Đề Toán chuyên Phan Bội Châu 2010-2011 (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
NGHỆ AN 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU 
Năm học 2010-2011 
Môn thi chuyên: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 
Câu 1. (7,0 điểm) 
a) Giải phương trình: 2 8 3 2 8x x x x 
b) Giải hệ phương trình: 
3 3
2 2
4 2
1 3 1
x y x y
x y
Câu 2. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên n để 4 3 2n n n là số chính phương. 
Câu 3. (4,0 điểm). Cho tam giác ABC và AD là đường phân giác trong. Trên đoạn AD lấy 
hai điểm M, N (M, N khác A và D) sao cho ABN CBM . Đường thẳng BM cắt đường tròn 
ngoại tiếp tam giác ACM tại điểm thứ hai là E. Đường thẳng CN cắt đường tròn ngoại tiếp 
tam giác ABN tại điểm thứ hai là F. 
Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng. 
Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm bất kì 
trên cung nhỏ BC (M khác B, C). Đường tròn (O’; R’) tiếp xúc trong với đường tròn (O; R) 
tại điểm M (với R’ < R). Các đoạn thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt đường tròn (O’; R’) tại 
điểm thứ hai là D, E, F. Từ A, B, C kẻ các tiếp tuyến AI, BJ, CK với đường tròn (O’; R’) 
trong đó I, J, K là các tiếp điểm. 
Chứng minh DE song song với AB và AI = BJ + CK. 
Câu 5 (4,0 điểm) 
 a) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: 3a b c . 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a b b c c a abc . 
 b) Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng 
hàng và không có 4 điểm nào cùng nằm trên một đường tròn. 
 Chứng minh rằng trong 2010 điểm đã cho, có thể dựng được một đường tròn đi qua 3 
điểm, chứa 1000 điểm và không chứa 1007 điểm còn lại. 
----------Hết---------- 
Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 
Đề chính thức 
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 
1 7.0 
a 4.0 
 Đặt 2 8 0x x t t 1.0 
Phương trình đã cho trở thành 
2 2 3 0
1
3
t t
t
t
( loại) 
1,5 
Khi đó 2 2 2
1
8 3 8 9 8 9 0
9
x
x x x x x x
x
V ậy phương trình có nghiệm 1; 9x x 
1.5 
b 3,0 
 Hệ đã cho trở thành 
3 3
2 2
4 2
3 4
x y x y
x y
0,5 
Suy ra 3 3 2 24 3 4 2x y x y x y 
 3 2 210 12 2 0y xy x y 
0.5 
 5 0y x y x y 0,5 
0
5
y
x y
x y
 0.75 
Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là: 
5 1 5 1
2;0 , 2;0 , 1, 1 , 1;1 , ; , ;
7 7 7 7
 0.75 
2 2.0 
 Ta có A = 4 3 2 2 2 1n n n n n n 0.25 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
 Với n = 0 thì A = 0 (thỏa mãn) 0.25 
Với n 0 thì A là số chính phương khi và chỉ khi 2 1n n là số chính 
phương. 
0.25 
Khi đó 2 21n n k k . 22 2 24 1 4 2 1 4 3n n k n k 
 2 1 2 2 1 2 3n k n k 
0.25 
Vì 2 1 2 2 1 2 , ,n k n k n k  nên 
2 1 2 3
2 1 2 1
2 1 2 1
2 1 2 3
n k
n k
n k
n k
0.5 
2 1 2 3
1
2 1 2 1
n k
n
n k
 (thỏa mãn) 0.25 
2 1 2 1
0
2 1 2 3
n k
n
n k
 (loại) 
Vậy 0; 1n n 
0.25 
3 3,0 
Ta có Vì tứ giác AFBN nội tiếp nên NFA NBA (1) 
 NAB NFB (2) 
0.5 
0.25 
Tương tự MAC MEC (3) 
0.5 
F 
B C D 
N 
A 
E 
M 
 Theo giả thiết NAB MAC (4) 
Từ (2), (3), (4) suy ra NFB MEC 
1.0 
Do đó tứ giác BCEF nội tiếp 
Suy ra CFE CBE (5) 
0.75 
Theo giả thiết NBA CBM (6) 
Từ (1), (5), (6) ta có NFA NFE 
0,75 
Do đó A, E, F thẳng hàng. 
0.25 
5 3.0 
Kẻ tiếp chung Ax của (O) và (O’) tại M 
Khi đó , / /MAB xMB MDE xME MAB MDE AB DE 
 0.5 
Suy ra 
BE AD BE BM
BM AM AD AM
 (1) 0.25 
Ta có 2 2. , .AI AD AM BJ BE BM 0.5 
2 2
2 2
.
.
BJ BE BM BM
AI AD AM AM
 ( do (1) ) 
BJ BM
AI AM
 (2) 0,5 
Tương tự 
CK CM
AI AM
 (3) 0.25 
Từ (2), (3) suy ra 
BI CK BM CM
AI AM
 0,25 
’ 
A 
B C 
M 
E F 
D 
I 
J 
K 
x 
 Ta chứng minh được kết quả MA = MB +MC 0.5 
Do vậy 
BI CK BM CM
AI AM
 = 1, từ đó AI = BJ + CK 0.25 
5 4.0 
a 2.0 
 Đặt 2 2 2, , , , 0, 3a x b y c z x y z x y z 
Khi đó P = 2 2 2x y y z z x xyz 
0,25 
Không mất tính tổng quát, giả sử x là số nằm giữa y và z 
Khi đó 2 2 20y x y x z x y y z xyz xy 
0.5 
Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 23x y y z z x xyz xy xz x y z x x 
2
2 1 2 2x x 
Do dó P 2 
0.75 
Dấu bằng xảy ra khi 1a b c hoặc 1a , 0, 2b c và các hoán vị. 0.25 
Vậy giá trị lớn nhất của P là 2 0.25 
b 2,0 
 Vì các điểm đã cho là hữu hạn nên tồn tại 2 điểm A,B sao cho 2008 điểm còn 
lại nằm về 
 1 phía đối với đường thẳng AB. 
0,5 
Do không có 4 điểm nào cùng nằm trên một đường tròn nên ta có thể đặt tên 
2008 điểm còn lại là 1 2 2008, ,...,M M M sao cho 
 1 2 2008...AM B AM B AM B 
0.5 
M 
A 
B 
C 
D 
 Chú ý:
Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
Vẽ đường tròn đi qua A,B, M1001. 0.5 
Khi đó các điểm 1 2 1000, ,...,M M M nằm trong đường tròn này và các điểm còn 
lại nằm ngoài đường tròn này. 
0.5