Đề Toán chuyên Đại học Vinh 2010 (Có đáp án)

 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC 
 === ĐỀ === ======  ====== 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
THPT chuyên năm 2010 
Môn Toán. Vòng 1. 
Thời gian làm bài 120 phút 
( Không kể thời gian phát và nhận đề) 
Câu 1(3 điểm). Cho parabol 2:)( xyP = và đường thẳng 
( ) : ( 1) 3.d y m x m= − − + 
 a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng ( )d luôn cắt 
Parabol )(P tại hai điểm phân biệt );(),;( 2211 yxByxA . 
 b. Tìm các giá trị của m sao cho toạ độ của );(),;( 2211 yxByxA thoả mãn 
điều kiện 81221 =+ yxyx . 
Câu 2 (1 điểm). Rút gọn và tính giá trị của biểu thức 
−
−
+
−
+
−
=
yxyx
yx
yx
yx
P
11
, trong đó 5 2 6 , 5 2 6x y= + = − . 
Câu 3 (1điểm). Giải phương trình sau: 
 4112 −=−−− xxx . 
 Câu 4 (1điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 2 22 2 2010P x x x y y y y x= + − + + − + 
 Câu 5 (4 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán 
kính R , 
 Các đường cao ,AH BK cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai tương ứng là 
,E F . 
 a. Chứng minh rằng // EFHK . 
 b. Gọi ,M N là các điểm lần lượt thuộc ,AH BK thỏa mãn điều kiện: 
 090BMC ANC = = . Chứng minh CM CN= . 
Họ tên thí sinh: 
SBD: 
Họ tên, chữ ký 
Cán bộ coi thi 
 c. Tính tổng 2 2 2 2AB BE EC CA+ + + theo R . 
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC 
=== ĐÁP ÁN === ======  ====== 
Đáp án và thang điểm. Môn Toán vòng 1 năm 2010 
Câu Nội dung Điểm 
Câu 1 
(3đ) 
a. Phương trình giao điểm của (P) và d là: 2 ( 1) 3 0x m x m− − + − = 
Vì 2 2( 1) 4 12 ( 3) 4 0,m m m m = − − + = − +  nên có ĐPCM 
b. Theo hệ thức Viet ta có: 1 2 1 21. 3x x m x x m+ = − = − 
 Ta có 1 2 2 1 1 2 1 28 ( ) 8x y x y x x x x+ = + = 
 2( 1)( 3) 8 4 5 0 1, 5m m m m m m − − = − − = = − = 
 Vậy các giá trị cần tìm là: m = -1, m = 5. 
0,75 
0,75 
0,75 
0,75 
Câu 2 
(1đ) 
Rút gọn ta được 
1 1 4x y x y
P
x yx y x y xy
 − + 
= − − = + − 
Thay số vào ta có 1 4xy P= = 
0,5 
0,5 
Câu 3 
(1đ) 
a. Điều kiện 4x PT 2 1 1 4x x x − = − + − 
 2 1 2 5 2 ( 1)( 4)x x x x − = − − − − 
 ( 1)( 4) 2 0, 5x x x x− − = = = 
Do điều kiện nên phương trình chỉ có một nghiệm x = 5 
0,5 
0,5 
Câu 4 
(1đ) 
Ta có 2 22 2 2010P x x x y y y y x= + − + + − + 
 2 2( ) ( ) 2010x y y x= − + − + 
2010, 2010 0 1 2010P P x y x y MinP = = =  = = = 
0,5 
0,5 
Câu 5 
(4 đ) 
a. ( 1,5đ). Ta có BFE BAE = ( cùng chắn cung BE) 
và BAE BKH = ( vì tứ giác ABHK nội tiếp). Suy ra 
 BFE BKH = nên EF//HK. 
b (1,5đ). Trong tam giác vuông BMC có 2 .CM CH CB= (1) 
 Trong tam giác vuông ANC có 2 .CN CK CA= (2) 
Mặt khác HKC ABC =  ( vì tứ giác ABHK nội tiếp) nên hai tam 
giác CHK và CAB đồng dạng với nhau. Từ đó ta nhận được: 
 . .
CK CH
CK CA CH CB
CB CA
= = (3) 
Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh. 
c (1đ). Kéo dài AO, Cắt (O) tại điểm thứ hai là D, khi đó ED//BC 
nên BCDE là hình thang cân, do đó 
 2 2 2 2 2 2 2 2 28AB BE EC CA AB BD CD CA R+ + + = + + + = 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
H
K
O
B
A
C
E
F
D
M
N
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC 
 === ---- === ======  ====== 
 ĐỀ DỰ BỊ 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
THPT chuyên năm 2010 
Môn Toán. Vòng 1. 
