Đề Toán chuyên Đại học Vinh 2008 (Có đáp án)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc 
ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NĂM 2008 
Môn: Toán vòng 1 (Đề chính thức) 
Thời gian làm bài: 150 phút 
 Câu 1: Tính giá trị của biểu thức 
),
11
)(
2
(
yxyx
y
yxA −
−
++= 
với .
4
215
,
4
215 −
=
+
= yx 
Câu 2: Giải phương trình 
.12)2)(1( 22 =++++ xxxx 
Câu 3: Tìm m để phương trình 02222 =−+− mmxx có hai nghiệm 21, xx thoả 
mãn điều kiện .1021
2
2
2
1 =−+ xxxx 
Câu 4: Cho ba, là hai số thực dương. Chứng minh rằng 
22
11
2
2
2
2 +++
a
b
b
a . 
Khi nào xảy ra dấu đẳng thức? 
Câu 5: Cho tam giác ABC và )(O là đường tròn nội tiếp của nó. Gọi 000 ,, PNM 
lần lượt là tiếp điểm giữa các cạnh ACAB, và BC với ).(O Trên các cạnh 
ACAB, lần lượt lấy các điểm NM , sao cho .BCCNBM =+ 
 a) Chứng minh rằng ).(
2
1
000 BANMP += 
 b) Chứng minh rằng tam giác OMN là tam giác cân. 
 c) Xác định vị trí của M trên AB sao cho đoạn MN ngắn nhất. 
................................................................................................................. 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! 
Họ tên thí sinh: ...................... 
................................................ 
Số báo danh: .......................... 
Chữ kí giám thị: ..................... 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN MÔN TOÁN VÒNG I 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TUYỂN SINH THPT CHUYÊN -
2008 
Câu Nội dung Điểm 
1 
2 
3 
4 
Ta có: .
4
1
;
2
5
==+ xyyx 
 Khi đó: ..
2
xy
yx
xy
xy
yx
yyx
A
+
−=
−
−
+−
= 
 5
4
1
2
5
−=−= 
Đặt )0(,12 =++ ttxx phương trình đã cho trở thành: 12)1( =+tt 
 0122 =−+ tt 3=t , do .0 t 
 Với 3=t ta có 312 =++ xx 022 =−+ xx .21 −== xx 
Ta có .,01)1(22' 22 mmmm  +−=+−= Do đó phương trình đã cho có hai 
nghiệm ., 21 xx 
Theo Định lý Viet, .22;2 2121 −==+ mxxmxx 
Khi đó ta có: .1021
2
2
2
1 =−+ xxxx 103)( 21
2
21 =−+ xxxx 
 10)1(64 2 =−− mm 0232 2 =−− mm .
2
1
2 −== mm 
Theo BĐT Cô Si ta có: 
b
a
b
a
b
a .22
1
2
2 = + và ..2
1
2
2
a
b
a
b + 
Do đó .22)(2
11
2
2
2
2 + +++
a
b
b
a
a
b
b
a 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .1== ba 
Chú ý: Bất đẳng thức còn có thể được chứng minh theo các cách sau 
C2: Sử dụng các BĐT: )
1
(
2
11
2
2
y
x
y
x + + và 2
1
 +
x
x , 0 x . 
Suy ra 
+++ +++ )
1
()
1
(
2
111
2
2
2
2
b
b
a
a
a
b
b
a .22 
C3: Sử dụng các BĐT 222222 )()( vyuxvuyx +++ +++ và 0,2
1
  + x
x
x 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
5 
ta có .2244)
1
()
1
(
11 222
22
2 =+ +++ +++
b
b
a
ab
ab
a 
..... 
 a) Vì 00ONAM là tứ giác nội tiếp, 
 nên )1(.
2
1
000 AOANNOM == 
 Tương tự, xét tứ giác 
 nội tiếp 00OPBM ta có 
 )2(.
2
1
00 BPOM = 
 Từ (1) và (2) suy ra 
 ).(
2
1
000 BANMP += 
b) Ta có ,00 CNBMBCCNBM +==+ nên .00 NNMM = 
Hơn nữa ,00 ONOM = nên hai tam giác vuông MOM 0 và NON0 bằng nhau. 
Suy ra ,ONOM = hay là tam giác OMN cân tại .O 
c) Ta có 00 NONMOM = , nên MONONM = 00 . 
 Lại do các tam giác 00ONM và MON cân tại O nên chúng đồng dạng với nhau. 
Suy ra .1
000
 =
ON
ON
NM
MN
 Hay là MN .00 NM 
Vì M0N0 không đổi, nên MN ngắn nhất khi M trùng với M0 và khi đó N trùng 
N0. 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
C 
M0 
O 
P0 
N 
A 
B 
N0 
M
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc 
ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NĂM 2008 
Môn: Toán vòng 2 (Đề chính thức) 
Thời gian làm bài: 150 phút 
 Câu 1: 
 Giải các phương trình 
 a) .2
54
10
4
2
2 =
+−
+−
xx
xx 
 b) .151312 333 +=−+− xxx 
Câu 2: 
 Gọi 21, xx là hai nghiệm của phương trình .0118
2 =+− xx Đặt 
,,21 NnxxS
nn
n += trong đó N là tập các số tự nhiên. 
 a) Chứng minh rằng .,18 12 NnSSS nnn −= ++ 
 b) Chứng minh rằng nS là số nguyên dương và không chia hết cho 17 với 
mọi Nn . 
