Đề Toán chuyên Phan Bội Châu 2015-2016 (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
NGHỆ AN 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU 
Năm học 2015-2016 
Môn thi chuyên: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 
Câu 1 (7,0 điểm). 
 a) Giải phương trình 
2 2x 5x 4 2 x 5 2 x 4 x 4x 5. 
 b) Giải hệ phương trình 
2 2
1 1
x y 2
y x .
2x y xy 4xy 2x y
Câu 2 (2,0 điểm). 
 Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn 2 2a b ab . 
 Tính giá trị của biểu thức 
2 2a b
A
2ab
  
Câu 3 (2,0 điểm). 
 Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh 
2
2 2 2 3(a b c)(a 1)(b 1)(c 1) .
4
Câu 4 (7,0 điểm). 
 Cho đường tròn (O;R)có BC là dây cố định (BC 2R) ; E là điểm chính giữa 
cung nhỏ BC. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC và AB < AC (A khác B). Trên đoạn 
AC lấy điểm D khác C sao cho ED = EC. Tia BD cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là 
F. 
a) Chứng minh D là trực tâm của tam giác AEF. 
b) Gọi H là trực tâm của tam giác DEC; DH cắt BC tại N. Đường tròn ngoại tiếp tam 
giác BDN cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là M. Chứng minh đường thẳng DM luôn 
đi qua một điểm cố định. 
Câu 5 (2,0 điểm). 
 Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 
phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc A. Tìm tất 
cả các phần tử của A. 
----------Hết---------- 
Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 
Đề chính thức 
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
Môn: TOÁN 
(Hướng dẫn chấm này gồm 03 trang) 
Câu Ý Nội dung Điểm 
Câu 1 
7,0 đ 
a 
3,0 đ 
ĐKXĐ: 𝑥 ≥ 4 
√𝑥2 − 5𝑥 + 4 + 2√𝑥 + 5 = 2√𝑥 − 4 + √𝑥2 + 4𝑥 − 5 
⇔ √(𝑥 − 1)(𝑥 − 4) + 2√𝑥 + 5 − 2√𝑥 − 4 − √(𝑥 − 1)(𝑥 + 5) = 0 
0,5 
 ⇔ √𝑥 − 1(√𝑥 − 4 − √𝑥 + 5) − 2(√𝑥 − 4 − √𝑥 + 5) = 0 0,5 
 ⇔ (√𝑥 − 1 − 2)(√𝑥 − 4 − √𝑥 + 5) = 0 0,5 
 ⇔ [√𝑥 − 4 =
√𝑥 + 5
√𝑥 − 1 = 2
 0,5 
 ⇔ [
𝑥 − 4 = 𝑥 + 5
𝑥 − 1 = 4
 0,5 
 ⇔ x = 5 (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm x = 5. 0,5 
 b Đ𝐾𝑋Đ: 𝑥 ≠ 0; y ≠ 0. 0,5 
 Câu Nội dung Điểm 
4,0
đ 
2 2
1 1
x y 2 (1)
y x
2x y xy 4xy 2x y. (2)
Phương trình (2) 
2 1
2x y 4
y x
1 1
2(x ) (y ) 4 (3)
y x
 0,5 
Đặt 
1
a x
y
1
b y
x
. Kết hợp với (1) và(3) ta có hệ 
ab 2
2a b 4
0,5 
2a(4 2a) 2 a 1a 2a 1 0
b 4 2a b 2b 4 2a
 0,5 
Với 
a 1
b 2
 ta có 
1
x 1
xy 1 yy
xy 1 2x1
y 2
x
0,5 
2
y 2x 2y 2x 2
x(2x 2) 1 2x 2x 4x 1 0
 0,5 
2 2
x
2
y 2
 hoặc 
2 2
x
2
y 2
 (thỏa mãn). 
Vậy hệ đã cho có các nghiệm (x;y) là 
2 2
( ; 2)
2
 và 
2 2
( ; 2)
2
 . 
1,0 
Câu 2 
2,0 đ 
Ký hiệu (x;y) là ước chung lớn nhất của hai số nguyên x và y. 