Thời gian làm bài 120 phút 
( Không kể thời gian phát và nhận đề) 
Câu 1(3 điểm). 
a. Tính giá trị của biểu thức 
32
1
327
38
+
+
−
+
=P . 
b. Tìm các số nguyên x để 
1
13
+
+
x
x
 là số nguyên. 
Câu 2 ( 3 điểm) 
a. Giải phương trình 13223 +=++ xxx . 
b. Gọi 21, xx là hai nghiệm của phương trình 052)1(2
2 =−++− mxmx . Hãy tìm 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22
2
1 xxA += . 
Câu 3 (4 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R , 
 Các đường cao ,AH BK cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai tương ứng là ,E F . 
 a. Chứng minh rằng // EFHK . 
 b. Gọi ,M N là các điểm lần lượt thuộc ,AH BK thỏa mãn điều kiện: 
 090BMC ANC = = . Chứng minh CM CN= . 
 c. Tính tổng 2 2 2 2AB BE EC CA+ + + theo R . 
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! 
Họ và tên thí sinh: 
SBD: 
Cán bộ coi thi 
CB1 :.. 
CB2 :.. 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC 
 === úừú === ======  ====== 
Đáp án và thang điểm. Môn Toán vòng 1 năm 2010 ( Đề dự bị) 
Câu Nội dung Điểm 
Câu 1 
(3đ) 
a. Ta có 32
327
38
−+
−
+
=P 
 4
327
3828
=
−
−
= 
b. Ta có 2\)1(
1
2
3
1
13
+ 
+
−=
+
+
= xZ
xx
x
P 
 Vì 2 có 4 ước nguyên nên x = -3, - 2, 0 và 1 
0,5 
1,0 
0,75 
0,75 
Câu 2 
(3đ) 
a. Điều kiện 0 x nên )13(4)3(435 +=+++ xxxxPT 
 17)3(4 +=+ xxx 
33
1
,1013433 2 == =+− xxxx 
b. Dễ thấy PT có nghiệm với mọi m. Theo hệ thức Viet ta có 
 52),1(2 2121 −=+=+ mxxmxx 
 Do đó 
 mmmmmmA  ++=++=−−+= ,1313)12(1444)52(2)1(4 222 
 A = 13 khi và chỉ khi 
2
1
−=m . Vậy Min A = 13 
0,75 
0,75 
0,5 
1,0 
Câu 3 
(4 đ) 
a. ( 1,5đ). Ta có BFE BAE = ( cùng chắn cung BE) 
và BAE BKH = ( vì tứ giác ABHK nội tiếp). Suy ra 
0,5 
1,0 
 BFE BKH = nên EF//HK. 
b (1,5đ). Trong tam giác vuông BMC có 2 .CM CH CB= (1) 
 Trong tam giác vuông ANC có 2 .CN CK CA= (2) 
Mặt khác HKC ABC =  ( vì tứ giác ABHK nội tiếp) nên hai tam 
giác CHK và CAB đồng dạng với nhau. Từ đó ta nhận được: 
 . .
CK CH
CK CA CH CB
CB CA
= = (3) 
Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh. 
c (1đ). Kéo dài AO, Cắt (O) tại điểm thứ hai là D, khi đó ED//BC 
nên BCDE là hình thang cân, do đó 
 2 2 2 2 2 2 2 2 28AB BE EC CA AB BD CD CA R+ + + = + + + = 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
H
K
O
B
A
C
E
F
D
M
N
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC 
 === ĐỀ === ======  ====== 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
THPT CHUYÊN NĂM 2010 
Môn Toán. Vòng2. 
Thời gian làm bài 150 phút 
( Không kể thời gian phát và nhận đề) 
Câu 1( 3 điểm). Cho phương trình ( )102)1(2 224 =++++− mmxmx . 
 a. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. 
b. Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có 4 nghiệm 4321 ,,, xxxx thì 
 0434232413121 +++++ xxxxxxxxxxxx . 
Câu 2 ( 2 điểm). Giải phương trình: 
 2 2
5
1 ( 1)
2
x x x x+ + = + . 
Câu 3 (1,5 điểm). Giả sử các số dương ,, ,x y z thỏa mãn hệ thức 3x y z+ + = . Chứng 
minh rằng: 
1 1 1 3 2
2( ) ( ) ( )x y z y z x z x y
+ + 
+ + +
Câu 4 (3,5 điểm). Cho tam giác ( )ABC AB AC BC ngoại tiếp đường tròn tâm I . 
