
Tính giá trị của biểu thức 1 2
2 1
3 3x x
M
x x
− −
= + .
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Xác định hàm số y ax b= + , biết đồ thị hàm số là đường thẳng song song với đường thẳng
: 2d y x= và đi qua điểm (1;4)A .
b) Cho parabol 
2
( ) :P y x= và đường thẳng 2: 4 5d y x m m= + + (m là tham số). Tìm m để
đường thẳng d tiếp xúc với parabol ( )P .
Câu 3 (2,0 điểm).
Cho biểu thức
7 12 1 3
. ,
4 3 1 3
x x x
A
x x x x
 − + +
= + 
 − + − − 
với 0, 1, 9x x x .
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm tất cả các giá trị x nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Câu 4 (2,0 điểm).
a) Tìm độ dài cạnh hình vuông biết rằng nếu tăng độ dài cạnh hình vuông thêm 2 đơn vị thì
diện tích của nó sẽ tăng lên gấp 4 lần so với diện tích ban đầu ?
b) Giải phương trình: 
2
3 5 5x x x+ = − − − .
Câu 5 (2,0 điểm).
Cho đường tròn( )O và điểm Anằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến ,AB AC với đường
tròn ( )O ( ,B C là các tiếp điểm ) .
a) Chứng minh bốn điểm , , ,A B O C cùng thuộc một đường tròn.
b) Trên cung nhỏBC của đường tròn ( )O lấy điểmM bất kỳ(M không trùng với , )B C . Tiếp
tuyến tạiM của đường tròn ( )O cắt ,AB AC theo thứ tự tại ,D E . Chứng minh tam giác ADE
có chu vi không đổi khiM chuyển động trên cung nhỏBC .
--------------------HẾT----------------------
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2023-2024 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH GIA LAI
(Gồm có 04 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG,
NĂM HỌC 2023 - 2024
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN TOÁN (không chuyên)
A. Hướng dẫn chấm
- Thí sinh làm bài theo cách riêng của mình mà vẫn đáp ứng các yêu cầu của đáp án thì giám khảo
cân nhắc mức độ bài làm, đối chiếu với yêu cầu đề thi và đáp án để cho điểm một cách hợp lý.
- Việc chi tiết hóa điểm số (nếu có) tuyệt đối không làm thay đổi thang điểm của từng câu và toàn
bài. Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không được nhỏ hơn 0,1 điểm.
- Điểm toàn bài sau khi chấm xong không làm tròn.
- Học sinh có các cách diễn đạt khác nhau nhưng thể hiện đúng nội dung thì vẫn cho điểm tối đa.
B. Đáp án và thang điểm
Câu Đáp án Điểm
1a
Giải hệ phương trình sau :
4 5 23
3 7
x y
x y
 + =
− = − 
Ta có :
4 5 23 4 5 23
3 7 4 12 28
x y x y
x y x y
 + = + =
− = − − = − 
0,25
3 7
17 51
x y
y
 − = −
= 
0,25
3 7
3
x y
y
 = −
= 
0,25
2
3
x
y
 =
= 
Vậy : 2, 3x y= = là nghiệm của hệ phương trình. 0,25
1b
Gọi 
1
x và 
2
x là hai nghiệm của phương trình: 
2
3 2 0x x− − = .
Tính giá trị của biểu thức 1 2
2 1
3 3x x
M
x x
− −
= + .
Theo hệ thức Vi –ét ta có 
1 2
1 2
3
2
x x
x x
 + = 
= − 
0,25
( )2 2
1 2 1 21 2
2 1 1 2
33 3 x x x xx x
M
x x x x
+ − +− −
= + = 0,25
( ) ( )
2
1 2 1 2 1 2
1 2
2 3x x x x x x
x x
+ − − +
= 0,25
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2023-2024 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
( ) ( )
2
3 2 2 3.3 9 4 9
2
2 2
− − − + −
= = = −
− −
0,25
2a
Xác định hàm số y ax b= + , biết đồ thị hàm số là đường thẳng song song với
đường thẳng : 2d y x= và đi qua điểm ( )1;4A .
