Đề Toán chuyên Phan Bội Châu 2008-2009 (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
NGHỆ AN 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU 
Năm học 2008-2009 
Môn thi chuyên: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 
Bài 1: ( 2 điểm) 
 Tìm số tự nhiên có hai chữ số xy , biết rằng xxyy = xx2 + yy2 . 
Bài 2: ( 2 điểm) 
 Giải phương trình : 10 x3+1 = 3(x2 + 2 ) 
Bài 3: ( 2 điểm) 
 Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c ( a = 0) . Biết rằng phương trình f(x) = x 
vô nghiệm . Chứng minh rằng phương trình : a *f(x) ]2 + bf(x) + c = x vô nghiệm . 
Bài 4: ( 1 điểm) 
 Cho x , y, z > 0 thỏa mãn xy + yz + xz = xyz . 
 Chứng minh rằng : 
2 2 2 2 2 2
x 1 1 1
3
y z
x y z x y z
Bài 5 : ( 3 điểm ) 
 Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi O là trung điểm của BC . Đường tròn (O;R) tiếp xúc 
với AB ở E , tiếp xúc với AC ở F . Điểm H chạy trên cung nhỏ EF ( H khác E, F) . Tiếp 
tuyến của đường tròn tại H cắt AB , AC lần lượt tại M, N . 
a) Chứng minh : ∆MOB đồng dạng ∆ONC. 
b) Xác định vị trí điểm H sao cho diện tích ∆AMN lớn nhất . 
Bài 6 : ( 1 điểm ) 
Cho 33 điểm nằm trong hình vuông có độ dài bằng 4 , trong đó không có ba 
điểm nào thẳng hàng . Người ta vẽ các đường tròn bán kính bằng 
 2 và tâm là các 
điểm đã cho . Hỏi có hay không ba điểm trong cá điểm đã cho sao cho chúng đều 
thuộc phần chung cuả ba hình tròn có tâm cũng là ba điểm đó ? Vì sao ? 
----------Hết---------- 
Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 
Đề chính thức 
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN 
ĐỀ CHÍNH THỨC . 
( Hướng dẫn chấm và biểu điểm này gồm có 03 trang ) 
Bài 1 ( 2 điểm ) Điểm 
Điều kiện 1 ≤ x , y ≤ 9 và x, y nguyên 
 xxyy = xx2 + yy2 (1) 
 x.100.11 + y.11 = x2.112 + y2.112 
 100 x + y = 11 (x2 + y2) 
0,5 
 (x + y ) 11 
 x + y = 11 ( vì 2 ≤ x + y ≤ 18 ) 
0,5 
 (x ; y) chỉ có thể là các cặp (2; 9) ; (9; 2) ; (3; 8) ; (8; 3) ; (4; 7) ; (7; 4) ; (5; 6) ; (6; 5) 0,5 
Thay lần lượt từng cặp trên vào (1) ta thấy chỉ có x = 8 và y = 3 thỏa mãn . 
Vậy số cần tìm là 83 . 
0,25 
Bài 2 (2 điểm) 
Điều kiện x ≥ -1 0,25 
Khi đó 10 x3+1 = 3(x2 + 2 ) 
 10 1x 2 1x x = 3(x2 + 2 ) (*) 
0,25 
 Đặt 
2
1
1
u x
v x x
 (Điều kiện u 0 ,v > 0 ) khi đó phương trình (*) trở thành 
 10uv = 3 (u2 + v2 ) 
0,5 
 (3u - v)( (u - 3v ) = 0 
u 3v 
3u v
 0,25 
Trường hợp 1 : u = 3v , ta có : 1x = 3 2 1x x 
 9x2 - 10 x + 8 = 0 Vô nghiệm 
0,25 
Trường hợp 2 : 3u = v , ta có : 3 1x = 2 1x x 
 9x + 9 = x2 - x + 1 
 x2 - 10 x - 8 = 0 
0,25 
x 5- 33 
x 5+ 33
 ( thỏa mãn điều kiện x -1 
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x 5- 33 và x 5+ 33 
0,25 
Bài 3 ( 1điểm ) 
Vì phương trình f(x) = x vô nghiệm nên f(x) > x , với mọi x R hoặc f(x) < x , với mọi x 
R 
0,5 
Nếu f(x) > x , với mọi x R thì a [f(x) ]2 + bf(x) + c = f(f(x) ) > f(x) > x , với mọi x R 0,25 
 Suy ra phương trình a *f(x) ]2 + bf(x) + c = x vô nghiệm . 
