Đề Toán chuyên Phan Bội Châu 2018-2019 (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
NGHỆ AN 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU 
Năm học 2018-2019 
Môn thi chuyên: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 
Câu 1. 
a) Giải phương trình : 22 4 2 5 1x x x x 
b) Giải hệ phương trình: 
2
2 2
3 4
2 7 7 8
xy y x
y y x x
Câu 2. 
a) Tìm các số nguyên ; ;x y z sao cho 2 2 2 6 3 4x y z xy x z 
b) Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn 1m n là một ước nguyên tố của 
 2 22 1m n . CMR .m n là số chính phương 
Câu 3. Cho , ,a b c thực dương thỏa mãn 1.abc Chứng minh rằng: 
4 3 4 3 4 3
1 1 1
3
2 2 2a a ab b b bc c c ac
Câu 4. 
Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC nội tiếp đường tròn (O) đường cao AH. 
Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Qua H 
kẻ đường thẳng song song với BD cắt AK tại I. Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại N 
(N khác B) 
a) Chứng minh . .AN BI DH BK 
b) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại P. Chứng minh đường thẳng 
BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP 
c) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt DP tại M. Đường tròn qua D tiếp xúc với CM tại M 
và cắt OD tại Q (Q khác D). Chứng minh đường thẳng qua Q vuông góc với BM 
luôn đi qua điểm cố định khi BC cố định và A di động trên đường tròn (O) 
Câu 5 Để phục vụ cho lễ khai mạc World Cung 2018, ban tổ chức giải đấu chuẩn bị 25000 
quả bóng, các quả bóng được đánh số từ 1 đến 25000. Người ta dùng 7 màu: Đỏ, Da cam, 
Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn các quả bóng (mỗi quả được sơn 1 màu). Chứng minh 
rằng trong 25000 quả bóng nói trên tồn tại 3 quả bóng cùng màu được đánh số là , ,a b c mà 
a chia hết cho b, b chia hết cho c và 17abc 
----------Hết---------- 
Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 
Đề chính thức 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Câu 1. 
a) Giải phương trình : √𝑥 − 2 + √4 − 𝑥 = 2𝑥2 − 5𝑥 − 1 
Điều kiện xác định: 2 ≤ 𝑥 ≤ 4 
Ta có 
2𝑥2 − 5𝑥 − 3 − (√𝑥 − 2 − 1) − (√4 − 𝑥 − 1) = 0
 ⇔ (2𝑥 + 1)(𝑥 − 3) −
𝑥 − 3
√𝑥 − 2 + 1
+
𝑥 − 3
√4 − 𝑥 + 1
= 0
 ⇔ (𝑥 − 3) (2𝑥 + 1 −
1
√𝑥 − 2 + 1
+
1
√4 − 𝑥 + 1
) = 0
 Do {
1
√𝑥 − 2 + 1
≤ 1 ⇒ 1 −
1
√𝑥 − 2 + 1
≥ 0
2 ≤ 𝑥 ≤ 4
⇒ 2𝑥 + 1 −
1
√𝑥 − 2 + 1
+
1
√4 − 𝑥 + 1
≥ 0
 ⇔ 𝑥 − 3 = 0 ⇔ 𝑥 = 3(tm)
0
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 3x 
b) Hệ đã cho tương đương với 
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2
2
2 6 8 3 4
2 7 8 8 2 7 2 6 8 0
3 4 3 4
7 1 08 7 0
2 13 5 13
;
1 3 3
3 4 3 0 2 13 5 13
;
3 3
7
3 10 21
xy y x xy y x
y y x x x y y xy y x x
xy y x xy y x
x y x yx y x y
x y
x y
x x
x y
x y
x x
5 2 22 26 2 22
;
3 3
0 5 2 22 26 2 22
;
3 3
x y
x y
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm 
Câu 2 
a) Do , ,x y z là các số nguyên nên 
2 2 2
2 2 2
2 2
2
6 1 3 4
7 3 4 0
1
3 1 2 0
2 2
1
0
2 1
1 0 2
2
2
2 0
x y z xy y z
x y z xy y z
y
x y z
x y
x
y
y
z
z
Vậy 1; 2x y z là 3 số nguyên cần tìm 
a) Giả sử m n . Theo bài ra ta có: 
2
22 2
2 2 2 2
2
1 1 1 1
2 1 1 1
2 2 2 1
1
m n m n m n m n
m n m n m n
m n m mn n m n
m n m n
Do 1m n là số nguyên tố 1m n là ước của m n 
Mà 1m n m n do đó vô lý 
Vậy giả sử sai 2.m n m n m là số chính phương 
Ta có điều phải chứng minh. 
