Đề Toán chuyên Đại học Vinh 2009 (Có đáp án)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC 
 === ĐỀ === ======  ====== 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
THPT CHUYÊN NĂM 2009 
Môn: Toán Vòng 1. 
Thời gian làm bài 120 phút 
(Không kể thời gian phát và nhận đề) 
Câu 1 (2 điểm). 
Cho phương trình 0)3()32(2 =−+−− mmxmx , với m là tham số. 
1. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân 
biệt. 
 2. Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm vu, 
thỏa mãn hệ thức 1722 =+ vu . 
Câu 2 (4 điểm). 
1. Giải hệ phương trình 
=++
=+++
11
23)(222
xyyx
yxyx
 2. Cho các số thực yx, thoả mãn 08 yx . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức 
)8(
1
yxy
xP
−
+= . 
Câu 3 (4 điểm). 
 Cho hai đường tròn ),( 11 RO và ),( 22 RO cắt nhau tại hai điểm PI , . Cho 
biết 21 RR và 21,OO khác phía đối với đường thẳng IP . Kẻ hai đường kính 
IFIE, tương ứng của ),( 11 RO và ),( 22 RO . 
1. Chứng minh FPE ,, thẳng hàng. 
2. Gọi K là trung điểm EF . Chứng minh 21PKOO là tứ giác nội tiếp. 
3. Tia IK cắt ),( 22 RO tại điểm thứ hai là B , đường thẳng vuông góc 
với IK tại I cắt ),( 11 RO tại điểm thứ hai là A . Chứng minh BFIA = . 
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ tên thí sinh 
SBD: 
Họ tên, chữ ký cán bộ coi thi 
 CBCT1 CBCT2 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC 
 === ĐÁP ÁN === ======  ====== 
ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN VÒNG 1 NĂM 2009 
Câu Nội dung Điểm 
1 ( 2đ) 
2 (4đ) 
1. Dễ thấy 09 = nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt 
khi đó phương trình có 2 nghiệm 3, −== mvmu . 
2. Theo ý 1 ta có 17)3(17 2222 =−+ =+ mmvu 
 0862 2 =−− mm 
 0432 =−− mm 
 41 =−= mm . 
1. Đặt xyvyxu =+= , . Khi đó hệ phương trình trở thành 
=+
=−+
11
23222
vu
vuu
−=
=−−+
uv
uuu
11
23)11(222
−=
=−+
uv
uu
11
04542
=
−=

=
=
20
9
6
5
v
u
v
u
Giải từng hệ ta được )2,3()3,2(),(
6
5
= 
=
=
yx
v
u
 )4,5()5,4(),(
20
9
−−−−= 
=
−=
yx
v
u
Vậy hệ có 4 nghiệm (2,3); (3,2); (-4,-5) và (-5,-4) 
2. Sử dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta có 
 6
)8(8
8
8)8( 
−
++−=
yxy
yyxP 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
4
1
,4
64
1
16
)8(
1
8
88
3
== 
=
=
−
=
=−
yx
y
yx
yxy
y
yyx
Do vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 6. 
1 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
1 
1 
4 (4đ) 
1. Vì IE là đường kính của ),( 11 RO nên 
090=IPE . 
Tương tự: 090=IPF . 
Từ giả thiết ta có FE, nằm về hai phía của P . Suy ra 
0180=EPF , hay FPE ,, thẳng hàng. 
2. Ta có )..(2121 cccPOOIOO = , nên 2121 POOIOO = . (1) 
Mặt khác, KOKO 21 , là các đường trung bình của tam giác IEF nên 
21KOIO là hình bình hành. 
Do đó 2121 KOOIOO = . (2) 
từ (1) và (2) suy ra 21POO 21KOO= , hay 21PKOO là tứ giác nội 
tiếp. 
3. IA cắt ),( 22 RO tại điểm 'A (khác I ). 
Ta có tứ giác 'IBFA là hình chữ nhật, nên 
'IABF = . (3) 
Mặt khác, AEIK // và FA' . K là trung điểm của EF nên I là 
trung điểm của 'AA . Hay là 'IAIA = . (4) 
Từ (3) và (4) suy ra .BFIA = 
0,75 
0,75 
0,75 
0,75 
0,5 
0,5 
A 
B 
F 
A’ 
I 
E 
O1 O
2 
K P 
 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC 
 === ĐỀ === ======  ====== 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
THPT CHUYÊN NĂM 2009 
Môn: Toán Vòng 2. 
Thời gian làm bài 150 phút 
( Không kể thời gian phát và nhận đề) 
Câu 1. Giải các phương trình sau 
1. xxx =−−+ 713 
2. 04623 234 =++−− xxxx 
Câu 2. 
