Đề Toán chuyên Đại học Vinh 2021 (Có đáp án)

 SỞ
GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ
THI
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
TRƯỜNG THPT CHUYÊN –
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NĂM HỌC: 2021 –
2022
MÔN: TOÁN
CHUYÊN
(Đề
thi có 01 trang)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể
thời gian phát đề
Câu 1. (6,0 điểm) 
a) Giải phương trình: 2 2 2 1 5 .x x x 
b) Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
3 5 2 2 2
.
2 10 2 3
x y xy x y
x y x y
Câu 2. (3,0 điểm) 
a) Tìm ,x y sao cho 3 1993 3 2021.yx  
b) Tìm số nguyên dương n để 
23
89
n
n
 là bình phương của một số hữu tỉ dương. 
Câu 3. (2,0 điểm) 
Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 3 .ab bc ca abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 2 2 2 2
.
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
P a b b c c a
a b b c c a
Câu 4. (7,0 điểm) 
Cho đường tròn O có dây cung BC cố định và không đi qua tâm .O Gọi A là điểm di động trên đường tròn 
 O sao cho tam giác ABC nhọn với .AB AC Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm của tam 
giác .ABC Tia MH cắt đường tròn O tại ,K đường thẳng AH cắt cạnh BC tại D và đường thẳng AO cắt 
đường tròn O tại E E khác .A 
a) Chứng minh tứ giác BHCE là hình bình hành và .HA HD HK HM  
b) Tia KD cắt đường tròn O tại I I khác ,K đường thẳng đi qua I và vuông góc với đường thẳng BC cắt 
AM tại .J Chứng minh các đường thẳng ,AK BC và HJ cùng đi qua một điểm. 
c) Một trường tròn thay đổi luôn tiếp xúc với AK tại A và cắt các cạnh ,AB AC lần lượt tại ,P Q phân biệt. 
Gọi N là trung điểm của .PQ Chứng minh rằng AN luôn đi qua một điểm cố định. 
Câu 5. (2,0 điểm) 
Cho 676 số nguyên tố khác nhau. Chứng minh rằng có ít nhất hai số trong các số đã cho mà hiệu của chúng chia 
hết cho 2022. 
------------------------HẾT------------------------ 
Họ và tên thí sinh:Số báo danh:  
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
 LỜI GIẢI CHI TIẾT 
Câu 1. (6,0 điểm) 
a) Giải phương trình: 2 2 2 1 5 .x x x 
b) Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
3 5 2 2 2
.
2 10 2 3
x y xy x y
x y x y
Lời giải 
a) Điều kiện: 1.x Phương trình tương đương: 
2
3
2
5 4 2 1 0 1 4 2 1 0
1 4 1 2 0
1 1 3 1 2 0
1 1 1 1 2 0
1 0 1
.
21 1
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x
xx
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 1, 2.x x 
b) Lấy phương trình thứ nhất nhân 2 rồi trừ cho phương trình thứ hai vế theo vế ta được: 
2 2 2 2
22 2
2 3 2 2 5 2 2 2 10 2 3
4 4 2 2 2
2 2 1 0
2 0 2
.
2 1 0 2 1
x y x y xy x y x y
x y xy x y x y x y
x y x y
x y y x
x y y x
Thay 2y x vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 
2 2 2
1
2 4 10 2 6 3 2 5 0 .5
3
x
x x x x x x
x
Với 1 2.x y 
Với 
5 10
.
3 3
x y 
Thay 2 1y x vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 
22 2 22 2 1 10 2 3 2 1 2 0 .
2
x
x x x x x
x
 Với 2 2 2 1.x y 
Với 2 2 2 1.x y 
Vậy hệ đã cho có nghiệm 5 10; 1; 2 , ; ; 2;2 2 1 , 2; 2 2 1 .
3 3
x y
Câu 2. (3,0 điểm) 
a) Tìm ,x y sao cho 3 1993 3 2021.yx  
b) Tìm số nguyên dương n để 
23
89
n
n
 là bình phương của một số hữu tỉ dương. 
Lời giải 
a) Nếu 31 1993 3 2021 8000 20.y x x  
Nếu 1,y ta có: 3 31993 3 0 mod 9 2021 0 mod 9 5 mod 9 .y x x    
Nhưng lập phương của một số tự nhiên chia 9 chỉ có thể dư là 0; 1; 8 nên dẫn đến điều vô lí. 
Vậy ; 20;1x y là cặp số cần tìm. 
b) Ta có: 
2
23
89
n a
n b
 với ,a b và gcd ; 1.a b 
2
2 2 2 2 2 223 23 89 89 23 0.
89
n a
b n a n n a b a b
n b
2 2 2
2 2 2 2
89 23 112
89 .
a b b
n
b a b a
Vì 2 2 2gcd ; 1 gcd ; 1 112a b b b a chia hết cho 2 2.b a 
Khi đó ta có: 2 2 112.k b a 
Nếu 2 2 1 3 1
4 1
2 7
1 112 2 7 2 7 .
2 7
p q
p q p q
p q
b a
k b a b
b a
    