Vì đồ thị hàm số song song với đường thẳng : 2d y x= nên 2, 0a b= 0,25
Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm ( )1;4A nên ta có 4 2.1 b= + 0,25
2b = ( thỏa mãn ). 0,25
Vậy 2 2y x= + 0,25
2b
Cho parabol 
2
( ) :P y x= và đường thẳng 2: 4 5d y x m m= + + (m là tham số).
Tìm m để đường thẳng d tiếp xúc với parabol ( )P .
Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( )P :
( )2 2 2 24 5 4 5 0 *x x m m x x m m= + + − − − = 
0,25
( ) ( )
2
2 2
2 1 5 5 4m m m m = − − − − = + + 0,25
Đường thẳng d tiếp xúc với ( )P khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép
2
1
0 5 4 0
4
m
m m
m
 = −
 = + + = 
= − 
0,25
Vậy 1m = − ; 4m = − thì đường thẳng d tiếp xúc với parabol ( )P .
0,25
3a
Rút gọn biểu thức
7 12 1 3
. ,
4 3 1 3
x x x
A
x x x x
 − + +
= + 
 − + − − 
với 0, 1, 9x x x .
( )( )
( )( )
4 3
1 3
.
1 31 3
x x
x
A
x xx x
 − − + = + − −− − 
0,25
4 1 3
.
1 1 3
x x
x x x
 − +
= + 
 − − − 
0,25
3 3
.
1 3
x x
x x
 − +
= 
 − − 
0,25
3
1
x
x
+
=
−
0,25
3b
Tìm tất cả các giá trị x nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Ta có:
3 4
1
1 1
x
A
x x
+
= = +
− −
0,25
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2023-2024 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
A nguyên khi 
−
4
1x
tức là 1x − là ước của 4 0,25
Suy ra
1 1 0
1 1 2 0
1 2 3 4
9( )1 2 1( )
25
1 4 3( )
1 4 5
x x
x x x
x x x
x lx x VN
x
x x VN
x x
 − = − =
 − = = =
− = = = =− = − = − 
= − = − = −
 − = = 
0,25
Vậy có ba giá trị nguyên của x là: 0, 4, 25.x x x= = = 0,25
4a
Tìm cạnh hình vuông biết rằng nếu tăng độ dài cạnh hình vuông thêm 2 đơn vị thì
diện tích của nó sẽ tăng lên gấp 4 lần so với diện tích ban đầu ?
Gọi x ( 0)x là độ dài cạnh của hình vuông cần tìm.
Diện tích hình vuông là : 
2
1
S x=
0,25
Khi tăng độ dài hình vuông thêm 2 đơn vị, độ dài cạnh hình vuông là : 2x +
và diện tích hình vuông là : 
2
2
( 2)S x= + 
0,25
Theo giả thiết bài toán ta có : =
2 1
4S S nên + =2 2( 2) 4x x
0,25
2
2 ( )
3 4 4 0 2
( )
3
x N
x x
x L
 =
 − − = 
 = −
Vậy hình vuông cần tìm có cạnh bằng 2 (đơn vị độ dài).
0,25
4b
Giải phương trình sau: 
2
3 5 5x x x+ = − − −
Điều kiện: 3 0 3x x+ −
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình
2
3 1 5 6x x x+ − = − − −
0,25
( )( )
( )
2
2 3
3 1
1
2 3 0
3 1
x
x x
x
x x
x
+
 = − + +
+ +
 + + + = 
+ + 
0,25
2 0
1
3 0 (*)
3 1
x
x
x
 + =
 + + =
 + + 
0,25
Với 3x − phương trình (*) vô nghiệm nên phương trình đã cho có nghiệm duy 0,25
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2023-2024 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
nhất 2x = − .
5
Cho đường tròn ( )O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB,
AC với đường tròn ( )O (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Trên cung nhỏ BC của đường tròn ( )O lấy điểm M bất kỳ (M khác B, C). Tiếp
tuyến tại M của đường tròn ( )O cắt AB, AC theo thứ tự tại D, E. Chứng minh tam
giác ADE có chu vi không đổi khi M chuyển động trên cung nhỏ BC.
