Đề Toán chuyên Đại học Vinh 2022 (Có đáp án)

 SỞ
GIÁO DỤC VÀ
ĐÀO TẠO
NGHỆ
AN
ĐỀ
CHÍNH THỨC
KỲ
THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
–
TRƯỜNG ĐH VINH
NĂM
HỌC 2022 –
2023
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể
thời gian giao đề)
--------------- HẾT --------------- 
LỜI GIẢI ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
Bài 1:
a) Giải phương trình
√
x+ 1 + x2 − x = √x2 + 1.
b) Giải hệ phương trình
 (2xy − 1)2 + 4x2 = 5y22x (x− y2) = y2 − y .
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện x ≥ −1.
Ta có
√
x+ 1 + x2 − x =
√
x2 + 1
⇔ √x+ 1 + x2 + 1− (x+ 1) =
√
x2 + 1.
Đặt a =
√
x+ 1, b =
√
x2 + 1. Điều kiện a ≥ 0, b > 0.
Khi đó phương trình trở thành: a+ b2 − a2 = b
⇔ (a− b)(a+ b− 1) = 0
⇔
a = b
a+ b = 1.
Trường hợp 1. Nếu a = b⇒ √x+ 1 =
√
x2 + 1
⇔ x+ 1 = x2 + 1
⇔ x(x− 1) = 0⇔
x = 1 (thoả mãn)
x = 0 (thoả mãn).
Trường hợp 2. Nếu a+ b = 1⇒ √x+ 1 +√x2 + 1 = 1.
Vì
√
x2 + 1 >
√
1 = 1;
√
x+ 1 > 0, với mọi x ≥ −1.
Suy ra V T > 1, nên phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1; 0}.
b)
 (2xy − 1)2 + 4x2 = 5y2 (1)2x (x− y2) = y2 − y (2)
(2) ⇔ (2xy − 1)y = 2x2 − y2.
• Nếu y = 0⇒ 4x2 + 1 = 0(vô lý), vì 4x2 + 1 > 1 > 0.
• Nếu y ̸= 0. Khi đó
Thế 2xy − 1 = 2x
2 − y2
y
vào (1), ta được(
2x2 − y2
y
)2
+ 4x2 = 5y2 (3).
Đặt
x
y
= t và chia hai vế của (3) cho y2, ta được:
(2t2 − 1)2 + 4t2 = 5
⇔ 4t4 − 4t2 + 1 + 4t2 = 5
⇔ 4t4 = 4⇔ t4 = 1
⇔ (t− 1)(t+ 1)(t2 + 1) = 0
⇔
t = 1
t = −1
.
• Nếu t = 1⇒ x = y thế vào (2), ta được
⇔ x2 = (2x2 − 1)x
⇔ x(2x2 − x− 1) = 0
⇔ x(x− 1)(2x+ 1) = 0
⇔

x = 0⇒ y = 0 (loại vì y ̸= 0)
x = 1⇒ y = 1
x =
−1
2
⇒ y = −1
2
.
• Nếu t = −1⇒ y = −x, thế vào (2) ta được
⇔ (2x2 + 1)x = x2
⇔ x(2x2 − x+ 1) = 0
⇔ x = 0⇒ y = 0 (loại vì y ̸= 0).
(
vì 2x2 − x+ 1 = 2
(
x− 1
4
)2
+
7
8
> 0
)
.
Vậy hệ có nghiệm (1; 1),
(−1
2
;
−1
2
)
.
Bài 2:
a) Tìm x, y ∈ Z thỏa mãn (x− y)2(8− xy) + 4 = 12(x− y).
b) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng 2n+36 và 122n+25 không đồng thời là số
chính phương.
Hướng dẫn giải
a) Đặt x− y = a, xy = b thì a, b ∈ Z, ta biến đổi phương trình như sau
(x− y)2(8− xy) + 4 = 12(x− y)⇔ a2(8− b) + 4 = 12a
⇔ b = 8a
2 − 12a+ 4
a2
= 8− 12a− 4
a2
∈ Z (1)
⇔ 12a− 4
a2
∈ Z
Suy ra a2 | 12a− 4 = 4(3a− 1) mà (3a− 1, a2) = (3a− 1, a) = 1 nên a2 | 4.