1. Tìm các số nguyên dương yx, thỏa mãn phương trình 
0)(1322 =−−+ yxyx 
2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố lẻ p đều không tồn tại các số 
nguyên dương nm, thoả mãn 
22
111
nmp
+= 
Câu 3. Cho các số thực dương zyx ,, thoả mãn 1832 =++ zyx . Chứng minh 
rằng 
7
51
31
52
21
53
1
532
+
++
+
+
++
+
+
++
z
yx
y
xz
x
zy
. 
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 
Câu 4. 
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O và 
045=ACB . Kẻ các đường cao 'AA và 'BB . Gọi H là trực tâm của tam giác 
ABC , M và N tương ứng là trung điểm của AB và CH . 
1. Chứng minh rằng NMBA '' là hình vuông. 
2. Chứng minh rằng OHMNBA ,,'' đồng quy. 
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ tên thí sinh 
. 
SBD:. 
Họ tên, chữ ký cán bộ coi thi 
 CBCT1 CBCT2 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC 
 === ĐÁP ÁN === ======  ====== 
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN VÒNG 2 NĂM 2009 
Câu Nội dung Điểm 
1(2,5) 1. ĐK: )7(272137 −+−=+ xxxxPTx 
 xxx 728 2 −=+ 
 064443 2 =−− xx 16= x ( do 7 x ) 
2. Vì 0=x không là nghiệm của phương trình nên 
 PT 02
2
3
2
02
6
3
4
2
2
2 =+ 
−− 
− =−+−+ 
x
x
x
x
x
x
x
x 
 Đặt 
x
xt
2
−= , khi đó PT có dạng 120232 == =+− tttt 
 Với 310222
2
2 2 = =−− =− = xxx
x
xt 
 Với 21021
2
1 2 =−= =−− =− = xxxx
x
xt 
0,75 
0,75 
0,5 
0,5 
2(2,5) 1.Tìm các số nguyên dương thỏa mãn phương trình 0)(1322 =−−+ yxyx 
 Phương trình 16913)(13.2)()( 222 =+−−−++ yxyxyx 
 169)13()( 22 =+−++ yxyx . 
 Vì x, y là các số nguyên dương nên dễ thấy 
 22 512169,13130,130 += +− + yxyx 
 Bằng cách giải hệ phương trình: )2,10(),(
513
12
= 
=+−
=+
yx
yx
yx
 và )2,3(),(
1213
5
= 
=+−
=+
yx
yx
yx
Vậy ( ) ( )2,10;2,3 ==== yxyx là 2 nghiệm nguyên dương của phương trình. 
0,5 
0,5 
0,5 
2. Theo giả thiết 2 p . Giả sử 
22
111
nmp
+= , hay là )( 2222 nmpnm += . (1) 
Suy ra pnm 22 . Do p nguyên tố nên pmn , vì thế pm hoặc pn . 
Kết hợp với (1) suy ra pnm 22 + . Do đó pm và pn . 
Suy ra pnpm , . Khi đó 
22
111
nmp
+=
222
211
ppp
=+ . 
Dẫn đến 2 p . Mâu thuẫn. 
0,5 
0,5 
3 (2đ) 
4 (3đ) 
Đặt 
+
+
+
+
+
=+ 
+
++
+
+
++
+
+
++
=
zyx
P
z
yx
y
xz
x
zy
P
31
1
21
1
1
1
243
31
52
21
53
1
532
Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có 
3 )31)(21)(1(
72
31
1
21
1
1
1
243
zyxzyx
P
+++
+
+
+
+
+
=+ 
7
72
3
31211
72
=
+++++
zyx
7
51
 P . 
Dấu bằng xảy ra 2,3,6
1832
31211
=== 
=++
+=+=+
 zyx
zyx
zyx
. 
1. Sử dụng tính chất đường trung tuyến 
ta có: 
)1(.
2
1
'' ABMBMA == 
)2(.
2
1
'' CHNBNA == 
Từ giả thiết ta có ACA' và HBA' 
vuông cân. Suy ra BAAHCA '' = , vì 
vậy ABCH = . (3) 
Lại có 
AMAMAANCACNA '''' === , 
nên )4(.90'' 0== CAANMA 
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra 
NMBA '' là hình vuông. 
2. Ta có O và 'A cùng thuộc trung trực của AC , nên ACOA ⊥' . Suy ra 
HBOA '//' . 
 Tương tự HAOB '//' . Vì vậy HOAB '' là hbh. 
 Do đó OH cắt ''BA tại I là trung điểm của mỗi đường. 
 Rõ ràng từ kết quả ý 1, MN cũng đi qua I . Vậy OHMNBA ,,'' đồng quy. 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,75 
0,75 
A 
B 
'A 
M 
'B 
N 
C 
O 
H