Đề Toán chuyên Phan Bội Châu 2012-2013 (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
NGHỆ AN 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU 
Năm học 2012-2013 
Môn thi chuyên: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 
Câu 1 (7,0 điểm). 
a) Giải phương trình: ( 1 1)(5 ) 2 .x x x 
b) Giải hệ phương trình: 
2
2 2
2 2 3 0
2 2 2 0.
x xy x y
y x xy x
Câu 2 (3,0 điểm). 
Tìm các số tự nhiên x và y thoả mãn 22 1 .x y 
Câu 3 (2,0 điểm). 
Cho ba số dương , ,x y z thoả mãn 
1 1 1
1.
x y z
 Chứng minh rằng: 
.x yz y zx z xy xyz x y z 
Câu 4 (6,0 điểm). 
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D khác A và 
0DAB 60 . Trên đường kính AB lấy điểm C (C khác A, B) và kẻ CH vuông góc với AD 
tại H. Phân giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F. Đường thẳng DF 
cắt đường tròn tại điểm thứ hai N. 
a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn và ba điểm N, C, E thẳng hàng. 
b) Cho AD = BC, chứng minh DN đi qua trung điểm của AC. 
Câu 5 (2,0 điểm). 
 Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì 
trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng 
nhau. 
----------Hết---------- 
Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 
Đề chính thức 
Câu 1 7,0 điểm 
a) 
4,0 điểm 
ĐK : 1 0 1.x x 0,25 
Với 0x không là nghiệm của phương trình 0,5 
Với 0x , nhân 2 vế với 1 1 0x ta được 
 5 2 1 1x x x x 
0,5 
2 1 7x x 0,5 
2
7 0
4 1 7
x
x x
 0,5 
2
7
18 45 0
x
x x
 0,5 
7
3
15
x
x
x
 0,5 
 3x (thoả mãn các điều kiện). 0,5 
Vậy phương trình có nghiệm 3.x 0,25 
b) 
3,0 điểm 
2 2
2 2 2 2
2 2 3 0 (1) 2 4 2 4 6 0 
2 2 2 0 (2) 2 2 2 0 
x xy x y x xy x y
y x xy x y x xy x
 0,5 
2 2 2 4 4 4 0x y xy x y 0,5 
2
2 0x y 0,5 
2y x . Thay vào pt (1) ta được 0,5 
2 5 215 1 0
2
x x x
 0,5 
Vậy hệ có hai nghiệm ( ; )x y là 
5 21 1 21 5 21 1 21
; , ;
2 2 2 2
. 
0,5 
Câu 2 3,0 điểm 
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
 2 22 1 2 1 2 1 1 .x x xy y y y 0,5 
Đặt 1 2 , 1 2 ( , ; ).m ny y m n m n 0,5 
Khi đó 2 2 1 1 2m n y y 0,5 
 2 2 1 2n m n 0,5 
2 2
1; 2
2 1 1
n
m n
n m
 ; thoả mãn đk , ;m n m n 0,5 
Vậy 3; 3.x y 0,5 
Câu 3 2,0 điểm 
Bất đẳng thức đã cho tương đương với 
1 ,a bc b ca c ab ab bc ca 
với 
1 1 1
, , , 1.a b c a b c
x y z
0,5 
Ta có: ( )a bc a a b c bc 
2 2( ) 2 .a a b c bc a a bc bc a bc 
0,75 
Tương tự: ; .b ca b ca c ab c ab 0,25 
Từ đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi 3.x y z 0,5 
Câu 4 6,0 điểm 
a) 
4,0 điểm 
Ta có : ACH ABD (so le trong) (1) 0,5 
mà AND ABD (góc nội tiếp cùng chắn một cung) (2) 0,5 
từ (1) và (2) suy ra AND ACH hay ANF ACF 0,5 
suy ra tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn 0,5 
D
BA
E
C
H
O
M
N
F
 AFCN nội tiếp đường tròn CNF CAF hay CND BAE (3) 0,5 
Mặt khác BAE DAE DNE (4) 0,5 
từ (3) và (4) suy ra CND END 0,5 
 N, C, E thẳng hàng 0,5 
 b) 
2,0 điểm 
Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia DN tại M 0,25 
Ta có DAB ACM (so le trong) 0,25 
Mà DAB DNB (góc nội tiếp cùng chắn một cung) 0,25 
ACM DNB tứ giác BCMN nội tiếp đường tròn 0,25 
CBM END; CMB ENB (vì N, C, E thẳng hàng) 0,25 
mặt khác END ENB CBM CMB 0,25 
CB = CM . lại có CB = AD (gt) AD = CM 0,25 
AD = CM, AD//CM suy ra ADCM là hình bình hành đpcm 0,25 
Câu 5 2,0 điểm 
Gọi độ dài các cạnh của tứ giác là a, b, c, d (a, b, c, d
* ). Giả sử 
không có 2 cạnh nào của tứ giác bằng nhau. Không mất tính tổng 
quát, giả sử a > b > c > d. (*) 
0,5 
Do tứ giác lồi nên a < b + c +d 
 a < b + c + d < 3a 
 2a < a + b + c + d < 4a 
0,5 
Từ giả thiết của bài toán suy ra a + b + c + d chia hết cho các số a, b, c, 
d nên ta có : a + b + c + d = 3a (1) 
0.25 
Đặt a + b + c + d = mb với m
* (2) 
 a + b + c + d = nc với n
* (3) 
0,25 
Do a > b > c n > m > 3 n 5, m 4 0,25 
Cộng (1), (2), (3) được 
3(a + b + c + d) = 3a + mb + nc 3a +4b + 5c 
 (b – d) + 2(c – d) 0 , mâu thuẫn (*) 
0,25 
 Tứ giác có ít nhất 2 cạnh bằng nhau.