Đề Toán chuyên Đại học Vinh 2012 (Có đáp án)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NĂM 2012. MÔN THI: TOÁN - VÒNG 1 
 ===  === Thời gian làm bài: 120 phút 
 (Không kể thời gian giao đề) 
 ======  ====== 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Câu 1.(1,5 điểm) Rút gọn biểu thức 
a a b b a a b b a b a b a b
A
b aa b b a a b b a a b a b
 − + + −
= + − − + − + − + 
trong đó ,a b là các số thực dương phân biệt. 
Câu 2. (1 điểm). Chứng minh rằng với mọi tham số m bất kì thì phương trình 
24 2( 1) 3 0x m x m− + + − = luôn có hai nghiệm phân biệt. 
Câu 3. (1,5 điểm). Giải hệ phương trình 
3 4 10 0
.
5 2 8 0
x y xy
x y xy
+ − = 
− − = 
Câu 4.(2,0 điểm) 
1. Tìm hai số nguyên dương ,p q sao cho 2 2 7.p q− = 
2. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương lớn hơn 1 thì 4 4nn + không phải 
là số nguyên tố. 
Câu 5. (4 điểm). Cho đường tròn ( , )O R có đường kính AB cố định và đường kính 
CD thay đổi sao cho CD không vuông góc cũng không trùng với AB . Gọi d là tiếp 
tuyến tại A của ( ; )O R . Các đường thẳng BC và BD cắt d tương ứng tại E và F . 
1.Chứng minh rằng CDEF là tứ giác nội tiếp. 
2. Gọi M là trung điểm của EF , chứng minh rằng BM CD⊥ . 
3. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF . Chứng minh rằng 
MK R= . 
4. Gọi H là trực tâm của tam giác EFD , chứng minh rằng H luôn chạy trên 
một đường tròn cố định. 
Ghi chú: Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: 
. 
Số báo danh. 
Phòng thi:. 
Họ tên và chữ ký của CBCT1: 
. 
Họ tên và chữ ký của CBCT2: 
. 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NĂM 2012. MÔN TOÁN - VÒNG 1 
 ===  === ======  ====== 
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC 
Câu Nội dung 
Điểm 
1(1,5 điểm) 
Ta có 1
a a b b a b ab
A
a b b a ab
− + +
= =
−
0,5 
2
a a b b a b ab
A
a b b a ab
+ + −
= =
+
0,25 
3
( 2 ) ( 2 ) 2( )a b a b ab a b ab a b a b
A
b a a b a bab
 + + + + − − + 
= − = − − 
2( )a b
ab
+
= 
0,5 
Vậy 1 2 3 0A A A A= + + = 
0,25 
2. (1,0 điểm) Ta có 2 2' ( 1) 4( 3) 2 13m m m m = + − − = − + 
0,5 
Mặt khác 2 22 13 ( 1) 12 0,m m m m− + = − +  
Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 
0,5 
3(1,5 điểm) 
Hệ tương đương 
12 16 40 0
25 10 40 0
x y xy
x y xy
+ − = 
− − = 
0,5 
Từ đó suy ra 13 26 0 2x y x y− = = 
0,25 
Thay vào phương trình đầu của hệ đã cho ta có 
2 23 2 5 0 5 5 0x x x x x+ − = − = 
0,25 
0
1
x
y
= 
= 
 hoặc 
1
1
2
x
y
= 
= 
0,5 
4 (2,0 điểm) 1. Từ giả thiết ta có ( )( ) 7p q p q− + = 0,25 
Mà ,p q nguyên dương nên ,p q p q− + đều là ước nguyên dương của 
7 và p q p q− + . 
0,25 
Do đó 
1
7
p q
p q
− = 
+ = 
0,25 
4
3
p
q
= 
= 
0,25 
2. Nếu n là số chẵn thì 4 4nA n= + là số chẵn lớn hơn 2 nên A không 
phải là số nguyên tố. 
0,25 
Nếu n là số lẻ thì 
 ( ) ( )
2 2
4 2 2 2 2 14 2 2. .2 2 .2n n n n nA n n n n n += + = + − = + − 
0,25 
Đặt 1 2n k+ = với k nguyên dương ta có 
( ) ( )( )
2
2 2 1 2 22 .2 2 .2 2 .2n n n k n kA n n n n n n+= + − = + + + − 
0,25 
Vì ( )2 2 .2 1n kn n+ + 
Và ( ) ( ) ( )
2
2 1 2 22 .2 2 2 2 1n k k n kn n n − −+ − = − + − nên A không phải là 
số nguyên tố. 
