Đề thi Toán tuyển sinh Lớp 10 TP.HCM 2023-2024 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC: 2023 – 2024
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: Cho parabol (P):y=x22 và đường thẳng (d):y=x+4.
a) Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Câu 2: Cho phương trình 2x2-13x-6=0 có 2 nghiệm là x1,x2.
Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức A=x1+x2x1+2x2-x22.
Câu 3: Một nhà khoa học đã đưa ra công thức tính số cân nặng lý tưởng của con người theo chiều cao và giới tính như sau: M=T-100-T-150N trong đó M là cân nặng (kg),T là chiều cao (cm),N=4 nếu là nam và N=2 nếu là nữ.
a) Bạn Hạnh (nữ) cao 1,58 mét. Hỏi cân nặng lý tưởng của bạn Hạnh là bao nhiêu ?
b) Bạn Phúc (nam) có cân nặng 68 kg. Để cân nặng này là lý tưởng thì chiều cao cần đạt của Phúc là bao nhiêu?
Câu 4: Cửa hàng A niêm yết giá một bông hồng là 15 000 đồng. Nếu khách hàng mua nhiều hơn 10 bông thì từ bông thứ 11 trở đi, mỗi bông hồng được giảm 10% trên giá niêm yết. Nếu mua nhiều hơn 20 bông thì từ bông thứ 21 trở đi, mỗi bông được giảm thêm 20% trên giá đã giảm.
a) Nếu khách hàng mua 30 bông hồng tại cửa hàng A thì phải trả bao nhiêu tiền ?
b) Bạn Thảo đã mua một số bông hồng tại cửa hàng A với số tiền là 555 000 đồng. Hỏi bạn Thảo đã mua bao nhiêu bông hồng ?
Câu 5: Chị Lan đun sôi nước bằng ấm điện. Biết rằng mối liên hệ giữa công suất hao phí P(W) của âm điện và thời gian đun t (giây) được mô hình hóa bởi một hàm số bậc nhất có dạng P=at+b và có đồ thị như hình bên.
a) Hãy xác định các hệ số của a và b
b) Nếu đun nước với công suất hao phí là 105( W) thì thời gian đun là bao lâu?
Câu 6: Bạn Nam dự định tổ chức buổi tiệc sinh nhật và chọn loại ly có phần chứa nước dạng hình nón với bán kính đáy R=4 cm và độ dài đường sinh l=10 cm để khách uống nước trái cây.
a) Tính thể tích phần chứa nước của ly (ghi kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Biết công thức thể tích hình nón là V=13πR2h.
(với R là bán kính đáy hình nón; h là chiều cao hình nón).
b) Bạn Nam cần chuẩn bị một số hộp nước trái cây có lượng nước trong mỗi hộp là 1,2 lít. Biết rằng buổi tiệc sinh nhật có 14 người (đã bao gồm Nam). Nếu mỗi người trung bình uống 3 ly nước trái cây và lượng nước rót bằng 90% thể tích ly thì bạn Nam cần chuẩn bị ít nhất bao nhiêu hộp nước trái cây?
Biết 1 lít =1000 cm3.
Câu 7: Nhà bạn Khanh có hai thùng đựng sữa, thùng thứ nhất có thể tích 10 lít, thùng thứ hai có thể tích 8 lít. Biết rằng cả hai thùng đều đang chứa một lượng sữa và tổng lượng sữa ở hai thùng lớn hơn 10 lít. Bạn Khanh muốn xác định lượng sữa ở mỗi thùng nhưng không có dụng cụ đo thể tích nên bạn đã nghĩ ra cách làm như sau:
- Đầu tiên, Khanh đổ sữa từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai cho đầy thì lượng sữa còn lại ở thùng thứ nhất bằng 12 lượng sữa so với ban đầu.
- Sau đó, Khanh đổ sữa từ thùng thứ hai sang thùng thứ nhất cho đầy thì lượng sữa còn lại ở thùng thứ hai bằng 15 lượng sữa so với thời điểm ban đầu.
Hỏi thời điểm ban đầu mỗi thùng chứa bao nhiêu lít sữa?
Câu 8: Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có đường cao AH và nội tiếp đường tròn (O). Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AB,AC. Đường kính AD của (O) cắt EF tại K và DH cắt (O) tại L (L khác D).
a) Chứng minh các tứ giác AEHF và ALHF nội tiếp.
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AD vuông góc với EF tại K.
c) Tia FE cắt (O) tại P và cắt BC tại M. Chứng minh AP=AH và ba điểm A,L,M thẳng hàng.
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (TH):
Phương pháp:
a) Chọn các điểm và vẽ đồ thị.
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm.