5a
a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
0,25
Vì AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên :
0 0
90 ; 90ABO ACO= = 
0,25
Tứ giác ABOC có 
0
180ABO ACO+ = . 0,25
Suy tứ giác ABOC nội tiếp. Vậy bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn. 0,25
b) Trên cung nhỏ BC của đường tròn ( )O lấy điểm M bất kỳ (M khác B, C). Tiếp
tuyến tại M của đường tròn ( )O cắt AB, AC theo thứ tự tại D, E. Chứng minh tam
giác ADE có chu vi không đổi khi M chuyển động trên cung nhỏ BC.
5b
Xét (O) : DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D nên DB = DM
Tương tự: EC = EM
0,25
Chu vi tam giác ADE: AD + AE + DE = AD + AE + DM + EM 0,25
= AD + AE + DB + EC = AB + AC 0,25
Vì đường tròn (O), điểm A không thay đổi nên AB + AC không thay đổi. Vậy tam
giác ADE có chu vi không đổi khi M chuyển động trên cung nhỏ BC.
0,25
O
D
E
B
C
M
A
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2023-2024 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn: TOÁN (chuyên)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Họ và tên thí sinh: .................................................................. Số báo danh: ...............................
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Cho phương trình 2 22( 1) 2 3 0x m x m m+ + + + − = ( m là tham số). Tìm m để phương trình có
hai nghiệm phân biệt 1 2,x x thỏa mãn: 
2 2
1 2 16.x x+ =
b) Cho biểu thức 2 2 :
42 2
x x xP
xx x
 −
= −   −− + 
với 0, 4x x> ≠ . Tìm x để
1
3
P = .
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Chứng minh tổng 3 3 3 3 3 31 2 3 ... 102 103 104+ + + + + + chia hết cho 7 .
b) Cho 81 57 41 19( ) 2 1P x x ax bx cx x= + + + + + và 81 57 41 19( )Q x x ax bx cx dx e= + + + + + với ,a
, , ,b c d e là các số thực. Biết ( )P x chia cho ( 1)x − thì số dư là 5 và chia cho ( 2)x − thì số dư là
4.− Đồng thời ( )Q x chia hết cho ( 1)( 2).x x− − Hãy xác định các hệ số , .d e
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 
2 2
( 2) 2 5
( 1) 3(1 ) 0
x y y
xy y
 + + =

− + − =
.
Câu 4 (2,0 điểm). Bạn Tuấn lập kế hoạch tiết kiệm tiền để mua một cái laptop phục vụ cho việc
học tập như sau: Hằng tháng, Tuấn tiết kiệm các khoản chi tiêu cá nhân để dành ra một triệu đồng.
Vào ngày 01 hằng tháng Tuấn gửi vào tài khoản tiết kiệm của mình một triệu đồng và bắt đầu gửi vào
ngày 01 tháng 7 năm 2023 để hưởng lãi suất 0,5%/tháng theo hình thức lãi kép (nghĩa là tiền lãi của
tháng trước được cộng vào vốn để tính lãi cho tháng sau) và duy trì việc này liên tục trong 3 năm.
(Biết tài khoản ban đầu của Tuấn là 0 đồng và hàng tháng Tuấn không rút vốn, lãi).
a) Tính số tiền tiết kiệm Tuấn có được trong tài khoản tính đến ngày 02/8/2023.
b) Tính đến ngày 02/10/2023 thì số tiền trong tài khoản tiết kiệm của Tuấn là bao nhiêu (làm tròn
kết quả đến hàng đơn vị)?
c) Hãy đề xuất công thức tính tổng số tiền trong tài khoản tiết kiệm sau kỳ gửi tháng thứ n ( n là
số tự nhiên, 3n ≥ ). Sử dụng công thức đó để tính số tiền Tuấn có được trong tài khoản tính đến ngày
02/7/2026.
Câu 5 (3,0 điểm). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn ( ),O kẻ hai tiếp tuyến ,MA MB ( ,A B là tiếp
điểm), cát tuyến MCD không đi qu