0,25 
5(4,0 điểm) 
1.Vì CD là đường kính nên 090CBD = 
0,25 
Do đó EFB ABF= (góc có cạnh tương ứng vuông góc cùng nhọn) 
0,25 
Mà ( )ABF ODB OB OD R= = = 
Nên EFB CDB= . Do đó tứ giác CDEF nội tiếp 
0,5 
2.Gọi Q BM CD= 
EFB vuông tại B nên (1)BM ME MBE MEB= = 
0,5 
BCD vuông tại B nên 090BCD BDC+ = mà EFBDC B= (chứng 
minh ở câu 1) nên 0EF 90 (2)BCD B+ = 
0,25 
Từ (1) và (2) 0 090 90BCD MBE BQC+ = = hay BM CD⊥ . 
0,25 
3. K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF , M là trung điểm 
EF nên KM EF KM AB⊥ (vì cùng vuông góc với EF ) 
0,25 
Tương tự KO BM (cùng vuông góc với CD ) 
0,25 
Do đó KMBO là hình bình hành nên MK BO R= = . 
0,5 
4. H là trực tâm tam giác EFD , do đó EFHD⊥ , suy ra 
HD AB .Tương tự BH AD (cùng BF⊥ ) 
Do đó BHDA là hình bình hành nên BH AD= . 
0,25 
Mặt khác BDAC là hình chữ nhật nên (3)AD BC BH BC= = 
0,25 
Lấy 'O đối xứng với O qua B ta có ' (4)BO BO= với 'O cố định vì 
,B O cố đinh 
0,25 
Từ (3) và (4) suy ra 'HO CO là hình bình hành nên 
'O H OC R= = .Vậy H chạy trên đường tròn ( '; )O R cố định. 
0,25 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NĂM 2012. MÔN THI: TOÁN - VÒNG 2 
 ===  === Thời gian làm bài: 150 phút 
 (Không kể thời gian giao đề) 
 ======  ====== 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Câu 1.(1,5 điểm). 
 Giả sử a, b, c là các số nguyên sao cho 222 cba ++ chia hết cho 4. Chứng minh 
rằng a, b, c đồng thời chia hết cho 2. 
Câu 2. (1,5 điểm). 
 Giải phương trình .02|32| 24 =−−+ xx 
Câu 3. (1,0 điểm). 
 Tìm các số nguyên dương p, q, r sao cho .48)9)(4)(1( 222 pqrrqp =+++ 
Câu 4.(1,0 điểm) 
 Giải hệ phương trình 
=+
=+
=+
zxxz
yzzy
xyyx
5)(12
11)(30
9)(20
Câu 5. (1,5 điểm). 
 Chứng minh rằng .2
20122013
1
20112012
1
...
23
1
12
1
 ++++ 
Câu 6 (3,5 điểm). 
 Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O) sao cho CA > CB. 
Các tiếp tuyến tại A và C cắt nhau tại D. Vẽ hình bình hành BODE. 
a) Chứng minh rằng ba điểm B, C, E thẳng hàng. 
b) Gọi ODAEF = và .CDOEH = Chứng minh rằng HF//AC. 
c) Chứng minh rằng ba đường thẳng OC, DE, HF đồng qui. 
----------- HẾT ----------- 
Ghi chú: Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: 
. 
Số báo danh. 
Phòng thi:. 
Họ tên và chữ ký của CBCT1: 
. 
Họ tên và chữ ký của CBCT2: 
. 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NĂM 2012. MÔN TOÁN - VÒNG 2 
 ===  === ======  ====== 
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC 
Câu 1.(1,5 điểm). 
 Giả sử a lẻ. Khi đó 2a chia 4 dư 1. Mà 22 cb + chia 4 chỉ có thể có số dư là 0, 1 
hoặc 2. Do đó không thỏa mãn. Vậy a chẵn. Tương tự b, c, chẵn, đpcm. 
Câu 2. (1,5 điểm). 
 .1 =x 
Câu 3. (1,0 điểm). 
 Sử dụng BĐT Côsi cho từng tổng. Phương trình tương đương với các dấu “=” 
đồng thời xảy ra .3,2,1 === rqp 
Câu 4.(1,0 điểm) 
 * Nếu 0=x thì 0=z và .0=y Ta có nghiệm ).0,0,0( 
 * Xét .0 xyz Chia và đưa về hệ bậc nhất của 
zyx
1
,
1
,
1
. Giải ra ta có nghiệm 
)6,5,4( . 
Câu 5. (1,5 điểm). 
 Sử dụng BĐT 
+
− 
+ 1
11
2
)1(
1
kkkk
 với mọi 2012...,,2,1=k ta suy ra 
đpcm.