Đề Toán chuyên Phan Bội Châu 2013-2014 (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
NGHỆ AN 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU 
Năm học 2013-2014 
Môn thi chuyên: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 
Câu 1 (7,0 điểm). 
a) Giải phương trình: 2 3 2 6 1 5x x x . 
b) Giải hệ phương trình: 
3
3
2 3
(3 2) 1
x y y
y x
Câu 2 (2,0 điểm). 
 Cho hai số nguyên ,x y . Chứng minh rằng: 4( )( 2 )( 3 )( 4 ) 2x y x y x y x y y 
không phải là số chính phương. 
Câu 3 (2,0 điểm). 
 Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn 0, 0, 1a b c và 2a b c . Tìm giá trị lớn nhất 
của biểu thức 2 2 2(6 )(2 )T a b c abc . 
Câu 4 (7,0 điểm). 
 Cho đường tròn (O) đường kính BC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A khác B. Kẻ 
các tiếp tuyến AD, AE của (O) ( D, E là các tiếp điểm). Kẻ DH vuông góc với EC tại H. Gọi 
K là trung điểm của DH, Gọi I là giao điểm của AC và DE. CK cắt (O) tại Q khác C, AQ cắt 
(O) tại M khác Q. 
Chứng minh rằng: 
a) AB.CI = AC.BI 
b) QD vuông góc với QI. 
c) DM song song với OC. 
Câu 5 (2,0 điểm). 
Trên mặt phẳng cho bảy điểm (không có 3 điểm nào thẳng hàng). Gọi h là đội dài 
lớn nhất của các đoạn thẳng nối hai trong bảy điểm đã cho. Chứng minh rằng tồn tại ít 
nhất một tam giác có các đỉnh là ba trong bảy điểm đã cho thỏa mãn diện tích của nó nhỏ 
hơn 
2 (4 3 3)
24
h 
 ----------Hết---------- 
Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 
Đề chính thức 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Bài 1. 
 a) Điều kiện: 𝑥 ≥ −1 
(√2𝑥 + 3 + 2)(√𝑥 + 6 − √𝑥 + 1) = 5 
⇔ (√2𝑥 + 3 + 2).
5
√𝑥 + 6 + √𝑥 + 1
= 5 
⇔ √2𝑥 + 3 + 2 = √𝑥 + 6 + √𝑥 + 1(∗) 
⇔ 2𝑥 + 7 + 4√2𝑥 + 3 = 2𝑥 + 7 + 2√(𝑥 + 6)(𝑥 + 1) 
⇔ 2√2𝑥 + 3 = √(𝑥 + 6)(𝑥 + 1) 
⇔ 4(2𝑥 + 3) = 𝑥2 + 7𝑥 + 6 
⇔ [
𝑥 = −2 (𝐿)
𝑥 = 3 (𝑇𝑀)
Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = 3. 
b) Ta có: {
𝑥3𝑦 + 2𝑦 = 3
𝑦3(3𝑥 − 2) = 1
Dễ thấy y = 0 thì hệ vô nghiệm, do đó hệ đã cho tương đương: 
3
2
2
3
2 2 2
2 2
2 2 2
3
3
2 1
1 1 1
1 2 3
1
2 3 2
1 1 1 1 1 3
3 0 3 0
1 1
3 2 0 1
2
2
x
y x
x x x
y y yy
x
y
x x x y xy y
x x x do x
y y y yy y y
x y
x x
x y
Bài 2 : 
Đặt 42 3 4 2 A x y x y x y x y y 
 2 2 2 2 45 4 5 6 2 A x xy y x xy y y 
Đặt 2 25 5 a x xy y a Z 
2 4 4 22 2 A a y y A a 
Giải sử A là số chính phương thì A = k2 với k là số nguyên. 
 2 k a k a 
k - a 1 2 -1 -2 
k + a 2 1 -2 -1 
k 3/2 3/2 -3/2 -3/2 
Vậy không có giá trị k nguyên để A là số chính phương. 
Do đó bài toán được chứng minh. 
Câu 3. Ta có: 2, 1 1 ,b 1 a b c c a b a 
Do đó: 1 1 1 0 1 1 a b c abc a b c ab bc ca abc ab bc ca 
Lại có: 
2 2 2 24 4 2 2 2 a b c a b c ab bc ca 
Vậy 2 2 2 2 3 T ab bc ca ab bc ca 
Đặt ab bc ca t ta có 
2
2 2 3 8 2 1 8 t t t t 
Dấu “=” xảy ra khi c = 1 và 1 trong 2 số a hoặc b bằng 1, số còn lại bằng 0. 
Câu 4. 
a) Đpcm
2
2
AB BI BD
AC CI DC
Mặt khác ADB ACD nên dễ có điều trên. 
b) Để ý có IK là đường trung bình của EDH nên 90  oIK DH IKD 
Mà   DIK DEC DQC nên DQIK là tứ giác nội tiếp 90  oDQI 
c) Kéo dài QI cắt DO tại L thì dễ có L O 
Vậy 
2. . . IQ IL IE ID ID OI IA 
Suy AQOL là tứ giác nội tiếp. 
    QAI OLI QED DMQ 
Suy ra tứ giác QAEI nội tiếp nên  QEI QAI mà  QEI QMDsuy ra đpcm. 
Câu 5. Bạn đọc tự giải. 
Gợi ý: Giả sử 7 điểm đã cho là A, B, C, D, E, F và AB = h vẽ (A; h) và (B; h) cắt nhau tại H 
và K suy ra giao của 2 đường tròn chứa 7 điểm đã cho Đặt diện tích phần này là S 
 2 4 3 3
6
 
h
S mà có 4 tam giác rời nhau suy ra đpcm.