Từ đây ta được a ∈ {1,−1, 2,−2}. Ta xét các trường hợp sau
• Nếu a = 1 thế vào (1) ta được b = 0 hay x− y = 1 và xy = 0.
Từ đây ta được các cặp (x, y) thỏa mãn là (0,−1), (1, 0).
• Nếu a = −1 thế vào (1) ta được b = 24. Bằng phép thế ta được phương trình
y(y − 1) = 24. Không có (x, y) thỏa mãn vì phương trình này vô nghiệm nguyên.
• Nếu a = 2 thế vào (1) ta được b = 3. Bằng phép thế ta được phương trình
y(y + 2) = 3⇔ y2 + 2y − 3 = 0
⇔ (y − 1)(y + 3) = 0
⇔
y = 1⇒ x = 3
y = −3⇒ x = −1.
• Nếu a = −2 thế vào (1) ta được b = 15. Bằng phép thế ta được phương trình
y(y − 2) = 15⇔ (y − 1)2 = 42 ⇔
y = 5⇒ x = 3
y = −3⇒ x = −5
Vậy tất cả các cặp (x, y) thỏa mãn là (0;−1), (1; 0), (3; 1), (−1; 3), (3; 5), (−5;−3).
b) Giả sử tồn tại n nguyên dương sao cho 2n + 36 và 122n + 25 là số chính phương.
Ta lập bảng đồng dư như sau
x 0 1 2 3 4 5 6
x2 0 1 4 2 2 4 1
Do đó ta rút ra được nhận xét: Một số chính phương bất kì chỉ có thể đồng dư 0, 1, 2
hoặc 4 theo modulo 7..
Quay trở lại bài toán, vì 2n+36 ≡ 2n (mod 3) nên n phải là số chẵn(vì số chính phương
bất kì chỉ có đồng dư 0, 1 theo modulo 3). Từ đó ta xét các trường hợp sau.
• Nếu n = 3k với k chẵn thì 12n + 25 ≡ 5n + 4 = 125k + 4 ≡ (−1)k + 4 = 5 (mod 7)
mâu thuẫn với nhận xét.
• Nếu n = 3k+1 với k lẻ thì 2n+36 = 2.8k +36 ≡ 2+ 1 = 3 (mod 7) mâu thuẫn với
nhận xét.
• Nếu n = 3k+ 2 với k chẵn thì 2n + 36 = 4.8k + 36 ≡ 4 + 1 = 5 (mod 7) mâu thuẫn
với nhận xét.
Do đó điều giả sử là sai. Vậy 2n + 36 và 122n + 25 không đồng thời là số chính phương
với mọi n nguyên dương.
Bài 3:
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 1 ≤ x, y, z ≤ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T = 7x+ y + z + 9y2 + 2z3 − 3xz − 26xyz.
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết ta có 1 ≤ z ≤ 3⇒ (z − 1)2(z − 3) ≤ 0
⇔ (z2 − 2z + 1)(z − 3) ≤ 0
⇔ z3 − 5z2 + 7z − 3 ≤ 0
⇔ z3 ≤ 5z2 − 7z + 3. (1)
Cũng theo giả thiết ta có (z − 1)(z − 3) ≤ 0⇔ z2 ≤ 4z − 3.
Thế vào (1) ta được 2z3 ≤ 10(4z − 3)− 14z + 6 = 26z − 24.
Từ đây kết hợp với 27− 3x− 26xy ≤ 27− 3− 26 = −2 < 0 ta có
2z3 − 3zx− 26xyz + z ≤ 26z − 24− 3zx− 26xyz + z = z(27− 3x− 26xy)− 24
≤ 27− 3x− 26xy − 24 = 3− 3x− 26xy.
