Đề Toán chuyên Phan Bội Châu 2019-2020 (Có đáp án)

Câu 1 (6,0 điểm). 
 a) Giải phương trình 3 2 12 1 20 0x x x x . 
 b) Giải hệ phương trình 
2 2
( 1)( 1) 6
.
( 1) 7
x xy
x y y
Câu 2 (3,0 điểm) 
 a) Cho đa thức 2( ) axP x bx c *a  thỏa mãn 9 6 2019.P P 
Chứng minh 10 7P P là một số lẻ. 
 b) Tìm các cặp số nguyên dương ;x y sao cho 2x y x y chia hết cho 2 1xy y . 
Câu 3 (2,0 điểm). Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2.abc a b c Tìm giá 
trị lớn nhất của biểu thức 
2 2 2 2 2 2
1 1 1
.P
a b b c c a
Câu 4 (7,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn O . Gọi 
E là điểm nằm chính giữa của cung nhỏ BC . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho 
EM EC , đường thẳng BM cắt đường tròn O tại N ( N khác B ). Các đường 
thẳng EA và EN cắt cạnh BC lần lượt tại D và F . 
a) Chứng minh tam giác AEN đồng dạng với tam giác FED . 
b) Chứng minh M là trực tâm của tam giác AEN . 
c) Gọi I là trung điểm của AN , tia IM cắt đường tròn O tại K . Chứng minh 
đường thẳng CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK . 
Câu 5 (2,0 điểm). Cho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm nào cũng là đỉnh của một 
tam giác mà mỗi tam giác đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673. Chứng 
minh rằng có ít nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019. 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
NGHỆ AN 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH 
Năm học 2019-2020 
Môn thi chuyên: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 
Đề chính thức 
 HƯỚNG DẪN GIẢI 
Câu 1: 
a) Điều kiện: 1x 
21 1 12 1 20 0
1 2 1 10 0
1 2
1 10
x x x x
x x x x
x x
x x
TH1: 3 21 2 4 2x x x x x (thỏa mãn điều kiện) 
TH2: 3 21 10 100 5x x x x x (thỏa mãn điều kiện) 
Vậy phương trình có hai nghiệm là 2x và 5x . 
 b) 
Hệ phương trình 
2
2 2 2 2
5
1
7
x y xy x
x y x y
Đặt xy a , x b . Ta có: 
Hệ phương trình trở thành 
22 2
55
7 7
ab a bab a b
ab a b a b ab
2 2
5 7 12 0
3
3 4 0
4
a b a b a b a b
a b
a b a b
a b
TH1: 3a b suy ra 2ab 
,a b là nghiệm của phương trình 
2
1
3 2 0
2
X
X X
X
; 1;2 ; 2;1
1
; 2; ; 1;2
2
a b
x y
TH2: 4a b suy ra 9ab 
 ,a b là nghiệm của phương trình: 2 4 9 0X X (phương trình vô nghiệm) 
Câu 2: 
a) Ta có: 
9 6 2019
8 9 36 6 2019
45 3 2019 1
P P
ba b c a b c
a b
Lại có: 10 7 100 10 29 7 51 3P P a b c a b c a b 
Đặt 10 7 51 3 2P P t a b t 
Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 6 2019a t , mà 6a chẵn, 2019 lẻ nên t lẻ, ta có điều phải 
chứng minh 
b) Ta có: 
2 2
2 2 2
2 2
1
1 1
1
x y x y xy y
y x y x y x xy y xy y
y x xy y
TH1: 2
2
:
y m
y x
x m
Với mọi m là số tự nhiên khác 0 
 Thử lại thấy thỏa mãn 
TH2: 
2
y x , ta có: 
2 2
2
1
1 1 0
xy y y x
x y y x
 (vô lí do , 1x y ) 
TH3: 2y x 
Ta có: 
2 2
2 2
1
1 1 0
xy y x y
x y y y
 (vô lí do , 1x y ) 
Vậy, 2; ;x y m m với m thuộc tập số tự nhiên khác 0 
Câu 3: Từ đẳng thức 
1 1 1 2
2 1abc a b c
ab bc ca abc
5 
Đặt 
1 1 1
; ; ( , , 0)
x y z
x y z
a y z b z x c x y
Ta có: 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2
P
ab bc caa b b c c a
Mặt khác: 
1 1 1 1
. .