 Câu 3. Ta có: 
 2 2 2 2
4 3 4 3
4 3
4 3
1 1 0 2 1 1 0
1 0 1
2 1
1 1
12
a a a a a a a
a a a a a a
a a ab ab a
ab aa a ab
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: 
4 3 4 3
1 1 1 1
;
1 12 2bc b ac cb b bc c c ac
Như vậy 
1 1 1 1 1 1
3.
1 1 11 1 1
VT
ab a bc b ac cab a bc b ac c
(Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 3 số) 
Lại có 
2
1 1 1 1
3. 3.
1 1 1 1
1
3. 3
1 1 1
a ab
ab a bc b ac c ab a abc ab a a bc abc ab
a ab
ab a ab a a ab
Vậy ta có điều phải chứng minh 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1a b c 
Câu 4 
J
QM
P
N I
K
D
H OC
B
A
 a) Chứng minh . .AN BI DH BK 
Ta có do cùng chắn cung AB nên BDA BNA IHA BNA INA 
Suy ra tứ giác ANHI nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới các góc 
bằng nhau). Do đó: AHN AIN BIK (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )AN 
Ta có : 090AK BD AK IH AIH  
Do tứ giác AHNI là tứ giác nội tiếp (cmt) 0 0180 90AIH ANH ANH 
( . ) . .
BK BI BI
IBK NAH ANH BKI g g AN BI DH BK
AN AH DH
b) 
Gọi 1O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP, I là trung điểm NP 
Vì A; D đối xứng qua BC nên PA cũng là tiếp tuyến của (O) 
Ta có: 
1 1 1
1
2
PAN PO N PO I (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung NP của 
đường tròn 1O ) 
Lại có: PAN ADN (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn cung 
AN của O ) 1 1PO I ADN 
Hơn nữa ANHI nội tiếp (cmt) nên 090ANH AIH NAH NHP (cùng phụ với 
NHA ) 
Ta có : NAH NIH NBD NDP 
NHP NDP tứ giác PDNH nội tiếp nên 1 1NPH NDA NPH PO I 
Mặt khác : 0 0 01 1 1 1 1 1 190 90 90PO I O PI NPH O PI O PH 
Suy ra BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP 
c) 
Gọi J là trung điểm OM, G là trung điểm của OC, E là giao điểm của QG và BM 
Dễ thấy MQ là đường kính của đường tròn đi qua D là tiếp xúc với MC (Do 
090 )MDQ MQ MC  . Mà / /MC BC MQ BC 
Do / /MQ BC QMO MOP (so le trong) QOM Tam giác QOM cân tại Q 
QJ OM  (trung tuyến đồng thời là đường cao) 
BOM GJQ (góc có cạnh tương ứng vuông góc) 
Mặt khác 
( . )
GJ OG
OGJ OJG g g
JQ OJ
0
( )
( . . ) 90
OG OC OB
OGJ OCM OC OB
OJ OM OM
GJ OB
GJQ BOM c g c OMB QJM
JQ OM
 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QM) 
QE EM QE BM   
Vậy đường thẳng qua Q vuông góc với BM luôn đi qua trung điểm G của OC cố 
định. 
Câu 5: 
Xét tập 1;2;3;.........;2500A và tập 2 131;3;3.2;3.2 ;......;3.2B 
Do 133.2 24576 250000 B A  
Tập B có 15 phần tử. Do mỗi quả bóng được sơn một màu mà có 7 màu nên theo 
nguyên lý Dirichle trong tập B tồn tại 3 quả bóng cùng màu. 
Giả sử 3 quả bóng được đánh số a b c thì a chia hết cho b, b chia hết cho c và 
18 17abc 
Vậy ta có điều phải chứng minh