Đề Toán chuyên Phan Bội Châu 2011-2012 (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
NGHỆ AN 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU 
Năm học 2011-2012 
Môn thi chuyên: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 
Câu 1 (7,0 điểm). 
a) Giải phương trình: 3 15 3 8 5x x x . 
b) Giải hệ phương trình: 
2 2
3
1 1 2
2 2 3
xy x y
x x y y
  
Câu 2 (3,0 điểm). 
 Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn: 2 25 2 4 40 0x xy y x . 
Câu 3 (6,0 điểm). Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định ((O) và d không có điểm 
chung). M là điểm di động trên d. Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB phân biệt và cát tuyến MCD 
của (O) (A, B là tiếp điểm, C nằm giữa M và D, CD không đi qua O). Vẽ dây DN của (O) 
song song với AB. Gọi I là giao điểm của CN và AB. Chứng minh rằng: 
 a) 
IC BC
=
IA BD
 và IA = IB. 
b) Điểm I luôn thuộc một đường cố định khi M di động trên đường thẳng d. 
Câu 4 (2,0 điểm). Cho các số thực dương , , .a b c Chứng minh rằng: 
 2 2 2 2 2 2 3 3 33a b b c c a ab bc ca abc a abc b abc c abc . 
 Đẳng thức xảy ra khi nào? 
Câu 5 (2,0 điểm). 
 Cho một đa giác lồi có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính 
1
4
 chứa đa giác đó. 
----------Hết---------- 
Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 
Đề chính thức 
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC 
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang) 
Môn: TOÁN 
Câu NỘI DUNG ĐIỂM 
1 7,0 
a 3,5 
 Điều kiện: 
5
8
≤ 𝑥 ≤ 5 ( ∗) 0,5 
Phương trình đã cho tương đương với: 
3𝑥 + 15 − 3𝑥 + 2√45𝑥 − 9𝑥2 = 8𝑥 − 5 
⇔ √45𝑥 − 9𝑥2 = 4𝑥 − 10 
0,5 
 ⇔ {𝑥 ≥
5
2
45𝑥 − 9𝑥2 = 16𝑥2 − 80𝑥 + 100
 0,5 
 ⇔ {𝑥 ≥
5
2
𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0
 0,5 
 ⇔ {
𝑥 ≥
5
2
[
𝑥 = 1
𝑥 = 4
 0,5 
 ⇔ 𝑥 = 4 0,5 
 Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là 𝑥 = 4 0,5 
b 3,5 
 Hệ đã cho 
22
1 ( 1) 4
1 1 2
( 1) 1 31 1
x y
x y
0,5 
 Đặt 1, 1u x v y 
 Hệ đã cho trở thành 
2 2
4
1 1 2
1 1 3
uv
u v
 , ĐK : 
1
1
u
v
 (*) 
1,0 
 2 2 2 2 2 2
4
3 2 2 1
uv
u v u v u v
2 2
4
8
uv
u v
 0,5 
4
4
uv
u v
 0,5 
2
2
u v
u v
 ( TM(*)) 0,5 
 Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là:
1 3
;
1 3
x x
y y
. 
0,5 
2 3,0 
 Ta có 2 25 2 4 40 0x xy y x 
2 2
2 1 41x x y 
0,5 
 Vì ,x y , 2 1x là số nguyên lẻ và 2 241 5 4 nên 0,5 
2
2
2 1 25
16
x
x y
2 1 5
4
x
x y
 1,0 
 Từ đó suy ra các cặp ;x y cần tìm là 
 3;1 ; 3; 7 ; 2;6 ; 2; 2 
1,0 
3 6,0 
a 4,0 
 Xét tam giác IAC và tam giác BDC có 
 IAC BDC 
0,5 
 ICA BCD 0,5 
 Suy ra IAC đồng dạng với BDC (g.g) 0,5 
IC BC
IA BD
 (1) 
0,5 
Tương tự ta cũng có 
IC AC
IB AD
 (2) 
0,5 
Ta có MBC đồng dạng với MDB (g.g) 
MC BC
MB BD
 (3) 
0,5 
Tương tự ta có: 
MC AC
MA AD
 (4) 
0,5 
Vì MA = MB nên từ (1), (2), (3) và (4) suy ra IA = IB 0,5 
M H
d 
A 
B 
D 
N
C
I O
K
b 2,0 
 Kẻ OH d tại H. Gọi K là giao điểm của OH và AB. 
 Ta có M, O, I thẳng hàng và OI  AB. 
0,5 
 OIK đồng dạng với OHM suy ra OK.OH = OI.OM 0,5 
Mà OI.OM = OB2 
2OB
OK
OH
 (không đổi) suy ra K cố định. 0,5 
Vì OI  AB và O, K cố định nên I thuộc đường tròn đường kính OK cố định (ĐPCM). 0,5 
4 2,0 
 BĐT cần chứng minh tương đương với 
2 2 2
31 1 1 1
a b c b c a a b c
c a b c a b bc ca ab
 (1) 
0,25 
 Đặt , , , , 0; 1
a b c
x y z x y z xyz
b c a
 0,25 
 Khi đó (1) trở thành: 
 31 1 1 1
x y z
xy yz zx x y z
z x y
31
x y y z z x
x y y z z x xyz
xyz
 31 1x y y z z x x y y z z x (2) (do xyz = 1) 
0,75 
Đặt 3 x y y z z x t 2t 0,25 
Khi đó (2) trở thành 
 3 1 1t t 
 3 21 1 2t t t 
 2 1 0t t t (luôn đúng do 2t ). Suy ra ĐPCM. 
Đẳng thức xảy ra a b c . 
0,5 
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. 
5 2,0 
 Gọi A, B là 2 điểm thuộc cạnh của đa giác sao cho A, B chia biên đa giác thành 2 đường gấp khúc có độ 
dài bằng 
 nhau và bằng 
1
2
. 
0,5 
 Gọi O là trung điểm của AB. Xét hình tròn tâm O bán kính 
1
4
R . 0,25 
 Ta sẽ chứng minh hình tròn này chứa đa giác đã cho. Thật vậy, giả sử tồn tại một điểm M thuộc cạnh 
đa giác và M 
nằm ngoài hình tròn tâm O bán kính 
1
4
R . 
0,25 
 Khi đó 
1
2
MA MB ( Độ dài đường gấp khúc chứa M ) (1). 0,5 
 Gọi N là điểm đối xứng với M qua O. Ta có 
1
2
2
MA MB MN R (2). 
 Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM. 
0,5 
N 
A 
B 
O 
M