22 2 2
xy x y
x z y z x z y zab
Tương tự thì ta cũng có: 
1 1 1
.
22 2
1 1 1
.
22 2
y z
y x z xbc
z x
y z y xca
Cộng vế theo vế ta có: 
3
2 2
P Dấu bằng xảy ra khi 1x y z . Hay là 2a b c 
Câu 4: 
a) Có ̂ ̂(hai góc kề bù) 
 ̂=180 - ̂ ̂= ̂ ̂ ̂ 
 ̂ ̂(Do cung DE EC ) 
Suy ra EFD đồng dạng với NEA 
 b) Ta có EB EC EM do E là điểm chính giữa 
cung BC và theo giả thiết EM EC . Mặt khác AE 
là tia phân giác ̂ suy ra AE là trung trực đoạn 
thẳng BM hay vuông góc với tia NM 
 Chứng minh tương tự thì NE là tia phân giác của 
 ̂, suy ra NE là đường trung trực của đoạn thẳng 
MC hay NE vuông góc với AM . 
 Từ hai điều trên ta có M là trực tâm của AEN 
c) Gọi giao điểm của AM với EN là X , của BN với AE là Y 
 Gọi giao điểm của IM với đường tròn O là T . Dễ thấy rằng ATNM là hình bình hành 
nên TN vuông góc với EN suy ra ET là đường kính đường tròn O 
 ̂= 90hay ̂= 90hay K thuộc đường tròn đường kính EM , suy ra năm điểm
, , , ,X Y M K E cùng thuộc một đường tròn 
Ta có ̂ ̂ ̂ ̂ ̂(do tứ giác MEKX nội tiếp) 
Suy ra CM là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK 
 Câu 5: Ta tô màu các đoạn thẳng có đầu mút là 2 trong 12 điểm đã cho: 
 -Tô đỏ các đoạn thẳng có độ dài nhỏ hơn 673 
 -Tô xanh các đoạn thẳng còn lại 
 thì mỗi tam giác có ít nhất một cạnh màu đỏ. Ta sẽ chứng minh có ít nhất 2 tam giác có 3 
cạnh đều là màu đỏ. 
 +Xét 6 điểm trong 12 điểm đã cho. Từ một điểm A nối đến các đoạn thẳng còn lại tạo 
thành 5 đoạn thẳng, được tô tới hai màu xanh, nên tồn tại 3 cạnh cùng màu. Giả sử đó là 
, ,AB AC AD 
 Nếu , ,AB AC AD tô đỏ (nét liền, h1) thì tam giác BCD phải có 1cạnh tô đỏ(h1)., chẳn hạn 
BC thì tam giác ABC có 3 cạnh tô đỏ(h2). Nếu , ,AB AC AD tô xanh (nét đứt, h3). Do mỗi 
tam giác phải có ít nhất một cạnh đỏ nên , ,BC CD BD và tam giác BCDcó 3 cạnh đỏ(h1). 
 Suy ra trong 6 điểm này luôn tồn tại ít nhất một tam giác có 3 cạnh màu đỏ 
 +Xét 6 điểm còn lại, chứng minh tương tự 
 Vậy trong 12 điểm luôn tồn tại ít nhất 2 tam giác có hai cạnh đều màu đỏ. Suy ra tồn tại ít 
nhất hai tam giác mà chu vi mỗi tam giác bé hơn 2019 
(Từ trái qua phải lần lượt là h1,h2,h3,h4)