Gọi d = (a;b) => 1 1a da ;b db , với 1 1(a ;b ) 1 
2 2 2 2 2
1 1a b d (a b ) và 
2
1 1ab d a b 
0,5 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1d (a b ) d a b a b a b 0,5 
2
1 1 1 1 1a b a a b  mà 1 1(a ;b ) 1 1 1a b 
Tương tự 1 1b a suy ra 1 1a b 1 
0,5 
 Câu Nội dung Điểm 
2 2 2
1 1
2
1 1
d (a b )
A 1
2d a b
 . 0,5 
Câu 3 
2,0 đ 
Đặt x a 2, y b 2,z c 2. Ta cần chứng minh 
2 2 2 2(x 2)(y 2)(z 2) 3(x y z) . 
0,5 
Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(x 2)(y 2) (x 1)(y 1) x y 3 x y 1 2x 2y 3 
2
2 2 2 2 2(x y) 3(x 2)(y 2) 2xy x y 3 (x y) 2
2 2
0,5 
2 2 2 2 2 2 23(x 2)(y 2)(z 2) (x y) z 4 2(x y) 2z
2
 0,5 
2 2 23 4(x y)z 2(x y) 2z 3(x y z)
2
2
2 2 2 3(a b c)(a 1)(b 1)(c 1) .
4
 Dấu đẳng thức xảy ra khi 
1
a b c .
2
0,5 
Câu 4 
7,0 đ 
a 
4,0
Tứ giác ABEC nội tiếp suy ra oABE ACE 180 0,5 
Mà EDC ACE và oADE EDC 180 0,5 
H
M
N
F
D
K
E
O
B
C
A
 Câu Nội dung Điểm 
đ nên ABE ADE. Kết hợp với BAE DAE => ABE ADE. 0,5 
Mặt khác EB = EC = ED nên AE là trung trực của đoạn BD 0,5 
=> AE BF (1) và AB = AD => ABD ADB. 0,5 
Kết hợp với ABD DCF (cùng chắn cung AF) và ADB FDC (đối đỉnh). 
Suy ra FDC FCD tam giác FDC cân tại F. 
0,5 
=> FD = FC. Kết hợp với ED = EC => EF là trung trực của DC => DC EF (2). 0,5 
Từ (1) và (2) suy ra D là trực tâm của tam giác AEF. 0,5 
b 
3,0
đ 
Kẻ đường kính EK của (O;R).Khi đó điểm K cố định. 
Tứ giác BDNM nội tiếp nên BMD BND 
0,5 
oBMD 90 BCE o
1
90 BAC (3)
2
 0,5 
Tứ giác ABMK nội tiếp nên 0BMK 180 BAK . 0,5 
Mà o
1
BAK BAE EAK 90 BAC
2
 0,5 
o 1BMK 90 BAC (4)
2
 . Từ (3) và (4) suy ra BMD BMK 0,5 
Suy ra ba điểm M, D, K thẳng hàng. Do đó MD luôn đi qua điểm K cố định. 0,5 
Câu 5 
2,0 đ 
Giả sử A = 1 2 3; 21a ;a ;a ...;a với 1 2 3; 21a ;a ;a ...;a Z và 1 2 3 21a a a ... a . 
Theo giả thiết ta có 1 2 3 11 12 13 21a a a ... a a a ... a 
 1 12 2 13 3 21 11a a a a a ... a a (1) 
0,5 
Mặt khác với x; y Z và x y thì y x 1 
12 2 13 3 21 11a a 10, a a 10,...,a a 10 (2) 
Nên từ (1) suy ra 1a 10+10+...+10 = 100 => 1a =101 (vì 101 A). 
0,5 
=> 12 2 13 3 21 11101 a a a a ... a a 100 
12 2 13 3 21 11a a a a ... a a 100 . Kết hợp với (2) 
0,5 
 Câu Nội dung Điểm 
12 2 13 3 21 11a a a a ... a a 10 (3) 
12 2 12 11 11 10 3 210 a a (a a ) (a a ) ... (a a ) 10 
12 11 11 10 3 2a a a a ... a a 1 (4) 
Ta có 1a =101 mà 102 A => 2a =102 
Kết hợp với (3) và (4) suy ra A = 101;102;103;...;121 . 
0,5