Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2024-2025 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2024-2025
Môn: TOÁN (không chuyên)
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Họ và tên thí sinh: ............................................................. Số báo danh: ..........................................
Câu 1 (2,0 điểm). Không sử dụng máy tính cầm tay
a) Giải hệ phương trình {
3𝑥 + 2𝑦 = 1
2𝑥 − 3𝑦 = 5
.
b) Giải phương trình 𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, cho Parabol (𝑃): 𝑦 = −𝑥2 và đường thẳng (𝑑): 𝑦 = 2𝑥 − 3.
Tìm tọa độ giao điểm của Parabol (𝑃) và đường thẳng (𝑑).
b) Cho đường thằng (𝑑1): 𝑦 = (2𝑚 − 1)𝑥 + 1 ( 𝑚 là tham số) và đường thẳng (𝑑2): 𝑦 = 3𝑥 − 4.
Tìm 𝑚 để đường thẳng (𝑑1) và đường thẳng (𝑑2) song song.
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức 𝑃 =
7√𝑥−6
𝑥−4
+
√𝑥−3
√𝑥+2
+
1
√𝑥−2
với 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 4.
b) Theo kế hoạch của công ty may 𝐾, hai tổ phải may được 800 cái áo trong một thời gian quy định.
Do cải tiến kĩ thuật nên trong thời gian đó, tổ thứ nhất may vượt mức 18% và tổ thứ hai may vượt
mức 16% so với kế hoạch. Kết quả cả hai tổ may được 934 cái áo. Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ phải
may bao nhiêu cái áo?
Câu 4 (1,0 điểm).
Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như
hình vẽ). Tính thể tích của bồn chứa xăng với kích thước trên hình.
Câu 5 (1,0 điểm). Giải phương trình √𝑥 + 6
3
+ 1 = 𝑥2 − √𝑥 − 1.
Câu 6 (2,0 điểm).
Cho đường tròn (𝑂) và điểm 𝐴 nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến 𝐴𝑀,𝐴𝑁 với đường tròn
(𝑂)(𝑀,𝑁 là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua 𝐴 (không trùng với đường thẳng 𝐴𝑂 ) cắt đường tròn
(𝑂) tại hai điểm phân biệt 𝐵 và 𝐶 ( 𝐵 nằm giữa 𝐴 và 𝐶 ). Gọi 𝐷 là trung điểm của đoạn thẳng 𝐵𝐶.
a) Chứng minh bốn điểm 𝐴,𝑀, 𝑂, 𝐷 cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh 𝐴𝐵. 𝐴𝐶 = 𝐴𝑀2.
c) Đường thẳng qua 𝐶 vuông góc với 𝑂𝐴 cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là 𝑃. Gọi 𝐿 là giao điểm
của 𝑀𝑁 và 𝐴𝑃. Chứng minh 
2
𝐴𝐿
=
1
𝐴𝐵
+
1
𝐴𝐶
.
----------HẾT----------
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Chữ ký của giám thị 1: .......................................... : Chữ ký của giám thị 2: .......................................
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2024-2025 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
HƯỚNG DẪN GIẢI
c Câu 1 (2 điểm). Không sử dụng máy tính cầm tay
a) Giải hệ phương trình
ß
3x+ 2y = 1
2x− 3y = 5
b) Giải phương trình x2 + 3x− 10 = 0.
Ê Lời giải.
a) Ta có:
ß
3x+ 2y = 1
2x− 3y = 5 ⇔
ß
9x+ 6y = 3
4x− 6y = 10 ⇔
ß
13x = 13
4x− 6y = 10 ⇔
ß
x = 1
4− 6y = 10
⇔
ß
x = 1
y = −1 . Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y) = (1;−1).
b) Ta có phương trình: x2 + 3x− 10 = 0⇔ (x− 2)(x+ 5) = 0⇔
ï
x = 2
x = −5 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 2 hoặc x = −5.
c Câu 2 (2 điểm).
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P ) : y = −x2 và đường thẳng (d) : y = 2x−3. Tìm
tọa độ giao điểm của Parabol (P ) và đường thẳng (d).
b) Cho đường thẳng (d1) : y = (2m − 1)x + 1 (m là tham số) và đường thẳng (d2) : y = 3x + 4.
Tìm m để đường thẳng (d1) và đường thẳng (d2) song song.
Ê Lời giải.
a) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P ) và (d) là:
−x2 = 2x− 3⇔ x2 + 2x− 3 = 0⇔ (x− 1)(x+ 3) = 0⇔
ï
x = 1
x = −3
- Với x = 1 thay vào (P ) ta được: y = −1.⇒ A(1;−1)
- Với x = −3 thay vào (P ) ta được: y = −9.⇒ B(−3;−9)
Vậy tọa độ giao điểm của Parabol (P ) và đường thẳng (d) là: A(1;−1) và B(−3;−9).
b) Để đường thẳng (d1) và đường thẳng (d2) song song thì
ß
2m− 1 = 3
1 ̸= 4 ⇔ 2m− 1 = 3⇔ m = 2
Vậy m = 2 thì đường thẳng (d1) và đường thẳng (d2) song song.
c Câu 3 (2 điểm).
a) Rút gọn biểu thức P =
7
√
x− 6
x− 4 +
√
x− 3√
x+ 2
+
1√
x− 2 với x ≥ 0, x ̸= 4.