Cách giải:
a) Vẽ đồ thị (d)
Với x=0⇒y=0+4=4
Với y=0⇒0=x+4⇔x=-4
⇒ Đồ thị (d) là đường thẳng đi qua 2 điểm N(0;4) và M(-4;0)
Vẽ đồ thị (P)
Ta có bảng giá trị sau:
x
-2
-1
0
1
2
y=x22
2
12
0
12
2

⇒ Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm
O(0;0);A(-2;2);B-1;12;C1;12;D(2;2)
Hệ số a=12>0 nên parabol có bề lõm hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
Ta vẽ được đồ thị hàm số y=x22 và (d):y=x+4 trên cùng hệ trục tọa độ như sau:
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( d) và (P) ta được:
x22=x+4
⇔x2=2x+8
⇔x2-2x-8=0
⇔x2-4x+2x-8=0
⇔x(x-4)+2(x-4)=0
⇔(x+2)(x-4)=0
⇔x+2=0x-4=0⇔x=-2x=4
Với x=-2⇒y=-2+4=2
Với x=4⇒y=4+4=8
Vậy (d) cắt (P) tại 2 giao điểm có tọa độ là (-2;2) và (4;8).
Câu 2 (VD):
Phương pháp:
Áp dụng định lí vi-ét x1+x2=-bax1x2=ca
Cách giải:
Phương trình 2x2-13x-6=0 có 2 nghiệm là x1,x2 nên áp dụng định lí Vi-ét ta có: x1+x2=132x1x2=-3
Ta có:
A=x1+x2x1+2x2-x22
⇒A=132132+x2-x22
⇒A=1694+132x2-x22
⇒A=1694-x22-132x2
Vì x2 là nghiệm của phương trình 2x2-13x-6=0 nên 2x22-13x2-6=0⇔x22-132x2=3.
Thay vào biểu thức A ta được:
A=1694-3=1574.
Vậy A=1574.
Câu 3 (TH):
Phương pháp:
Áp dụng công thức M=T-100-T-150N
Cách giải:
a) Bạn Hạnh (nữ) cao 1,58 mét =158 cm nên T=158, N=2.
Thay T=158, N=2 vào công thức M=T-100-T-150N ta được:
M=158-100-158-1502=54
Vậy cân nặng lý tưởng của bạn Hạnh là 54 kg.
b) Bạn Phúc (nam) có cân nặng 68 kg nên M=68, N=4.
Thay M=68, N=4 vào công thức M=T-100-T-150N ta được:
68=T-100-T-1504
⇔272=4T-400-T+150
⇔3T=522
⇔T=174
Vậy chiều cao lý tưởng của bạn Phúc là 174 cm.
Câu 4 (VD):
Phương pháp:
Cách giải:
a) Số tiền phải trả khi mua 10 bông đầu tiên là: 15 000 . 10=150 000 (đồng).
Từ bông thứ 11 đến bông thứ 20 có giá tiền mỗi bông là 15 000 . 90%=13 500 (đồng)
Số tiền phải trả khi mua 10 bông từ bông thứ 11 đến 20 là: 10 . 13 500=135 000 (đồng).
Từ bông thứ 21 đến bông thứ 30 có giá tiền mỗi bông là 13 500 . 80%=10 800 (đồng)
Số tiền phải trả khi mua 10 bông từ bông thứ 21 đến 30 là: 10 800 . 10=108 000 (đồng).
Vậy số tiền mua 30 bông hoa là: 150 000+135 000+108 000=393 000 (đồng).
b) Vì số tiền mua 30 bông hồng là 393 000 đồng nên bạn Thảo mua hơn 30 bông.
Số tiền một bông hoa khi mua trên 20 bông là: 10 800 (đồng)
Số tiền còn lại sau khi mua 30 bông hồng là: 555 000-393 000=162 000 (đồng)
Với 162 000 bạn Thảo mua thêm số hoa là: 162 000 : 10 800 = 15 (bông).
Vậy với 555 000 đồng bạn Thảo mua tổng cộng là 30+15=45 bông.
Câu 5 (TH):
Phương pháp:
a) Dựa vào đồ thị ta suy ra hệ phương trình và giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số để tìm a và b.
b) Từ câu a, ta xác định được P=13t+85, sau đó giải và tìm ra t.
Cách giải:
a) Dựa vào đồ thị ta có: 75.a+b=110180a+b=145
Giải hệ phương trình ta thu được a=13 và b=85
b) Ta có mô hình giữa P và t là P=13t+85.
Với P=105 thì ta có 105=13t+85.
Từ đây giải và thu được t=60 giây.
Câu 6 (VD):
Phương pháp:
a) Áp dụng công thức V=13πR2h.
b) Tìm lượng nước 14 bạn uống, từ đó tìm được số hộp nước trái cây bạn Nam cần chuẩn bị.
