Đề Toán chuyên Phan Bội Châu 2009-2010 (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
NGHỆ AN 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU 
Năm học 2009-2010 
Môn thi chuyên: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 
Bài 1: (3.5 điểm) 
a. Giải phương trình 3 32 7 3x x 
b. Giải hệ phương trình 
3
3
8
2 3
6
2
x
y
x
y
Bài 2: (1.0 điểm) 
Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên 
2 2 0x ax a . 
Bài 3: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc 
AC). Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM 
cắt BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK. 
Bài 4: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài 
cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N 
khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt 
đường thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường 
tròn và tứ giác BICK là hình bình hành. 
Bài 5: (2.0 điểm) 
a. Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn 
hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC. 
 b. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: 3a b c . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 2
2 2 2
P
ab bc ca
a b c
a b b c c a
----------Hết---------- 
Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 
Đề chính thức 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
 Bản hướng dẫn chấm gồm 03 trang
 Nội dung đáp án Điểm 
Bài 1 3,5đ 
a 2,0đ 
 √𝑥 + 2
3
+ √7 − 𝑥
3
= 3 
 ⇔ 𝑥 + 2 + 7 − 𝑥 + 3√𝑥 + 2
3
. √7 − 𝑥
3
(√𝑥 + 2
3
+ √7 − 𝑥
3
) = 27 0.50đ 
 ⇒ 9 + 9. √(𝑥 + 2)(7 − 𝑥)
3
= 27 0.25đ 
 ⇔ √(𝑥 + 2)(7 − 𝑥)
3
= 2 0.25đ 
 ⇔ (𝑥 + 2)(7 − 𝑥) = 8 0.25đ 
 ⇔ 𝑥2 − 5𝑥 − 6 = 0 0.25đ 
 ⇔ [
𝑥 = −1
𝑥 = 6
 (thỏa mãn) 0.50đ 
b 1,50đ 
 Đặt 
2
𝑦
= 𝑧 0.25đ 
 Hệ đã cho trở thành {
2 + 3𝑥 = 𝑧3
2 + 3𝑧 = 𝑥3
 0.25đ 
 ⇒ 3(𝑥 − 𝑧) = 𝑧3 − 𝑥3 0.25đ 
 2 2 3 0x z x xz z 0,25đ 
x z (vì 2 2 3 0, ,x xz z x z  ). 0,25đ 
Từ đó ta có phương trình: 3
1
3 2 0
2
x
x x
x
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: ( , ) ( 1; 2), 2,1x y 
0,25đ 
Bài 2: 1,0 đ 
Điều kiện để phương trình có nghiệm: 
20 4 8 0a a (*). 0,25đ 
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm nguyên của phương trình đã cho ( giả sử x1 ≥ x2). 
Theo định lý Viet: 
1 2
1 2 1 2
1 2
. 2
. 2
x x a
x x x x
x x a
0,25đ 
1 2( 1)( 1) 3x x 
1
2
1 3
1 1
x
x
 hoặc 
1
2
1 1
1 3
x
x
 (do x1 - 1 ≥ x2 -1) 
1
2
4
2
x
x
 hoặc 
1
2
0
2
x
x
Suy ra a = 6 hoặc a = -2 (thỏa mãn (*) ) 
0,25đ 
Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25đ 
Bài 3: 2,0 đ 
Vì BE là phân giác góc ABC nên ABM MBC AM MN 0,25đ 
 MAE MAN (1) 0,50đ 
 Vì M, N thuộc đường tròn đường 
 kính AB nên 
090AMB ANB 
0,25đ 
090ANK AME , kết hợp 
 với (1) ta có tam giác AME đồng 
 dạng với tam giác ANK 
0,50đ 
AN AK
AM AE
 0,25đ 
 AN.AE = AM.AK (đpcm) 0,25đ 
Bài 4: 1,5 đ 
 Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên ANM AIM 
 Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên ANM ABC 
 AIM ABC .Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp 
0,25đ 
 Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI 
 đồng dạng với tam giác AOB 
 . .
AM AI
AI AO AM AB
AO AB
 (1) 
0,25đ 
 Gọi E, F là giao điểm của đường thẳng AO 
 với (O) (E nằm giữa A, O). 
 Chứng minh tương tự (1) ta được: 
 AM.AB = AE.AF 
 = (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R) 
 = AO2 - R2 = 3R2 
0,25đ 
 AI.AO = 3R2 
2 23 3 3
2 2 2
R R R R
AI OI
AO R
 (2) 0,25đ 
Tam giác AOB và tam giác COK đồng dạng nên 
 OA.OK = OB.OC = R2 
2 2
2 2
R R R
OK
OA R
 (3) 
0,25đ 
Từ (2), (3) suy ra OI = OK 
Suy ra O là trung điểm IK, mà O là trung điểm của BC 
Vì vậy BICK là hình bình hành 
0,25đ 
Bài 5: 
 2,0 đ 
K 
 a, 1,0 đ 
 Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC. 
 Không mất tính tổng quát, giả sử A và O 
 nằm về 2 phía của đường thẳng BC 
0,25đ 
 Suy ra đoạn AO cắt đường thẳng BC tại K. 
 Kẻ AH vuông góc với BC tại H. 
0,25đ 
 Suy ra AH AK < AO <1 suy ra AH < 1 0,25đ 
 Suy ra 
. 2.1
1
2 2
ABC
AH BC
S (mâu thuẫn 
với giả thiết). Suy ra điều phải chứng minh. 
0,25đ 
b, 1,0đ 
Ta có: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) 
 = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 
0,25đ 
mà a3 + ab2 2a2b (áp dụng BĐT Côsi ) 
 b3 + bc2 2b2c 
 c3 + ca2 2c2a 
Suy ra 3(a2 + b2 + c2) 3(a2b + b2c + c2a) > 0 
0,25đ 
Suy ra 
2 2 2
2 2 2
P
ab bc ca
a b c
a b c
2 2 2
2 2 2
2 2 2
9 ( )
P
2( )
a b c
a b c
a b c
0,25đ 
Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh được t 3. 
Suy ra 
9 9 1 3 1
3 4
2 2 2 2 2 2 2
t t t
P t
t t
 P 4 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 
0,25đ