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2024-2025 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
b) Theo kế hoạch của công ty may K, hai tổ phải may được 800 cái áo trong một thời gian quy
định. Do cải tiến kĩ thuật nên trong thời gian đó, tổ thứ nhất may vượt mức 18% và tổ thứ
hai may vượt mức 16% so với kế hoạch. Kết quả cả hai tổ may được 934 cái áo. Hỏi theo kế
hoạch mỗi tổ phải may bao nhiêu cái áo?
Ê Lời giải.
a) Với x ≥ 0, x ̸= 4 ta có:
P =
7
√
x− 6
x− 4 +
√
x− 3√
x+ 2
+
1√
x− 2
=
7
√
x− 6
(
√
x+ 2)(
√
x− 2) +
√
x− 3√
x+ 2
+
1√
x− 2
=
7
√
x− 6
(
√
x+ 2)(
√
x− 2) +
(
√
x− 3)(√x− 2)
(
√
x+ 2)(
√
x− 2) +
√
x+ 2
(
√
x− 2)(√x+ 2)
=
7
√
x− 6
(
√
x+ 2)(
√
x− 2) +
x− 5√x+ 6
(
√
x+ 2)(
√
x− 2) +
√
x+ 2
(
√
x− 2)(√x+ 2)
=
7
√
x− 6 + x− 5√x+ 6 +√x+ 2
(
√
x− 2)(√x+ 2) =
x+ 3
√
x+ 2
(
√
x− 2)(√x+ 2)
=
(
√
x+ 1)(
√
x+ 2)
(
√
x− 2)(√x+ 2) =
√
x+ 1√
x− 2
Vậy với x ≥ 0, x ̸= 4 thì P =
√
x+ 1√
x− 2
b) Goi số áo mà tổ 1 may theo kế hoạch là x, số 2 may theo kế hoạch là y. (x, y ∈ N;x, y ≤ 800.)
Tổ thứ nhất may vượt mức 18%, tổ thứ 2 may vượt mức 16% và tổng số áo cả 2 tổ may được
là 934 nên ta có phương trình:
1, 18x+ 1, 16y = 934
Kết hợp với với giả thiết ban đầu, ta lập được hệ phương trình:ß
x+ y = 800
1, 18x+ 1, 16y = 934
⇔
ß
x = 300
y = 500
(thỏa mãn điều kiện).
Vây theo kế hoạch, tổ 1 may được 300 cái áo, tổ 2 may được 500 cái áo.
c Câu 4 (1 điểm). Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ).
Tính thể tích của bồn chứa xăng với kích thước trên hình.
Ê Lời giải.
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2024-2025 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
4Ta có:
Vbồn = 2Vnửa cầu + Vtrụ
=
4
3
πR3 + Sh
=
4
3
πR3 + πR2h
=
4
3
π.0, 93 + π.0, 92.3, 62
≈ 12.265 (m3)
Vậy thể tích của bồn chứa xăng với kích thước trên hình là: 12.265 (m3).
c Câu 5 (1 điểm). Giải phương trình: 3
√
x+ 6 + 1 = x2 −√x− 1.
Ê Lời giải.
Điều kiện: x ≥ 1.
Ta có:
3
√
x+ 6 + 1 = x2 −√x− 1
⇔ ( 3√x+ 6 + 2) + (√x− 1− 1) = x2 − 4
⇔ x− 2
3
√
(x+ 6)2 + 2 3
√
x+ 6 + 4
+
x− 2√
x− 1 + 1 = (x− 2)(x+ 2)
⇔ (x− 2)
ñ
1
3
√
(x+ 6)2 + 2 3
√
x+ 6 + 4
+
1√
x− 1 + 1 − x− 2
ô
= 0
⇔ (x− 2)
ñ
x+ 2− 1
3
√
(x+ 6)2 + 2 3
√
x+ 6 + 4
− 1√
x− 1 + 1
ô
= 0
⇔ (x− 2)
ñ
x+
Ç
1− 1
3
√
(x+ 6)2 + 2 3
√
x+ 6 + 4
å
+
Å
1− 1√
x− 1 + 1
ãô
= 0
⇔ (x− 2)
ñ
x+
3
√
(x+ 6)2 + 2 3
√
x+ 6 + 3
3
√
(x+ 6)2 + 2 3
√
x+ 6 + 4
+
√
x− 1√
x− 1 + 1
ô
= 0
Do
x+
3
√
(x+ 6)2 + 2 3
√
x+ 6 + 3
3
√
(x+ 6)2 + 2 3
√
x+ 6 + 4
+
√
x− 1√
x− 1 + 1 > 0, ∀x ≥ 1
nên x− 2 = 0⇔ x = 2 (thỏa mãn điều kiện). Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 2.
c Câu 6 (2 điểm). Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến
AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua A (không trùng với
đường thẳng AO) cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt B và C (B nằm giữa Avà C). Gọi D
là trung điểm của đoạn thẳng BC.
a) Chứng minh bốn điểm A,M,O,N cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh: AB.AC = AM2.
c) Đường thẳng qua C vuông góc với OA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P . Gọi L là
giao điểm của MN và AP . Chứng minh:
2
AL
=
1
AB
+
1
AC
.