Từ đây kết hợp với 4− 26y < 4− 26 = −22 < 0 ta có
T ≤ 7x+ y + 9y2 + 3− 3x− 26xy = 4x+ y + 9y2 + 3− 26xy
= x(4− 26y) + y + 9y2 + 3
≤ 4− 26y + y + 9y2 + 3 = 9y2 − 25y + 7.
Đến đây áp dụng y2 ≤ 4y − 3 (vì x, y, z bình đẳng) nên ta được
T ≤ 9(4y − 3)− 25y + 7 = 11y − 20 ≤ 11 · 3− 20 = 13.
Vậy giá trị lớn nhất của T = 13. Dấu bằng xảy ra khi x = 1, y = 3, z = 1.
Bài 4:
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm (O). Các đường cao AD, BE,
CF cắt nhau tại H. Tia AH cắt (O) tại K (K khác A), tia KO cắt (O) tại M (M khác K)
và tia MH cắt (O) tại P (P khác M).
a) Chứng minh OD ∥MH và 4 điểm A,O,D, P cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi Q là giao điểm của PA và EF . Chứng minh DQ ⊥ EF .
c) Tia PE và tia PF cắt đường tròn (O) lần lượt tại L và N (L, N khác P ). Chứng minh
LC = NB.
Hướng dẫn giải
Y
X
L
Q
LN
P
M
K
F
D
E
H
O
A
B C
a) • Ta có K̂BC = D̂AC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KC).
Do ÂDB = ÂEB = 90◦, mà hai đỉnh D và E là hai đỉnh kề nhau.
Suy ra tứ giác ABDE nội tiếp. ⇒ ÊBD = ÊAD ⇒ ĤBD = D̂AC.
Do đó ĤBD = K̂BC(= D̂AC).
Suy ra ∆BHD = ∆BKD (c-g-c) ⇒ DH = DK, hay D là trung điểm của HK.
Xét ∆KHM có O là trung điểm của KM , D là trung điểm của HK.
Suy ra OD là đường trung bình của ∆HMK ⇒ OD ∥ HM .
• Vì OD ∥MH ⇒ D̂OK = P̂MK (hai góc đồng vị).
Mà P̂MK =
1
2
P̂OK (góc nội tiếp bằng một nửa góc ở tâm cùng chắn cung PK).
⇒ D̂OK = 1
2
P̂OK hay OD là phân giác của P̂OK.
⇒ P̂OD = D̂OK. Mà P̂MK = P̂AD (2 góc nội tiếp cùng chắn cung PK).
⇒ P̂OD = P̂AD, mà hai đỉnh A và O là hai đỉnh kề nhau.
Suy ra tứ giác APDO nội tiếp, hay bốn điểm A,O, P,D cùng nằm trên một đường
tròn.
b) Dễ dàng chứng minh được tứ giác BFEC nội tiếp.
Suy ra ÂEQ = ÂBC. Mà ÂBC = ÂPC nên ÂEQ = ÂPC. Do đó ta được
∆AEQ ∽ ∆APC ⇒ AE
AP
=
AQ
AC
⇒ AP · AQ = AE · AC. (1)
Vì HECD là tứ giác nội tiếp nên AH · AD = AE · AC (2).
Từ (1) và (2) ta được AH · AD = AP · AQ. Do đó tứ giác PQHD là tứ giác nội tiếp.
Ta có ∆AOP ∽ ∆PHD vì hai tam giác cân và ÂOP = ÂDP = P̂DH. Từ đây kết hợp
với PQHD là tứ giác nội tiếp suy ra P̂QD = P̂HD = P̂AO nên QD ∥ AO.
Vì ÔAC = 90◦ − ÂBC = 90◦ − ÂEF nên OA ⊥ EF . Mà QD ∥ AO nên QD ⊥ EF .