  
 2 2; 1;0 1 2 7 29 112 27.p q b a b  Với ; 27;29 752.a b n 
 2 2; 1;1 7 2 11 112 3.p q b a b Với ; 3;11 32.a b n 
 2; 2;1 2 7 2 1 16 112 12.p q b a b   Loại do gcd ; 1.a b 
Xét các cặp ; 2;0 ; 3;1 ; 3;0p q tương tự thì trong các trường hợp tương tự đều cho kết quả không thỏa 
mãn hoăc 32, 752.n n 
 Nếu 2 2 1 2 1
3 1
2 7
2 56 2 7 2 7 .
2 7
p q
p q p q
p q
b a
k b a b
b a
    
  
 2; 1;0 1 2 7 15 56 13.p q b a b  Với ; 13;15 361.a b n 
 2; 1;1 7 2 9 56 5.p q b a b Với ; 5;9 73.a b n 
Nếu 2 2 1 1 1
2 1
2 7
4 28 2 7 2 7 8.
2 7
p q
p q p q
p q
b a
k b a b
b a
    
  
 2 28 6.a b Với ; 6;8a b Loại do gcd ; 1.a b 
Nếu 2 2 1 3
4
2
7 16 2 2 .
2
p
p p
p
b a
k b a b
b a
  
 21 1 4 5 16 3.p b a b Với ; 3;5 86.a b n 
 2 2 2 4 0p b a loại. 
Nếu 2 2 1 1 1
1 1
2 7
8 14 2 2 7 2 7 4.
2 7
p q
p q p q
p q
b a
k b a b b
b a
    
  
2 14 2a b loại. 
Nếu 2 2 1 2 2
3
2
14 8 2 2 3 8 1.
2
p
p p
p
b a
k b a b b a b
b a
Với ; 1;3 37.a b n 
Nếu 2 2 1 2
1
7
16 7 2 7 7 4 7 3.
7
q
q q
q
b a
k b a b b a b
b a
Với ; 3;4 167.a b n 
Nếu 2 2 1 1
2
2
28 4 2 2 2 0
2
p
p p
p
b a
k b a b b a
b a
  