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2024-2025 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
5Ê Lời giải.
a) Ta có: ∠AMO+∠ANO = 900+900 = 1800 ⇒ Tứ giác AMON nội tiếp⇒ bốn điểm A,M,O,N
cùng thuộc một đường tròn.
b) Do AM là tiếp tuyến của (O) nên ∠AMB + ∠ACM và ∠MAC chung.
Suy ra ∆ABM ≈ ∆AMC ⇒ AB
AM
=
AM
AC
⇒ AM2 = AB.AC
c) Gọi K là giao điểm của AP và (O), I là giao điểm của OA và MN .
Ta thấy rằng AP = AC và AB = AK.
Ta có AM2 = AB.AC = AK.AP và AM2 = AI.AO ( hệ thức lượng trong tam giác vuông
AMO).
⇒ AI.AO = AK.AP.⇒ ∆AIK ≈ ∆APO ⇒ ∠AOL = ∠IPA⇒ OIPK là tứ giác nội tiếp.
Mặt khác, ∠PIK = ∠POK = 1800 − 2∠OPK = 1800 − 2∠AIK = 2∠NIK nên IN là phân
giác của ∠PIK. Mà IN⊥IA nên IN và IA là phân giác trong và ngoài của ∆PIK.
⇒ KL
KA
=
PL
PA
⇒ KL
AB
=
PL
AC
⇒ AC.KL = AB.PL (1).
Ta cần chứng minh:
2
AL
=
1
AB
+
1
AC
⇔ 2AB.AC = AL.AB + AL.AC
⇔ AC(AB − AL) = AB(AL− AC)
⇔ AC(AK − AL) = AB(AL− AP )
⇔ AC.KL = AB.LP
Đến đó đẳng thức trên đã đúng theo (1). Như vậy ta đã chứng minh được:
2
AL
=
1
AB
+
1
AC
————————————–Hết————————————–
Đề thi Toán chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2024-2025 (Có đáp án) - DeThiToan.net
DeThiToan.net
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2024-2025
Môn: TOÁN (chuyên)
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Họ và tên thí sinh: ............................................................. Số báo danh: ..........................................
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức 𝐴 = (
1
√√𝑥+4−2
−
1
√√𝑥+4+2
) :
1
√𝑥
.
b) Cho phương trình 𝑥2 − (𝑚 − 1)𝑥 − 2(𝑚 + 1) = 0 (với 𝑚 là tham số). Tìm 𝑚 để phương trình có
hai nghiệm 𝑥1, 𝑥2 thỏa mãn 𝑥1
2𝑥2 + 𝑥1𝑥2
2 = 𝑥1 + 𝑥2.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (𝑃) có phương trình 𝑦 = 𝑥2 và đường thẳng (𝑑) có
phương trình 𝑦 = (√2 + 1)𝑥 + √2 + 2. Tìm tọa độ giao điểm của Parabol (𝑃) và đường thằng (𝑑).
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên (𝑥; 𝑦) của phương trình 𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 5𝑦2 = 2(𝑥 − 𝑦 + 1).
Câu 3 (3,0 điểm). Cho đường tròn (𝑂; 𝑅) có đường kính 𝐴𝐵 cố định, 𝐼 là điểm thuộc đoạn thẳng 𝐴𝑂
sao cho 𝐴𝐼 = 2𝐼𝑂. Đường thẳng qua 𝐼 vuông góc với đường thẳng 𝐴𝐵 cắt đường tròn (𝑂) tại hai
điểm phân biệt 𝑀 và 𝑁. Điểm 𝐶 di động trên cung nhỏ 𝑀𝐵 (C không trùng với 𝑀 và 𝐵), 𝐸 là giao
điểm của hai đường thẳng 𝐴𝑁 và 𝐵𝑀. Đường thằng qua 𝐸 vuông góc với đường thẳng 𝐴𝐵 cắt đường
thẳng 𝐴𝑀 tại 𝐹.
a) Chứng minh rằng bốn điểm 𝑀, 𝑁, 𝐸, 𝐹 cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi 𝐷 là giao điểm của hai đường thẳng 𝐴𝐶 và 𝑀𝑁. Chúng minh rằng
𝐴𝐷. 𝐴𝐶 − 𝐴𝐼𝐼𝐵 = 𝐴𝐼2.
c) Gọi 𝐾 là tâm của đường tròn ngoại tiếp △ 𝑀𝐶𝐷.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑃 = 2𝐾𝑀. 𝐾𝐵 − 𝑀𝐾. 𝑀𝐵.
Câu 4 (2,0 diểm).
a) Giải phương trình 3𝑥 + 2√(𝑥2 + 5)(𝑥 − 1) = 𝑥2