 Câu 3: 
 Cho các số dcba ,,, đều thuộc đoạn  1,0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
33 )1)(1)(1)(1( dcbaabcdP −−−−+= 
Câu 4: 
 Cho )(O là đường tròn có bán kính R và BA, là 2 điểm thuộc )(O sao 
cho aAB 2= không đổi, với 0 < a < .R Giả sử NM , là hai điểm thuộc cung lớn 
AB sao cho .BNAM ⊥ 
 a) Tính khoảng cách từ O đến trung điểm I của MN theo .a 
 b) Xác định vị trí của M sao cho độ dài MBMA+ đạt giá trị lớn nhất. 
Câu 5. 
 Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín 
một tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt các tấm bìa? 
................................................................................................................. 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! 
Họ tên thí sinh: ...................... 
................................................ 
Số báo danh: .......................... 
Chữ kí giám thị: ..................... 
`BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN MÔN TOÁN VÒNG 2 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TUYỂN SINH THPT CHUYÊN – 2008 
Câu ội dung Điểm 
1 
2 
3 
a) Đặt .01)2(54 22 +−=+−= xxxt Khi đó phương trình đã cho trở thành 
2
10
5 =+−
t
t 01072 =+− tt .52 == tt 
+) 2=t 21)2( 2 =+−x .31 == xx 
+) .4051)2(5 2 == =+− = xxxt 
b) Lập phương cả hai vế của phương trình đã cho ta được 
15)1312(1312325 3333 +=−+−−−+− xxxxxx 1151312 333 =+−− xxx 
 1)1215)(12( 2 =−−− xxx 
 01930 23 =− xx .
30
19
0 == xx 
-Với 0=x thì hai vế khác nhau. 
- Với 
30
19
=x thì hai vế của phương trình đã cho bằng nhau. 
Vậy phương trình có nghiệm 
30
19
=x . 
a) Ta có ,0118 1
2
1 =+− xx nên )1(.018 1
1
1
2
1 =+−
++ nnn xxx 
 Tương tự: )2(.018 2
1
2
2
2 =+−
++ nnn xxx 
 Từ (1) và (2) ta có 0)()(18 21
1
2
1
1
2
2
2
1 =+++−+
++++ nnnnnn xxxxxx 
 .18 12 nnn SSS −= ++ 
b) Ta có 3222)(;18;2 21
2
21
2
2
2
122110 =−+=+==+== xxxxxxSxxSS là các số 
nguyên dương không chia hết cho .17 
Giả sử bài toán đúng đến mọi .,2,...,1,0 Nnnk += 
Khi đó nnnnnnnnnn SSSSSSSSSS −+=−−+=−= ++++++ )(17)18(1718 121223 là số nguyên 
dương và không chia hết cho .17 Vậy bài toán được chứng minh. 
 Với  1,0,,, dcba ta có 
3
33 cbaabcabcd
++
 ; 
.
3
111
)1)(1)(1()1)(1)(1)(1( 33
cba
cbadcba
−+−+−
 −−− −−−− 
 Suy ra .1
3
1
3
=
++
−+
++
cbacba
P 
Dấu đẳng thức xảy ra khi .10 ======== dcbadcba Vậy max P 1= . 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
1,0 
0,5 
4 
5 
A B 
Q 
J 
P 
A' 
M 
N O 
K 
I 
a) AO cắt đường tròn (O) tại A'. Gọi J là trung 
điểm của AB. Ta có hai cung MN và A'B bằng 
nhau vì cùng bù với cung AB. 
Do đó JOBAMNIM === '
2
1
2
1
. Suy ra 
aJOOAIMOMOI =−=−= 2222 . 
b) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của hai cung lớn, nhỏ AB. Trên AM kéo dài 
lấy điểm K sao cho MB = MK. Ta có MA + MB = AK. Vì vậy ta xác định M 
sao cho AK có độ dài lớn nhất. 
Ta có MQ là phân giác của AMB và MQMP⊥ nên MP là phân giác của góc 
BMK . Vì MK = MB nên PK = PB. Điều đó chứng tỏ K thuộc đường tròn tâm P 
cố định với bán kính PB = PA không đổi. 
Do đó dây cung AK lớn nhất khi nó là đường kính, nghĩa là PM  . 
C 
A 
I 
J 
K 
B 
Giả sử ABC là tam giác đều có cạnh bằng 3. Chia mỗi 
cạnh của tam giác ABC thành ba phần bằng nhau. Nối 
các điểm chia bởi các đoạn thẳng song song với các 
cạnh, tam giác ABC được chia thành 9 tam giác đều có 
cạnh bằng 1. Gọi I, J, K lần lượt là 3 điểm trên các cạnh 
BC, CA và AB sao cho IC = JA = KB =1. Ba đường 
tròn bán kính bằng 1, tâm tương ứng là I, J, K sẽ phủ 
kín được tam giác ABC (mỗi hình tròn phủ được 3 tam 
giác nhỏ). Như vậy dùng 3 tấm bìa sẽ phủ kín được tam 
giác ABC. 
Số tấm bìa ít nhất phải dùng cũng là 3, bởi vì nếu ngược 
lại sẽ phải có hai trong ba đỉnh của tam giác ABC thuộc 
một hình tròn bán kính 1. Điều này không thể xảy ra bởi 
vì cạnh của tam giác ABC bằng 3. 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5