Nếu f(x) < x , với mọi x R thì thì a [f(x) ]2 + bf(x) + c = f(f(x) ) < f(x) < x , với mọi x R 
 Suy ra phương trình a *f(x) ]2 + bf(x) + c = x vô nghiệm . 
Vậy ta có điều phải chứng minh . 
0,25 
Bài 4 ( 1 điểm ) 
 Ta có xy + yz + xz = xyz . 
1
x
 + 
1
y
 + 
1
z
 = 1 
Đặt a = 
1
x
 , b = 
1
y
 , c = 
1
z
 ta được a, b, c > 0 và a + b + c =1 (1) 
 Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành 
a2
b
 + 
2 2
2 2 23 (2)
b c
a b c
c a
0,25 
 Ta sẽ chứng minh (2) đúng với mọi a, b, c thỏa mãn (1) 
Thật vậy , vì a + b + c = 1 nên ta có 
2 2 2
22 2 2(2) 2 2 2 3
a b c
a b b c c a a b c a b c
b c a
0,25 
2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( )a b b c c a
a b b c c a
b c a
2 2 21 1 1
1 1 1 0a b b c c a
b c a
0,25 
2 2 2
0
a c b a c b
a b b c c a
b c a
 đúng vì a, b, c > 0 
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 
1
3
 hay x = y = z = 3 . 
0,25 
Bài 5 (3 điểm ) 
 Câu a ) (1,5 điểm ) 
Theo tính chát tiếp tuyến ta có OM , ON 
lần lượt là phân giác của các góc 
1
EOH, EOF
2
FOH MON 
0,5 
 EOF 180BAC  ( vì OEA OFA 90  ) 0,25 
180
2
BAC
MON ABC ACB
 
 , mà 180OCN ONC NOC MOB MON NOC  0,5 
suy ra MOB ONC vậy ∆MOB  ∆ONC (g.g) 0,25 
b) ( 1,5 điểm ) 
O
A
B
C
E F
M
N
H
 M N
A
B
C
Q P
Từ ∆MOB  ∆ONC 
2
. .
4
MB OB BC
MB CN OB OC
OC NC
 ( không đổi ) 0,25 
Vì SAMN = SABC - SBMNC nên SAMN lớn nhất khi và chỉ khi SBMNC nhỏ nhất 
(do SABC không đổi ) 
0,25 
Ta có SBMNC = SBOM + SMON + SNOC = 
1
( )
2
R BM MN CN 
1
( ) ( )
2
BM CN ME NF do MN ME NF 
0,25 
1
( )
2
( ) ( ) (2 . ) ( )
R BM CN BM BE CN CF
R BM CN BE do BE CF R BM CN BE R BC BE
 không đổi 
0,5 
Dấu “ = ” xẩy ra BM = CN MN ∥ BC . 
 H là điểm chính giữa cung nhỏ EF 
Vậy SAMN lớn nhất khi H là điểm chính giữa cung nhỏ EF 
0,25 
Bài 6 ( 1 điểm) 
Chia hình vuông đã cho thành 16 hình vuông đơn vị ( các cạnh 
song song với các hình vuông đã cho và có độ dài bằng 1) 
0,25 
Do 33 > 16.2 nên theo nguyên lí Dirichlê , tồn tại ít nhất ba điểm nằm trong hoặc trên 
cạnh của hình vuông đơn vị . Giả sử đó là ba điểm A, B, C ở trong hoặc nằm trên cạnh 
của hình vuông đơn vị MNPQ 
0,25 
 Ta có MP = 
 2 và với mọi điểm E thuộc hình vuông MNPQ thì MP AE , tức là AE 
 2 . Từ đó hình tròn (A;
 2 ) phủ toàn bộ hình vuông MNPQ . Tương tực các hình 
tròn (B;
 2 ) ,(C;
 2 ) phủ toàn bộ hình vuông MNPQ . 
0,25 
Suy ra ba hình tròn (A;
 2 ), (B;
 2 ) , (C;
 2 ) đều chứa hình vuông MNPQ nên ba 
điểm A, B, C nằm trong phần chung của ba hình tròn nói trên . Vậy câu trả lì của bài 
toán là có . 
0,25