Vậy bài toán được chứng minh.
c) Vì AP · AQ = AE · AC theo b) và AE · AC = AF · AB vì tứ giác BFEC nội tiếp nên
tứ giác PQEC, PQFB nội tiếp. Do đó ta được
F̂QB = F̂PB = N̂PB, ÊQC = ÊPC = L̂PC (*)
Kẻ BX,CY vuông góc với EF . Ta có ∆CEY ∽ ∆ABD(g-g); ∆BFX ∽ ∆ACD(g-g).
Từ đây kết hợp với CD.BC = CE.AC, BD.BC = BF.AB và định lý Thales trong hình
thang BXY C ta được các tỷ lệ thức sau
CY
AD
=
CE
AB
,
BX
AD
=
BF
AC
⇔ CY
BX
=
CE
BF
· AC
AB
=
CD ·BC
BD ·BC =
CD
BD
=
Y Q
XQ
.
Mà ĈY Q = B̂XQ = 90◦ nên ∆CY Q ∽ BXQ(g-g) suy ra
ÊQC = Ŷ QC = X̂QB = F̂QB (**)
Từ (∗) và (∗∗) ta được N̂PB = L̂PC hay sđ NB= sđ LC suy ra NB = LC.
Vậy bài toán được chứng minh.
Bài 5:
Cho tập hợp A gồm 2022 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2022. Tìm một số tự nhiên n nhỏ nhất
sao cho mọi tập hợp con gồm n phần tử của A đều chứa 3 phần tử là các số đôi một nguyên
tố cùng nhau.
Hướng dẫn giải
Trước hết, ta có nhận xét sau: Trong 6 số tự nhiên liên tiếp, nếu ít nhất 5 số được chọn thì ta
luôn tìm được 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh: Gọi 6 số tự nhiên liên tiếp đó là: a; a+ 1; ...; a+ 5.
• Giả sử a chẵn, ta đặt: a = 2k, khi đó 6 số tự nhiên liên tiếp sẽ là: 2k; ...; 2k + 5. Ta xét
2 trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu cả 3 số 2k + 1; 2k + 3; 2k + 5 đều được chọn, ta có 3 số này thỏa
mãn yêu cầu đề bài.
Trường hợp 2: Nếu cả 3 số này có ít nhất 1 số không được chọn, khi đó vì có ít nhất 5
số được chọn nên cả 3 số 2k; 2k + 2; 2k + 4 đều sẽ được chọn.
Và nếu cả 2 số 2k + 1; 2k + 3 hoặc cả 2 số 2k + 3; 2k + 5 đều được chọn thì ta lần lượt
chọn các số 2k + 2; 2k + 4.
Khi đó 5 số được chọn đó là: 2k; 2k + 1; 2k + 2; 2k + 4; 2k + 5.
Đến đây, trong 2 số 2k + 1; 2k + 5 sẽ có ít nhất 1 số không chia hết cho 3 vì hiệu hai số
này là 4 không chia hết cho 3.
Ta xét 2k+1 chia hết cho 3. Trường hợp còn lại chứng minh tương tự. Trong trường hợp
này, ta chọn 3 số: 2k + 1; 2k + 5; 2k + 2. Còn với 2k + 5 chia hết cho 3 thì ta lại chọn:
2k + 5; 2k + 4; 2k + 1.
• Trường hợp a lẻ, ta chứng minh tương tự.
Như vậy nhận xét được chứng minh.
Quay trở lại bài toán, xét n = 1349. Khi đó chia 2022 số tự nhiên thành 337 nhóm:
{1; 2; 3; ...; 6}, ..., {2017; 2018; ...; 2022}.
Khi đó, theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất một nhóm chứa ít nhất 5 phần tử được chọn
và theo nhận xét trên thì tồn tại 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau.
Ta chứng minh n ≤ 1348 không thỏa mãn. Thật vậy, ta chọn tất cả các số nhận 2 hoặc 3 làm
ước.
Ta tính được có 1011 số chia hết cho 2, 674 số chia hết cho 3, 337 số chia hết cho 6. Vì vậy số
số được chọn sẽ là: 1011 + 674− 337 = 1348.
Vậy ta kết luận: n = 1349.