Cách giải:
a) Chiều cao phần chứa nước của ly là: h=102-42=84=221( cm)
Thể tích phần chứa nước của ly là: Vby=13π.42.221≈154 cm3
b) Đổi 154 cm3=0,154 lít
Lượng nước rót ra của một ly là: 90%.0,154=0,1386 (lít)
Lượng nước mỗi bạn uống là: 0,1386.3=0,4158 (lít)
Lượng nước 14 bạn uống là: 0,4158.14=5,8212 (lít)
Số hộp nước trái cây bạn Nam cần chuẩn bị là: 5,8212:1,2=4,851≈5 (hộp)
Vậy:
a) Thể tích phần chứa nước của ly là 154 cm3.
b) Bạn Nam cần chuẩn bị ít nhất 5 hộp nước trái cây.
Câu 7 (VD):
Cách giải:
Gọi số lít sữa ở thời điểm ban đầu của thùng thứ nhất là x(0<x<10,l)
Gọi số lít sữa ở thời điểm ban đầu của thùng thứ hai là y(0<x<8,l)
Do tổng số lượng sữa của 2 thùng lớn hơn 10 lít nên x+y>10.
Giả sử lần đầu tiên Khanh đổ m lít sửa thùng thứ nhất sang thùng thứ hai cho đầy thì ta được:
x-m=12xy+m=8⇔x+y=12x+8⇔2x+2y=x+16⇔x+2y=16
Giả sử lần 2 , Khanh đổ n lít sữa từ thùng hai sang thùng thứ nhất cho đầy thì ta có:
y-n=15yx+n=10⇔x+y=15y+10⇔5x+5y=y+50⇔5x+4y=50
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
x+2y=165x+4y=50⇔2x+4y=325x+4y=50⇔3x=182y=16-x⇔x=62y=10⇔x=6y=5 (thỏa mãn)
Vậy ban đầu thùng 1 có 6 lít sữa, thùng 2 có 5 lít sữa.
Câu 8 (VDC):
Cách giải:
a) Chứng minh các tứ giác AEHF và ALHF nội tiếp.
+) Chứng minh AEHF nội tiếp.
Vì HE⊥AB(gt)⇒∠AEH=90∘,HF⊥AC(gt)⇒∠AFH=90∘.
Xét tứ giác AEHF có: ∠AEH+∠AFH=90∘+90∘=180∘.
Mà hai đỉnh E,F là hai đỉnh đối diện của tứ giác AEHF.
=> AEHF là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180∘ ).
+) Chứng minh ALHF nội tiếp.
Ta có: ∠ALD=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒∠ALH=90∘.
Xét tứ giác ALHF có: ∠ALH+∠AFH=90∘+90∘=180∘.
Mà hai đỉnh L,F là hai đinh đối diện của tứ giác ALHF.
=> ALHF là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180∘ ).
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AD vuông góc với EF tại K.
+) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp
Vì AEHF là tứ giác nội tiếp (cmt)⇒∠AEF=∠AHF (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AF ).
Mà ∠AHF+∠HAC=90∘ (do tam giác AHF vuông tại F ).
∠ACH+∠HAC=90∘ (do tam giác AHC vuông tại H )
⇒∠AHF=∠ACH=∠FBC.
⇒∠AEF=∠FCB.
Mà ∠AEF+∠FEB=180∘ (kề bù)
⇒∠FEB+∠FCB=180∘.
Mà hai đỉnh E,C là hai đỉnh đối diện của tứ giác BEFC .
=> BEFC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180∘ ).
+) Chứng minh AD vuông góc với EF tại K.
Vì BEFC là tứ giác nội tiếp (cmt)⇒∠AFK=∠EBC=∠ABC (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện).
Mà ∠ABC=∠ADC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC )
⇒∠AFK=∠ADC.
Ta có: ∠ACD+90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) ) ⇒△ACD vuông tại C.
⇒∠KAF+∠ADC=90∘ (hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông).
Mà ∠AFK=∠ADC(cmt)⇒∠KAF+∠AFK=90∘
⇒AKF vuông tại K (Tam giác có tổng hai góc bằng 90∘ ).
⇒AK⊥KF hay AD⊥EF tại K (đpcm).
c) Tứ giác APBC nội tiếp đường tròn (O) nên ∠APC=∠ABC. (4)
Từ (1) và (4) suy ra ∠APC=∠AFE.
Do đó, hai tam giác APF và ACP đồng dạng góc-góc.
Suy ra APAC=AFAP.
Vì thế, ta có AP2=AC.AF.
Lại có AH2=AC.AF (Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ACH vuông tại H có đường cao HF ).
Do đó, AP2=AH2. Suy ra AP=AH.
Do các tứ giác AEHF,ALHF nội tiếp nên năm điểm A,E,F,H,L cùng thuộc một đường tròn. Suy ra tứ giác ALEF nội tiếp.
Vì thế ∠MEL=∠LAF (cùng bù với ∠LEF ). (3)
Lập luận tương tự với tứ giác nội tiếp ALBC, ta có ∠MBL=∠LAC. (4)
Từ (3) và (4) suy ra ∠MBL=∠MEL.
Tứ giác MBEL có hai đỉnh kề nhau là B,E cùng nhìn c