loại. 
Nếu 2 2 1
1
2
56 2 2 2
2
p
p p
p
b a
k b a b
b a
loại. 
Nếu 2 2
1 1
112 1
1 0
b a b
k b a
b a a
loại. 
Vậy 32; 37; 73; 86; 167; 361; 752n là các giá trị cần tìm. 
 Câu 3. (2,0 điểm) 
Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 3 .ab bc ca abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 2 2 2 2
.
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
P a b b c c a
a b b c c a
Lời giải 
Với mọi ,a b dương ta có: 
2
2 22 .a ab b a b Thật vậy, bất đẳng cần chứng minh tương đương với: 
2 2 2 2
2 2
2
2
4
2 4 4 4
6 4 0
4 4 0
2 0
0.
a b ab ab a ab b ab a b
a b ab ab a b
a b ab a b ab
a b ab
a b
Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .a b 
Từ đó ta có: 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
.
a b b c c a a ab b b bc c c ca a
a b b c c a c aa b b c
ab bc ca
a b b c c a
a b b c c a
Suy ra: 
1 1 1
.
1 1 1 1 1 1
ab bc ca
P
a b b c c a
a b b c c a
Đặt 
1 1 1
, , ,x y z
a b c
 ta có: 
1 1 1
3 3 3.ab bc ca abc x y z
a b c
Khi đó: 
1 1 1 9 9
3
9 9 3 2
.
26 36
P
x y y z z x x y y z z x x y y z z x
x y z
 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1.a b c 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 
3 2
2
 đạt được khi 1.a b c 
 Câu 4. (7,0 điểm) 
Cho đường tròn O có dây cung BC cố định và không đi qua tâm .O Gọi A là điểm di động trên đường tròn 
 O sao cho tam giác ABC nhọn với .AB AC Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm của tam 
giác .ABC Tia MH cắt đường tròn O tại ,K đường thẳng AH cắt cạnh BC tại D và đường thẳng AO cắt 
đường tròn O tại E E khác .A 
a) Chứng minh tứ giác BHCE là hình bình hành và .HA HD HK HM  
b) Tia KD cắt đường tròn O tại I I khác ,K đường thẳng đi qua I và vuông góc với đường thẳng BC cắt 
AM tại .J Chứng minh các đường thẳng ,AK BC và HJ cùng đi qua một điểm. 
c) Một trường tròn thay đổi luôn tiếp xúc với AK tại A và cắt các cạnh ,AB AC lần lượt tại ,P Q phân biệt. 
Gọi N là trung điểm của .PQ Chứng minh rằng AN luôn đi qua một điểm cố định. 
Lời giải 
a) Ta có AE là đường kính của đường tròn O nên .EB AB 
Mà .CH AB EB CH  
Tương tự ta cũng chứng minh được .EC HB 
Suy ra tứ giác BHCE là hình bình hành. 
Ta có: .
HA HK
HKA HDM HA HD HK HM
HM HD
   
N
Q
P
J'
I
L
K
E
M
H
D
O
CB
A
 b) Gọi L là giao điểm của AK và .BC Ta có: ,MH AL AH LM H  là trực tâm của tam giác .ALM 
Gọi J là giao điểm của LH và ,AM tứ giác ,HJ MD HJ AK nội tiếp. 
Mặt khác ta có: .MDI KDL KLH HMJ HDJ      
Suy ra IDJ cân tại (1)D DJ DI 
Ta có: LK LA LH LJ LB LC BHJ C    nội tiếp. 
Hay J là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC và đường thẳng .AM 
Theo bổ đề quen thuộc thì đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC đối xứng với đường tròn O qua .BC 
Do đó qua J kẻ đường vuông góc với BC cắt đường tròn O tại (2).I DJ DI 
Từ (1) và (2) suy ra .I I  Do đó IJ vuông góc với .BC J J  
Từ đó suy ra ,AK BC và HJ cùng đi qua điểm .L 
c) Vì .
BKC BAC
APQ KBC
BCK KAC PAQ
   
    
 
Mà ,M N lần lượt là trung điểm của BC và .PQ PAN KBM KBE BAO PAO      
Suy ra AN đi qua điểm O cố định. 
Câu 5. (2,0 điểm) 
Cho 676 số nguyên tố khác nhau. Chứng minh rằng có ít nhất hai số trong các số đã cho mà hiệu của chúng chia 
hết cho 2022. 
Lời giải 
Ta có: 2022 2 3 337.   
Trong 676 số nguyên tố có tối đa một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 337. 
Do đó trong 676 số nguyên tố đã cho có 673 số nguyên tố không chia hết cho 3 hoặc 337. 
Trong 673 số này chia 3 dư 2 hoặc 1 nên theo nguyên lí Dirichle tồn tại ít nhất 337 số nguyên tố có cùng số dư 
khi chia cho 3. 
Mặt khác 337 số nguyên tố này chia cho 337 có số dư có thể là 1; 2; 3;...; 336. Theo nguyên lí Dirichle thì tồn 
tại hai số ,a b trong 337 số nguyên tố có cùng số dư khi chia cho 337. 
Mặt khác hai số ,a b này có cùng số dư chia hết cho 3. Hơn nữa đây là hai số lẽ, suy ra a b chia hết cho 2. 
Từ đây suy ra tồn hai số nguyên tố ,a b trong 676 số nguyên tố mà hiệu của chúng chia hết cho 2022. 
--------------Chúc các bạn học tốt!--------------