Gọi , ,D E F lần lượt là tiếp điểm của , ,BC CA AB với đường tròn ( )I và M là trung 
điểm của BC . 
 a. Giả sử đường thẳng AM cắt đường tròn ( )I lần lượt tại ,H K và 
 AH MK= . Chứng minh rằng tam giác ABM là tam giác cân. 
 b. Gọi N là giao điểm của EF với BI . Chứng minh rằng //MN AB . 
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! 
Họ tên thí sinh: 
.. 
SBD:. 
Cán bộ coi thi 
CB1:. 
CB2:. 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC 
 === ĐÁP ÁN === ======  ====== 
Đáp án môn Toán vòng 2 năm 2010 
Nội dung Điểm 
Câu 1 ( 3 điểm) 
a (1,5đ). Đặt . Đặt 02 = txt , khi đó phương trình (1) có dạng 
 )2(02)1(2 22 =++++− mmtmt 
 PT(1) có 4 nghiệm phân biệt PT(2) có 2 nghiệm dương phân biệt 
 1
02
0)1(2
01
2
/
 ++=
 +=
 −= 
 m
mmP
mS
m
b (1,5đ). Chứng minh được 04321 =+++ xxxx . Khi đó 
)(2)(0 434232413121
2
4321
2
4
2
3
2
2
2
1 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx +++++−+++=+++ 
 +++++− )(20 434232413121 xxxxxxxxxxxx ĐPCM 
0,5 
0,5 
 0,5 
0,5 
Câu 2 (2 điểm) Điều kiện: 
2 2
5
0 1 0
21 1
x x
x PT
x x
 − + =
+ +
 Đặt 
2
0 1
1
x
t t
x
= 
+
, PT trên có dạng 
 2 2
5 1
1 0 2 5 2 0 ( 0 1
2 2
t t t t t do t− + = − + = = ) 
Với 2
2
1 1
4 1 0 2 3
2 41
x
t x x x
x
= = − + = = 
+
 ( Thỏa mãn ĐK) 
Vậy PT có 2 nghiệm. 
1 
1 
Áp dụng BĐT CôSi cho 2 số dương ta có 
2 2 2 2
0 2 ( ) . (2 )
2 2 2 4
x y z
x y z x y z
+ +
 + = + + 
1 2 2
3( ) xx y z
++
( do 3x y z+ + = ) 
Tương tự 
1 2 2
3( ) yy z x
++
0,75 
1 2 2
3( ) zz x y
++
Từ đó nhận được: 
VT
2 2 2 2 2 2 1 1 1 18 2 3 2
2 2
3 3 3 3 3 3 9 2x y z x y z x y z
 + + = + + = 
+ + + + + + + + + 
 Vì 
1 1 1
( )( ) 9, 0, 0, 0a b c a b c
a b c
+ + + +  
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1 
0,75 
a (2đ). Ta có tam giác MDK đồng dạng với tam giác MHD nên 
 MD2 = MK.MH 
 Tương tự AF2 = AH.AK 
 Từ giả thiết ta suy ra MD = AF. 
 Do BD = BF nên AB = MB (ĐPCM) 
b(1,5đ) 
Ta có 0
1 1 1
( ); (180 ) ( )
2 2 2
NIC B C NEC AEF A B C =  +  =  = − =  + 
NIC NEC  = Tứ giác CIEN nội tiếp, vì vậy 090INC IEC = = 
//MB MN MNB MBN NBF MN AB =  = = 
1 
1 
0,75 
0,75 
H
D
K
E
I
C
A
B
N
F
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC 
 === --- === ======  ====== 
 ĐỀ DỰ BỊ 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
THPT CHUYÊN NĂM 2010 
Môn Toán. Vòng2. 
Thời gian làm bài 150 phút 
( Không kể thời gian phát và nhận đề) 
Câu 1( 4 điểm). 
a. Giải phương trình 2 2
5
1 ( 1)
2
x x x x+ + = + . 
b. Tìm số nguyên dương n sao cho 1513 ++ nn là số nguyên tố. 
Câu 2 (2 điểm). Giả sử các số không âm ,, ,x y z thỏa mãn hệ thức 3333 =++ zyx . Tìm 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
131313
333
+
+
+
+
+
=
x
z
z
y
y
x
P . 
Câu 3 (4 điểm). Cho nửa đường tròn )(O đường kính AB . Đường tròn )(I tiếp xúc 
với AB tại C và tiếp xúc trong với )(O tại D . Giả sử BD cắt )(I tại )( DEE và tiếp 
tuyến của )(I tại E cắt )(O tại F . 
 a. Chứng minh rằng ABEF ⊥ . 
 b. Chứng minh rằng FC là phân giác của góc AFE . 
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! 
Họ tên thí sinh: 
.. 
SBD:. 
Cán bộ coi thi 
CB1:. 
CB2:. 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
 TRỜNG ĐẠI HỌC VINH